Encuentra y e y. y=xln(x)

1658262023 SOM Questions and Answers

En esta pregunta, tenemos que encontrar el primero y segundas derivadas de la función dada y=x ln(x)

El concepto básico detrás de esta pregunta es el conocimiento de derivados y reglas como Regla del producto productos derivados y regla del cociente de derivados.

Respuesta experta

Función dada:

[y=x ln{ (x)}]

Para primera derivada, tome la derivada con respecto a x en ambos lados. Se tiene:

[frac{dy}{dx}=frac{d}{dx} left[x ln{ (x)}right]]

[frac{dy}{dx}=frac{d}{dx}[ x ] ln(x)+ xfrac{d}{dx} [ln(x)]]

[frac{dy}{dx}= 1 ln{(x)}+ x frac{1}{x} ]

[frac{dy}{dx}= ln{(x)}+ 1]

Por lo tanto, los primera derivada es:

[frac{dy}{dx}= ln{(x)}+ 1]

para encontrar el segunda derivadasacaremos la derivada de la primera derivada con respecto a $x$ en ambos lados.

[frac{d}{ dx}left(frac{dy}{dx}right) =frac{d}{dx} left(ln{(x) + 1} right)]

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} =frac{d}{dx} left(ln(x)right) +frac{d}{dx} left(1 right)]

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} =frac{1}{x} + 0]

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} =frac{1}{x}]

los segunda derivada de la función es:

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} =frac{1}{x}]

resultado numérico

los primera derivada de la función dada $y= x ln{ (x)}$ es:

[frac{dy}{dx}= ln{(x)}+ 1]

los segunda derivada de la función dada $y= x ln{ (x)}$ es:

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} =frac{1}{x}]

Ejemplo

encontrar primero y segunda derivada de la función $y=sqrt x ln{ (x)}$

Función dada:

[y=sqrt x ln{ (x)}]

Para primera derivada, tome la derivada con respecto a $x$ en ambos lados. Se tiene:

[frac{dy}{dx}=frac{d}{dx} left[sqrt x ln{ (x)}right]]

[frac{dy}{dx}=frac{d}{dx}[ sqrt x ] ln(x)+ sqrt xfrac{d}{dx} [ln(x)]]

[frac{dy}{dx}=frac{1}{2 sqrt x} ln{(x)}+sqrt x frac{1}{x} ]

[frac{dy}{dx}=frac{ln{(x)}}{2 sqrt x} + frac{sqrt x}{x}]

[frac{dy}{dx}=frac{ln{(x)}}{2 sqrt x} + frac{1}{sqrt x}]

[frac{dy}{dx}=frac{ln{(x) + 2}}{2 sqrt x}]

para encontrar el segunda derivadasacaremos la derivada de la primera derivada con respecto a $x$ en ambos lados.

[frac{d}{dx}left(frac{dy}{dx}right) =frac{d}{dx} left(frac{ln{(x) + 2}}{2 sqrt x}right) ]

[ frac{{d }^2y}{{dx}^2} = frac{2 sqrt x frac{d}{dx}(ln{(x) + 2) – (ln{(x) + 2) frac{d}{dx} left(2 sqrt xright)}}}{left(2 sqrt xright)^2}]

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} = frac{2 sqrt x ( frac{1}{x}{ + 0) – (ln{(x) + 2) left(2 timesfrac{1}{2 sqrt x}right)}}}{left(2 sqrt xright)^2}]

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} = frac{2 sqrt x ( frac{1}{x}{ ) – (ln{(x) + 2) left(frac{1}{ sqrt x}right)}}}{left(2 sqrt xright)^2}]

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} = frac{ frac{2 sqrt x}{x}{ – frac{(ln{(x) + 2) }}{ sqrt x}{ }}}{left(2 sqrt xright)^2}]

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} = frac{ frac{2 }{sqrt x}{ – frac{(ln{(x) + 2) }}{ sqrt x}{ }}}{left(2 sqrt xright)^2}]

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} = frac{ { frac{2 – (ln{(x) + 2) }}{ sqrt x}{ }}}{left(2 sqrt xright)^2}]

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} = frac{ { frac{2 -ln{(x) – 2 }}{ sqrt x}{ }}}{left(2 sqrt xright)^2}]

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} = frac{ { frac{ -ln{(x) }}{ sqrt x}{ }}}{left(2 sqrt xright)^2}]

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} = frac{ { frac{ -ln{(x) }}{ sqrt x}{ }}}{4x}]

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} = frac{ -ln{(x) }}{ 4xsqrt x}]

los primera derivada de la función dada $y=sqrt x ln{ (x)}$ es:

[frac{dy}{dx}=frac{ln{(x) + 2}}{2 sqrt x}]

los segunda derivada de la función dada $y=sqrt x ln{ (x)}$ es:

[frac{{d }^2y}{{dx}^2} = frac{ -ln{(x) }}{ 4xsqrt x}]