El objetivo de esta pregunta es encontrar dos números cuya suma dé un valor de 100$, y el producto de estos dos números dé un valor mínimo. En esta pregunta, usaremos funciones algebraicas y derivadas para encontrar los dos números requeridos.
Respuesta experta
La función $f(x,y)$ en matemáticas es una expresión que describe la relación entre dos variables $x$ y $y$. En esta pregunta, asumiremos estas dos variables:
[x= small value]
[y= large value]
Solución Digital
Ahora haremos una ecuación basada en los datos dados. Esta ecuación se dará como “dos números cuya diferencia es $100”:
[y – x = 100]
Reordenando la ecuación nos da:
[y = 100 + x …….. eq.1]
La siguiente ecuación mostrará la parte de “dos números cuyo producto es un mínimo”. Usaremos la función $f(x,y)$ que nos dará el producto de x e y:
[f(x,y) = XY……… eq.2]
Sustituyendo $eq$.$1$ en $eq$.$2$ nos dará otra expresión:
[f(x) = x(100 + x)]
[f(x) = 100x + x^2]
La derivada de una función es la tasa de cambio instantánea de una función representada por $f'(x)$. Encontramos las derivadas de la expresión anterior:
[f’ (x) = (100x + x^2)’ ]
[f’ (x) = 100 + 2x]
Ponga $f’ (x)$ = $0$ para encontrar los puntos críticos:
[0 = 100 + 2x]
[x = frac{-100}{2}]
[x = -50]
para comprobar si $x$=$-50$ es el número crítico, encontramos la segunda derivada:
[f’ (x) = 100 + 2x]
[f” (x) = (100 + 2x)’ ]
[f” (x) = 0 + 2]
[f” (x) = 2 > 0]
Un valor positivo indica que hay un mínimo.
Sustituyendo los valores críticos $x$=$-50$ en la primera ecuación nos da:
[y = 100 + x]
[y = 100 – 50]
[y = 50]
Por lo tanto, la solución es $x$=$-50$ y $y$=$50$.
Ejemplo
Encuentra dos números positivos cuyo producto sea 100 y cuya suma sea mínima.
Supondremos que las dos variables son $x$ y $y$:
El producto de estas dos variables será:
[xy = 100]
[y = frac{100}{x}]
La suma se escribirá:
[sum = x + y]
[sum = x + frac{100}{x}]
La función se escribirá de la siguiente manera:
[f (x) = x + frac{100}{x}]
La primera derivada de esta función nos da:
[f'(x) = 1 – frac{100}{x^2}]
La segunda derivada es:
[f” (x) = frac{200}{x^3}]
Ponga $f’ (x)$ = $0$ para encontrar los puntos críticos:
[0 = 1 – frac{100}{x^2}]
[1 =frac{100}{x^2}]
[x^2 = 100]
[x_1 = 10 , x_2 = -10]
$x_1$=$10$ es un punto mínimo cuando $f” (x)$ = $+ve$
$x_2$=$-10$ es el punto máximo cuando $f” (x)$=$-ve$
La suma es mínima en $x$=$10$.
De este modo,
[y = frac{100}{x}]
[y = frac{100}{10}]
[y = 10]
Los dos números requeridos son $x$=$10$ y $y$=$10$.
Los dibujos de imagen/matemáticos se crean en Geogebra
