Encuentre dos vectores con direcciones opuestas ortogonales al vector u. $U=dfrac{-1}{4}i +dfrac{3}{2}j$

1656034732 SOM Questions and Answers

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar los vectores $2$ que son ortogonal en el vector dado $U = dfrac{-1}{4}i+dfrac{3}{2}j$, y estos dos vectores deben estar en direcciones opuestas.

Esta pregunta se basa en el concepto de vectores ortogonales. Si dos vectores $A$ y $B$ tienen producto escalar igual a ceroentonces se dice que dichos dos vectores $A$ y $B$ son ortogonal o perpendicular el uno al otro. Está representado por:

[A.B=0]

Respuesta experta

Sabemos que para que dos vectores sean ortogonal y estar en direcciones opuestas, sus producto escalar debe ser cero.

Supongamos que nuestro vector requerido es $w$ como:

[w= [w_1 ,w_2]]

Dado el vector $u$:

[u=frac{-1}{4}i+frac{3}{2}j]

[u.w=0]

[[frac{-1}{4}+frac{3}{2} ] . [w_1 ,w_2]=0]

[frac{-1}{4}w_1+frac{3}{2} w_2=0]

[frac{-1}{4}w_1=frac{-3}{2} w_2 ]

[frac{-1}{ 2}w_1=-3w_2]

Los dos los signos negativos serán cancelados y $2$ se multiplicarán en el lado derecho, por lo que obtenemos:

[w_1= 6w_2]

como $w_1=6w_2$ por lo que al poner el valor de $w_1$ en el vector $w$, obtenemos:

[[w_1, w_2]]

[[6w_2 , w_2]]

Nuestro vector requerido $w =[6w_2 , w_2]$ será ortogonal al vector dado $u= dfrac{-1}{4}i +dfrac{3}{2}j$ cuando $w_2$ pertenece a cualquier valor del numeros reales.

Como podría haber varios vectores correctos, supongamos $w_2(1)=1$ y $w_2(2)=-1$.

Obtenemos vectores:

[[6w_2 , w_2]]

Pongamos $w_2(1)=1$ y obtenemos el vector:

[[6(1), 1 ]]

[[6, 1]]

Ahora pon $w_2(1)=-1$, obtenemos el vector:

[[6 (-1), -1]]

[[-6, -1]]

Así que nuestros vectores requeridos de $2$ que son ortogonal al vector dado $u$ y de sentido contrario son:

[ [6, 1] ; [-6, -1]]

Para verificar que estos vectores son ortogonal Dónde perpendicular en el vector dado, resolveremos para el producto escalar. Si el producto escalar es ceroesto significa que los vectores son perpendicular.

Dado el vector $u$:

[u=dfrac{-1}{4}i+dfrac{3}{2}j]

[u.w=0]

[=[dfrac{-1}{4}+dfrac{3}{2}].[6 , 1]]

[=[dfrac{-6}{4}+dfrac{3}{2}]]

[=[dfrac{-3}{2}+dfrac{3}{2}]]

[=0]

Dado el vector $u$:

[u=dfrac{-1}{4}i+dfrac{3}{2}j]

El vector $w$ viene dado por:

[w=[-6,-1]]

[u.w=0]

[=[frac{-1}{4}+frac{3}{2}] . [-6,-1]]

[=[frac{+6}{4}+frac{-3}{2}]]

[=[frac{3}{2}+frac{-3}{2}]]

[=0]

Esto verifica que los dos vectores son opuesto el uno al otro y perpendicular al vector dado $u$.

Los resultados numéricos

Nuestros vectores requeridos de $2$ que son ortogonal Dónde perpendicular al vector dado $u=dfrac{-1}{4}i+dfrac{3}{2}j$ y opuesto son $[6,1]$ y $[-6,-1]ps

Ejemplo

encontrar dos vectores que son opuesto el uno al otro y perpendicular al vector dado $A=dfrac{1}{2}i-dfrac{2}{9}j$.

ya sea nuestro vector requerido o $B=[b_1 ,b_2]ps

Dado el vector $A$:

[A=dfrac{1}{2}i-dfrac{2}{9}j]

[A.B=0]

[[dfrac{1}{2}-dfrac{2}{9} ] . [b_1 ,b_2]=0]

[[dfrac{1}{2}b_1- dfrac{2}{9}b_2]=0]

[dfrac{1}{2}b_1=dfrac{2}{9} b_2]

Entonces $2$ se multiplicará en el lado derecho y obtenemos la ecuación en términos de $b_1$ como:

[b_1=dfrac{2 times 2}{9}b_2]

[b_1=dfrac{4}{9}b_2]

como $b_1=dfrac{4}{9} b_2$ así que pon el valor de $b_1$ en el vector $B$.

[[b_1,b_2]]

[[dfrac{4}{9}b_2,b_2]]

Nuestro vector requerido $B =[dfrac{4}{9} b_2 , b_2]$ será ortogonal al vector dado $A=dfrac{1}{2}i-dfrac{2}{9}j $ cuando $b_2$ pertenece a cualquier valor de la numeros reales.

Como puede haber varios vectores correctos, supongamos $b_2(1)=9$ y $b_2(2)=-9$.

Obtenemos vectores como:

[[dfrac{4}{9} b_2 ,b_2]]

Ponga $b_2(1)=9$ obtenemos el vector de la siguiente manera:

[[dfrac{4}{9} times 9,9]]

[[4, 9]]

Ahora ponga $b_2(1)=-9$ y obtenemos el vector como:

[[dfrac{4}{9} times -9,-9]]

[[-4,-9]]

entonces:

[ B=[4i+9j]hespacio{0,4 pulgadas} B=[-4i-9j] ]

Nuestros vectores requeridos de $2$ que son ortogonal Dónde perpendicular al vector dado $A=dfrac{1}{2}i-dfrac{2}{9}j$ y opuesto son $[4,9]$ y $[-4,-9]ps