Encuentre el área de la región delimitada por el bucle interior de la curva:

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[ r = 1 + 2sin theta  ]

Este problema tiene como objetivo encontrar el área de la región delimitada por un curva coclear cuya ecuación es $ r = 1 + 2sintheta$, donde $r$ es el radio de la curva. Este problema requiere conocimiento. sistemas coordinadosla formación de una curva de caracol y la fórmula para encontrar el área de los bucles interior y exterior de una curva de caracol.

A sistema coordinado se utiliza para determinar el área de un punto en el espacio. La mayoría de las veces usamos el rectangular Dónde sistema de coordenadas Cartesianas en nuestros problemas matemáticos. A sistema de rejilla rectangular se utiliza para determinar la posición de un punto en el espacio. También podemos determinar la ubicación de este punto exacto describiendo su ubicación y distancia desde un punto fijo como referencia.

Respuesta experta

Una cóclea es un analagmático curva que parece un círculo pero tiene una pequeña muesca en un lado. Las ecuaciones de la forma $ r = a + bsentheta $, $ r = a – bsentheta $, $ r = a + bcostheta $, y $ r = a – bcostheta $ producirán Caracoles.

Si el valor de $a$ es ligeramente inferior al valor de $b$, entonces el gráfico formará una cóclea con un lazo interior como se muestra en la siguiente figura.

Curva Limacon con bucle interior

Figura 1

Así que primero, encontraremos el intervalo en el que bucle interior salidas

Dada la ecuación $r = 1 + 2sintheta $, tomaremos $r=0$

[ 1 + 2sintheta = 0 ]

[ sin theta = dfrac{-1}{2} ]

[ theta = dfrac{7pi}{6}, dfrac{11pi}{6} ]

Podemos encontrar el área bajo el bucle interior de la curva de caracol realizando un Integral definida entre los dos puntos sólidos. Para localizar el Región bajo el curva $r$ entre $x = theta_1$ & $x = theta_2$, integraremos $r$ entre los límites de $theta_1$ & $theta_2$.

Modificación de la integral dependiendo de las variables requeridas:

[ Area = int_{theta 1}^ {theta2} dfrac{1}{2}r^ 2 dtheta ]

Pon los valores en la fórmula:

[ Area = int_{dfrac{7pi}{6}}^ {dfrac{11pi}{6}} dfrac{1}{2}(1+2sintheta)^ 2 dtheta ]

[ = int_{dfrac{7pi}{6}}^ {dfrac{11pi}{6}} dfrac{1}{2}(1+2sintheta)^ 2 dtheta ]

[ = int_{dfrac{7pi}{6}}^ {dfrac{11pi}{6}} dfrac{1}{2}+2sintheta + 2sin^  2theta dtheta ]

[ = int_{dfrac{7pi}{6}}^ {dfrac{11pi}{6}} dfrac{3}{2}+2sintheta – cos2theta dtheta ]

[ = left[ dfrac{3theta}{2}-2costheta – dfrac{1}{2} sin2theta right]_{dfrac{7pi}{6}}^ {dfrac{11pi}{6}} ]

[ = dfrac{11pi}{4} – 2 times dfrac{sqrt{3}}{2} – dfrac{1}{2} left( – dfrac{sqrt{3}}{2}right) – left(dfrac{-7pi}{4} -2left(-dfrac{sqrt{3}}{2} right) – dfrac{1}{2} times dfrac{sqrt{3}}{2}right)  ]

[ = dfrac{11pi}{4} – dfrac{7pi}{4} -sqrt{3} + dfrac{sqrt{3}}{4} -sqrt{3} +  dfrac{sqrt{3}}{4} ]

resultado numérico

[Area = pi – dfrac{3sqrt{3}}{2}]

Ejemplo

Encuéntralo Región de la Región rodeado por el bucle interior de la curva polar:

[ r = 2+4costheta ]

[ cos theta = dfrac{-1}{2} ]

[ theta = dfrac{2pi}{3}, dfrac{4pi}{3}]

Poner los valores en el Fórmula:

[ Area = int_{dfrac{2pi}{3}}^{dfrac{4pi}{3}} dfrac{1}{2}(2+4costheta)^2 dtheta]

Resolviendo las integrales, el área bajo la curva resulta ser:

[ A = 2(2pi – 4sqrt{3} + sqrt{3})]

[ A = 4pi – 6sqrt{3}]

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.