Encuentre el centroide de la región en el primer cuadrante delimitado por las curvas dadas y=x^3 y x=y^3

El área, $A$, de la región se puede encontrar mediante:

[ A = int_{a}^{b} f(x) – g(x) ,dx ]

Aquí, $a$ y $b$ muestran los límites de la región en relación con el $eje$x. $a$ es el límite inferior y $b$ es el límite superior. Aquí mismo

[ [a, b] = [0, 1] ]

Nosotros tenemos

[ f(x) = x^3 ]

[ g(x) = x^{1/3} ]

Sustituyendo los valores en la ecuación anterior, obtenemos

[ A = int_{0}^{1} x^3 – x^{1/3} ,dx ]

Separando las integraciones, obtenemos

[ A = int_{0}^{1} x^3 ,dx – int_{0}^{1} x^{1/3} ,dx ]

Resolviendo integraciones separadas, obtenemos

[ A = Big{[} dfrac{x^4}{4} – dfrac{3x^{4/3}}{4} Big{]}_{0}^{1} ]

Sustituyendo los límites superior e inferior en la ecuación, obtenemos

[ A = Big{[} dfrac{1^4}{4} – dfrac{3(1)^{4/3}}{4} Big{]} – Grueso{[} dfrac{0^4}{4} – dfrac{3(0)^{4/3}}{4} Big{]} ]

Después de más tenemos,

[ A = -0.5 text{(units)$^2$} ]

Ahora necesitamos encontrar los momentos de la región.

$x$-momento está dado por,

[ M_x = int_{a}^{b} dfrac{1}{2} { (f(x))^2 – (g(x))^2 } ,dx ]

Sustituyendo los valores,

[ M_x = int_{0}^{1} dfrac{1}{2} { (x^3)^2 – (x^{1/3})^2 } ,dx ]

Eliminando la constante de integración,

[ M_x = dfrac{1}{2} int_{0}^{1} x^6 – x^{2/3} ,dx ]

integraciones separadas,

[ M_x = dfrac{1}{2} Big{[} int_{0}^{1}  x^6 ,dx – int_{0}^{1} x^{2/3} ,dx ]

Solucionar problemas de integraciones,

[ M_x = dfrac{1}{2} Big{[} dfrac{x^7}{7} – dfrac{3x^{5/3}}{5} Big{]}_{0}^{1} ]

[ M_x = dfrac{1}{2} bigg{[} Big{[} dfrac{1^7}{7} – dfrac{3(1)^{5/3}}{5} Big{]} – Grueso{[} dfrac{0^7}{7} – dfrac{3(0)^{5/3}}{5} Big{]} bigg{]} ]

Simplificar,

[ M_x = -0.23 ]

$y$-momento está dado por,

[ M_y = int_{a}^{b} x { f(x) – g(x) } ,dx ]

Sustituyendo los valores,

[ M_y = int_{0}^{1} x { x^3 – x^{1/3} } ,dx ]

[ M_y = int_{0}^{1} x^4 – x^{5/3} ,dx ]

integraciones separadas,

[ M_y = int_{0}^{1} x^4 ,dx – int_{0}^{1} x^{5/3} } ,dx ]

Solucionar problemas de integraciones,

[ M_y = Big{[} dfrac{x^5}{5} – dfrac{3x^{8/3}}{8} Big{]}_{0}^{1} ]

Anular límites,

[ M_y = Big{[}Big{[} dfrac{1^5}{5} – dfrac{3(1)^{8/3}}{8} Big{]} – Grueso{[} Big{[} dfrac{0^5}{5} – dfrac{3(0)^{8/3}}{8} Big{]} Grueso{]} ]

Simplificar,

[ M_y = -0.23 ]