(intlimits_{C}(x^2+y^2),dy)
Esta pregunta tiene como objetivo encontrar la integral lineal representada por la curva en la figura dada.
La antiderivada de una función también se llama integral de la función. La integración se refiere al proceso de determinar la antiderivada de una función. La mayoría de las veces, una familia de curvas se representa mediante una integral de la función. De manera más general, la incrustación se refiere a la adición de fragmentos pequeños e insignificantes para determinar el contenido de una región continua. En cálculo, una integral también puede llamarse área o su generalización. La integración es el proceso de calcular una integral y la integración numérica es el cálculo aproximado de una integral.
El área en planos tridimensionales se calcula mediante una integral lineal. Una integral de una función que generalmente se expresa a lo largo de una curva en el sistema de coordenadas se llama integral de línea. Además, la función integrable puede ser un campo escalar o vectorial. A lo largo de una curva, podemos integrar una función escalar o vectorial. El valor de la integral de línea se puede calcular sumando todos los valores de los puntos en el campo vectorial.
Respuesta experta
La integral dada es:
$intlimites_{C}(x^2+y^2),dy$
De acuerdo con la figura dada, la integral de fila anterior se puede dividir en dos partes de la siguiente manera:
$intlimits_{C}(x^2+y^2),dy=intlimits_{C_1}(x^2+y^2),dy+intlimits_{C_2}(x^ 2+y^2),dy$
Donde $C$ es el camino a lo largo de la curva $(x^2+y^2)$ desde los puntos $(0,0)$ a $(2,0)$ a $(2,3)$, $ C_1$ es el camino a lo largo de la curva de $(0.0)$ a $(2.0)$ y $C_3$ es el camino a lo largo de la curva de $(2.0)$ a $(2 ,3)$.
Ahora la ecuación de $C_1$ a $(0.0)$ a $(2.0)$ es:
$dfrac{x-0}{2-0}=dfrac{y-0}{0-0}$
donde $y=0$ y por lo tanto $dy=0$
Por lo tanto, la integral lineal a lo largo de $C_1$ se convierte en:
$intlimits_{C_1}(x^2+y^2),dy=intlimits_{C_1}(x^2+y^2),(0)=0$
Y la ecuación de $C_2$ a $(2.0)$ a $(2.3)$ es:
$dfrac{x-2}{2-2}=dfrac{y-0}{3-0}$
o $x=2$
Por lo tanto, la integral lineal a lo largo de $C_2$ se convierte en:
$intlimits_{C_2}(x^2+y^2),dy=intlimits_{0}^{3}(2^2+y^2),dy$
$=intlimits_{0}^{3}(4+y^2),dy$
$=intlimits_{0}^{3}4,dy+intlimits_{0}^{3}y^2,dy$
$=4[y]_ {0}^{3}+izquierda[dfrac{y^3}{3}right]_ {0}^{3}$
$=4[3-0]+dfrac{1}{3}[3^3-0^3]ps
$=4[3]+dfrac{1}{3}[27-0]ps
$=12+dfrac{27}{3}$
$=12+$9
$=21$
Ejemplo
Sea $f(x,y)=y+cos pi x$ a lo largo del segmento $C$ desde $(0,2)$ hasta $(3,4)$. Calcule $intlimits_{C}f(x,y),ds$.
La solución
Primero, encuentra la ecuación del segmento de línea $C$ desde $(0.2)$ hasta $(3.4)$.
La pendiente en el origen de la ecuación de la recta viene dada por:
$y=mx+c$
donde $m=dfrac{4-2}{3-0}=dfrac{2}{3}$
Entonces, $y=dfrac{2}{3}x+c$ (1)
Ahora, para encontrar $c$, sustituya $(0,2)$ en (1):
$2=dfrac{2}{3}(0)+c$
$c=2$
Entonces (1) se convierte en:
$y=dfrac{2}{3}x+2$
Sea $x=t$ y luego $y=dfrac{2}{3}t+2$. Así, las ecuaciones paramétricas de $C$ son:
$x
