El propósito principal de esta pregunta es encontrar el área dado toro con el rayos representado por r y r.
Esta pregunta utiliza el concepto de toro. Un toro es esencialmente el revolución superficial generado como resultado de torneado la circulo en el espacio tridimensional.
Respuesta experta
En esta pregunta, buscaremos encontrar área del toro del cual Rayo de la el tubo es r y el la distancia al centro es R.
Sabemos que toro generado como resultado de círculo giratorio es:
[(x space – space R)^2 space + space y^2 space = space r^2 space, space R>r>0 ]
los mitad superior es:
[f(x) space = space (r^2 space – space (x space – space R^2)^frac{1}{2} space, space R space – space r spacele space x space le space R space + space r]
De este modo:
[x space in [x_0,x_0 space + space Delta x] ]
[Delta s space = space sqrt {(Delta x)^2 space + space(f(x_o space + space Delta x) space – space f(x_o))^2} ]
[ds space = space sqrt{1 space + space (f’ space (x))^2}]
Entonces:
[dA space = space 2 pi x d s space = space 2 pi x sqrt{1 space + space (f'(x))^2} dx ]
[f'(x) space = space frac{1}{2}(r^2 space – space (x space – space R)^2)^frac{1}{2} space 2(R space – space x) ]
[= space frac{R space – space x}{f(x)} ]
[= space sqrt{1 space + space (f'(x))^2} space = space frac{x}{f(x)} ]
De este modo:
[ 2A space = space 4 pi ^2 Rr]
Respuesta numérica:
los área de la toro es $ 4 pi ^2 Rr$.
Ejemplo
Encuentre la superficie del toro cuyos radios son r y r.
En esta pregunta, buscaremos encontrar área de la toro cuyo radio el tubo es r y el distancia a centro r.
Toro generado Como consecuencia radio de giro es:
[(x space – space r)^2 space + space y^2 space = space r^2 space, space r>r>0 ]
los mitad superior es:
[f(x) space = space (r^2 space – space (x space – space r^2)^frac{1}{2} space, space r space – space r spacele space x space le space r space + space r]
Así por simplificarse tiene:
[x space in [x_0,x_0 space + space Delta x] ]
[Delta s space = space sqrt {(Delta x)^2 space + space(f(x_o space + space Delta x) space – space f(x_o))^2} ]
[ds space = space sqrt{1 space + space (f’ space (x))^2}]
Entonces:
[dA space = space 2 pi x d s space = space 2 pi x sqrt{1 space + space (f'(x))^2} dx ]
[f'(x) space = space frac{1}{2}(r^2 space – space (x space – space R)^2)^frac{1}{2} space 2(r space – space x) ]
[= space frac{r space – space x}{f(x)} ]
[= space sqrt{1 space + space (f'(x))^2} space = space frac{x}{f(x)} ]
Por simplificar obtenemos el área de la toro como:
[ 2A space = space 4 pi ^2 rr]
Por lo tanto, la área de la toro es $espacio 4 pi ^2 rr$.
