Encuentre todas las segundas derivadas parciales de v=xy/xy.

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Esta pregunta tiene como objetivo encontrar todas las derivadas parciales de segundo orden de la función dada.

La derivada de una función con más de una variable con respecto a cualquiera de las variables presentes en la función mientras se tratan las otras variables como constantes se denomina derivada parcial de esa función. En otras palabras, cuando la entrada a la función se compone de múltiples variables, nos interesa ver cómo cambia la función cuando cambiamos solo una variable y mantenemos las demás constantes. Estos tipos de derivados se utilizan con mayor frecuencia en geometría diferencial y cálculo vectorial.

El número de variables en una función permanece igual cuando tomamos la derivada parcial. Además, se pueden obtener derivadas de orden superior tomando las derivadas parciales de las derivadas parciales ya obtenidas. Las derivadas de orden superior son útiles para determinar la concavidad de una función, es decir, el máximo o el mínimo de una función. Sea $f(x,y)$ una función continua y diferenciable en un intervalo abierto, entonces se pueden obtener dos tipos de derivadas parciales: derivadas parciales directas de segundo orden y derivadas parciales cruzadas, también llamadas derivadas parciales mixtas.

Respuesta experta

Primero, diferencie parcialmente $v$ con respecto a $x$ manteniendo $y$ constante usando la regla del cociente como:

$v_x=dfrac{(xy)(y)-xy(1)}{(xy)^2}$

$v_x=dfrac{xy-y^2-xy}{(xy)^2}$

$v_x=dfrac{-y^2}{(xy)^2}$

Segundo, diferencie parcialmente $v$ con respecto a $y$ manteniendo $x$ constante usando la regla del cociente como:

$v_y=dfrac{(xy)(x)-xy(-1)}{(xy)^2}$

$v_y=dfrac{x^2-xy+xy}{(xy)^2}$

$v_y=dfrac{x^2}{(xy)^2}$

Ahora encuentre las derivadas parciales de segundo orden y use la regla del cociente de la siguiente manera:

$v_{xx}=dfrac{(xy)^2(0)-(-y^2)[2(x-y)(1)]}{(xy)^4}$

$v_{xx}=dfrac{2y^2(xy)}{(xy)^4}$

$v_{xx}=dfrac{2y^2}{(xy)^3}$

$v_{yy}=dfrac{(xy)^2(0)-(x^2)[2(x-y)(-1)]}{(xy)^4}$

$v_{yy}=dfrac{2x^2(xy)}{(xy)^4}$

$v_{aa}=dfrac{2x^2}{(xy)^3}$

También encuentre las derivadas parciales mixtas de segundo orden de la siguiente manera:

$v_{xy}=dfrac{(xy)^2(-2y)-(-y^2)[2(x-y)(-1)]}{(xy)^4}$

$v_{xy}=dfrac{-2y(xy)^2-2y^2(xy)}{(xy)^4}$

$v_{xy}=dfrac{2(xy)[-y(x-y)-y^2]}{(xy)^4}$

$v_{xy}=dfrac{2[-xy+y^2-y^2]}{(xy)^3}$

$v_{xy}=dfrac{-2xy}{(xy)^3}$

Y es bien sabido que $v_{xy}=v_{yx}$.

Ejemplo 1

Sea $f(x,y)=sin(3x)+y^2e^{2x}-2x^2$ una función de dos variables. Encuentre todas las derivadas parciales de segundo orden de esta función.

La solución

Primero, encuentre las derivadas con respecto a $x$ y $y$ de la siguiente manera:

$f_x(x,y)=cos(3x)cdot 3+y^2cdot (2e^{2x})-4x$

$f_x(x,y)=3cos(3x)+2y^2e^{2x}-4x$

$f_y(x,y)=0+e^{2x}cdot(2y)-0$

$f_y(x,y)=2ye^{2x}$

Ahora encuentre las derivadas parciales directas y mixtas de segundo orden de la siguiente manera:

$f_{xx}(x,y)=-3sin(3x)cdot 3+2y^2(2e^{2x})-4$

$f_{xx}(x,y)=-9sen(3x)+4y^2e^{2x}-4$

$f_{yy}(x,y)=2e^{2x}$

$f_{xy}(x,y)=0+2(2y)e^{2x}-0$

$f_{xy}(x,y)=4ye^{2x}=f_{yx}(x,y)$

Ejemplo 2

Sea $f(x,y)=ye^{xy^2}$. Demuestre que $f_{xy}=f_{yx}$.

La solución

Las derivadas de primer orden se pueden obtener de la siguiente manera:

$f_x(x,y)=y(e^{xy^2}cdot y^2)$

$f_x(x,y)=y^3e^{xy^2}$

$f_y(x,y)=y(e^{xy^2}cdot 2xy)+e^{xy^2}cdot 1$

$f_y(x,y)=2xy^2e^{xy^2}+e^{xy^2}$

$f_y(x,y)=e^{xy^2}(2xy^2+1)$

Ahora,

$f_{xy}(x,y)=y^3(2xye^{xy^2})+3y^2e^{xy^2}$

$f_{xy}(x,y)=2xy^4e^{xy^2}+3y^2e^{xy^2}$

$f_{xy}(x,y)=y^2e^{xy^2}(2xy^2+3)$ (1)

Y,

$f_{yx}(x,y)=2xy^2(y^2e^{xy^2})+e^{xy^2}(2y^2)+y^2e^{xy^2}$

$f_{yx}(x,y)=2xy^4e^{xy^2}+2y^2e^{xy^2}+y^2e^{xy^2}$

$f_{yx}(x,y)=2xy^4e^{xy^2}+3y^2e^{xy^2}$

$f_{yx}(x,y)=y^2e^{xy^2}(2xy^2+3)$ (2)

Así, a partir de las ecuaciones (1) y (2), se demuestra que $f_{xy}=f_{yx}$.

Ejemplo 3

Encuentra $f_{xx}(x,y),f_{yy}(x,y)$ y $f_{xy}(x,y),f_{yx}(x,y)$ de la función $f( x ,y)=x^2+y^2$.

La solución

Las derivadas de primer orden son:

$f_x(x,y)=2x+0$

$f_x(x,y)=2x$

$f_y(x,y)=0+2y$

$f_y(x,y)=2y$

Las derivadas de segundo orden son:

$f_{xx}(x,y)=2(1)$

$f_{xx}(x,y)=2$

$f_{aa}(x,y)=2(1)$

$f_{aa}(x,y)=2$

$f_{xy}(x,y)=0$

$f_{yx}(x,y)=0$