Encuentre un vector distinto de cero ortogonal al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y el área del triángulo PQR.

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Toma nota de los siguientes puntos:
$P(1,0,1) , Q(-2,1,4) , R(7,2,7)$

  • Encuentre un vector distinto de cero ortogonal al plano que pasa por los puntos $P, Q$ y $R$.
  • Halla el área del triángulo $PQR$.

El objetivo de esta pregunta es encontrar un vector ortogonal y el área de un triángulo usando los vectores $P, Q,$ y $R$.

Un vector es básicamente cualquier cantidad matemática que tiene magnitud, es definida en una dirección específica y la suma entre dos vectores es definida y conmutativa.

Los vectores se representan en la teoría vectorial como segmentos de línea orientados con longitudes iguales a sus magnitudes. Aquí se discutirá el área de un triángulo formado por vectores. Cuando tratamos de determinar el área de un triángulo, generalmente usamos la fórmula de Heron para calcular el valor. Los vectores también se pueden utilizar para representar el área de un triángulo.

El concepto de ortogonalidad es una generalización del concepto de perpendicularidad. Cuando dos vectores son perpendiculares entre sí, se dice que son ortogonales. En otras palabras, el producto punto de los dos vectores es cero.

Respuesta experta

Suponga que $overrightarrow{A}$ y $overrightarrow{B}$ son dos vectores linealmente independientes. Sabemos que el producto vectorial de dos vectores linealmente independientes da un vector distinto de cero ortogonal a ambos.

Dejar

$overrightarrow{A}=overrightarrow{PQ}$

$overrightarrow{A}=(-2,1,4)-(1,0,1)$

$overrightarrow{A}=(-3,1,3)$

Y

$overrightarrow{B}=overrightarrow{PR}$

$overrightarrow{B}=(7,2,7)-(1,0,1)$

$overrightarrow{B}=(6,2,6)$

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Sea $overrightarrow{C}$ un vector distinto de cero ortogonal al plano que pasa por los puntos $P,Q$ y $R$, entonces

$overrightarrow{C}=overrightarrow{A}timesoverrightarrow{B}$

$=begin{vmatrix}hat{i}&hat{j}&hat{k}\-3&1&3\6&2&6end{vmatrix}$

$=(6-6)sombrero{i}-(-18-18)sombrero{j}+(-6-6)sombrero{k}$

$=0sombrero{i}+36sombrero{j}-12sombrero{k}$

$=ps

Puisqu’il est connu que $overrightarrow{A}$ et $overrightarrow{B}$ sont les deux côtés d’un triangle, nous savons également que l’amplitude du produit vectoriel peut être utilisée pour calculer l’aire du triangle , Entonces

Área del triángulo $=dfrac{1}{2}|overrightarrow{A}times overrightarrow{B}|$

$=dfrac{1}{2}sqrt{0^2+36^2+(-12)^2}$

$=sqrt{1296+144}=dfrac{1}{2}(12sqrt{10})$

$=6sqrt{10}$

Ejemplo

Considere un triángulo $ABC$. Los valores de $overrightarrow{A},overrightarrow{B}$ y $overrightarrow{C}$ son:

$overrightarrow{A}=5sombrero{i}+sombrero{j}+3sombrero{k}$

$overrightarrow{B}=7sombrero{i}+2sombrero{j}+5sombrero{k}$

$overrightarrow{C}=-sombrero{i}-3sombrero{j}-10sombrero{k}$

Encuentra el área del triángulo.

La solución

Dado que el área del triángulo es $=dfrac{1}{2}|overrightarrow{AB}times overrightarrow{AC}|$

Ahora,

$overrightarrow{AB}=overrightarrow{B}-overrightarrow{A}$

$=(7sombrero{i}+2sombrero{j}+5sombrero{k})-( 5sombrero{i}+sombrero{j}+3sombrero{k})$

$=2sombrero{i}+sombrero{j}+2sombrero{k}$

Y

$overrightarrow{AC}=overrightarrow{C}-overrightarrow{A}$

$=(-sombrero{i}-3sombrero{j}-10sombrero{k})-( 5sombrero{i}+sombrero{j}+3sombrero{k})$

$=-6sombrero{i}-4sombrero{j}-13sombrero{k}$

Además, $overrightarrow{AB}times overrightarrow{AC}$

$=begin{vmatriz}hat{i}&hat{j}&hat{k}\2&1&2\-6&-4&-13end{vmatriz}$

$=sombrero{i}(-13+8)+sombrero{j}(-26+12)-(-8+6)sombrero{k}$

$=-5sombrero{i}-14sombrero{j}+2sombrero{k}$

$|overrightarrow{AB}times overrightarrow{AC}|=sqrt{(-5)^2+(-14)^2+(2)^2}$

$=sqrt{25+196+4}$

$=sqrt{225}=15$

Área del triángulo $=dfrac{15}{2}$.

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