begin{ecuación*} A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -7 \ 0 & 1 & 4 & -6 end{bmatrix} end{equation*}
Este problema tiene como objetivo encontrar los vectores de la matriz A que generan el espacio nulo. El espacio nulo de la matriz A se puede definir como el conjunto de n vectores columna x tales que su multiplicación de A y x produce un cero, es decir, Ax = 0. Estos vectores serán la descripción explícita del cero a.
Respuesta experta:
Matriz dada:
[ begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -7 & 0 \ 0 & 1 & 4 & -6 & 0 end{bmatrix} ]
Lo primero que hay que hacer es encontrar la descripción paramétrica de la ecuación homogénea. Para hacer esto, debemos reducir en línea la ecuación homogénea por una matriz $A$ por $x$ igual al vector $0$, pero la convertiremos a su matriz equivalente aumentada por la forma escalonada reducida en línea.
Dado que el primer pivote tiene un $0$ debajo, lo dejaremos como está y usaremos el segundo pivote para eliminar la entrada arriba de $1$.
Para hacer $0$ por encima de $1$, necesitamos hacer lo siguiente:
begin{ecuación*} begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -7 & 0 \ 0 & 1 & 4 & -6 & 0 \ end{bmatrix}R_1 rightarrow R_1 – 2R_2 begin{bmatrix } 1 & 0 & -5 & 5 & 0 \ 0 & 1 & 4 & -6 & 0 end{bmatriz} end{ecuación*}
Sin embargo, esta forma escalonada reducida a una línea es equivalente a los sistemas lineales:
[ x_1 – 5x_3 + 5x_4 = 0 ]
Y la segunda línea nos da:
[ x_2 – 4x_3 + 6x_4 = 0 ]
$x_1$ y $x_2$ son nuestras variables base. Resolviendo estas variables básicas, obtenemos el sistema de la siguiente manera:
[ x_1 = 5x_3 – 5x_4 ]
[ x_2 = – 4x_3 + 6x_4 ]
Ahora $x_3$ y $x_4$ son variables libres porque pueden ser cualquier número real. Para encontrar el conjunto de cobertura, reescribimos esta solución general en forma de sus formas vectoriales paramétricas.
Por lo tanto, la forma vectorial paramétrica de $x$ es:
begin{ecuación*} x = begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ end{bmatrix} = begin{bmatrix} 5x_3 & -5x_4 \ -4x_3 & 6x_4 \ 1 & 0 \ 0 & 1 \ end{bmatriz} end{ecuación*}
donde $x_3$ y $x_4$ son cantidades escalares.
Para encontrar el conjunto generador del nulo de la matriz A, necesitamos ver los vectores columna.
Entonces los múltiplos escalares son la combinación lineal de los vectores columna. Reescribiendo nuestra respuesta nos da:
begin{ecuación*} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ end{bmatrix} = x_3 begin{bmatrix} 5 \ -4 \ 1 \ 0 \ end {bmatriz} + x_4 begin{bmatriz} -5 \ 6 \ 0 \ 1 \ end{bmatriz} end{ecuación*}
Los resultados numéricos:
Los conjuntos de cobertura para Null $A$ son estos dos vectores:
begin{ecuación*} left{ begin{bmatrix} 5 \ -4 \ 1 \ 0 \ end{bmatrix} , begin{bmatrix} -5 \ 6 \ 0 \ 1 \ end{bmatrix} right} end{ecuación*}
- Tenga en cuenta que cada combinación lineal de estos dos vectores de columna será un elemento del nulo de $A$ porque resuelve la ecuación homogénea.
- Esto significa que el conjunto generador de Null($A$) es linealmente independiente y $Ax=0$ tiene solo la solución trivial.
- Además, cuando Null($A$) contiene vectores distintos de cero, la cantidad de vectores en el conjunto generador será igual a la cantidad de variables libres en $Ax=0$.
Ejemplo:
Encuentre una descripción explícita de Nulo ($ A $) enumerando los vectores que abarcan el espacio nulo.
begin{ecuación*} A =begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & -4 \ 0 & 1 & 3 & -5 end{bmatrix} end{equation*}
El paso 1 es convertir $A$ a una forma de paso de fila reducida para hacer $0$ por encima de $1$ en la segunda columna. Para hacer esto, necesitamos hacer lo siguiente:
begin{ecuación*} begin{bmatrix}1 & 3 & -2 & -4 & 0 \ 0 & 1 & 3 & -5 & 0 \ end{bmatrix}R_1 rightarrow R_1 – 3R_2 begin{ bmatriz} 1 & 0 & -11 & 19 & 0 \ 0 & 1 & 3 & -5 & 0 end{bmatriz} end{ecuación*}
Primero multiplicamos la segunda fila $R_2$ por $3$ y luego la restamos de la primera fila $R_1$ para obtener $0$ mayor que $1$ en la segunda columna.
Por lo tanto, $x_1$ y $x_2$ se pueden encontrar como:
[ x_1 = 11x_3 – 19x_4 ]
[ x_2 = – 3x_3 + 5x_4 ]
$x_1$ y $x_2$ son nuestras variables base.
Ahora $x_3$ y $x_4$ son variables libres porque pueden ser cualquier número real. Para encontrar el conjunto de cobertura, reescribimos esta solución general en forma de sus formas vectoriales paramétricas.
Por lo tanto, la forma vectorial paramétrica de $x$ es:
begin{ecuación*} x = begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ end{bmatrix} = begin{bmatrix} 11x_3 & -19x_4 \ -3x_3 & 5x_4 \ 1 & 0 \ 0 & 1 \ end{bmatriz} end{ecuación*}
begin{ecuación*} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ end{bmatrix} = x_3 begin{bmatrix} 11 \ -3 \ 1 \ 0 \ end {bmatriz} + x_4 begin{bmatriz} -19 \ 5 \ 0 \ 1 \ end{bmatriz} end{ecuación*}
Los conjuntos de cobertura para Null $A$ son estos dos vectores:
begin{ecuación*} left{ begin{bmatrix} 11 \ -3 \ 1 \ 0 \ end{bmatrix} , begin{bmatrix} -19 \ 5 \ 0 \ 1 \ end{bmatrix} right} end{ecuación*}
