Encuentre una ecuación del plano tangente a la siguiente superficie en el punto dado:

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Find An Equation Of The Plane Tangent To The Following Surface At The Given Point.

7xy + yz + 4xz – 48 = 0; (2, 2, 2)

El propósito de esta pregunta es entender el derivadas parciales de una superficie y su importancia en términos de encontrar los planos tangentes.

Una vez que tengamos ecuaciones diferenciales parcialessimplemente ponemos los valores en la siguiente ecuación para obtener el ecuación del plano tangente:

[ ( x – x_1 ) dfrac{ partial }{ partial x } f(x_1,y_1,z_1) + ( y – y_1 ) dfrac{ partial }{ partial y } f(x_1,y_1,z_1) + ( z – z_1 ) dfrac{ partial }{ partial z } f(x_1,y_1,z_1) = 0]

Donde, $( x_1, y_1, z_1 )$ es el punto donde se debe calcular la ecuación tangente.

Respuesta experta

Etapa 1)Cálculo de ecuaciones diferenciales parciales:

[ dfrac{ partial }{ partial x } f(x,y,z) = dfrac{ partial }{ partial x } ( 7xy + yz + 4xz  ) = 7y + 4z ]

[ dfrac{ partial }{ partial y } f(x,y,z) = dfrac{ partial }{ partial y } ( 7xy + yz + 4xz  ) = 7y + y ]

[ dfrac{ partial }{ partial z } f(x,y,z) = dfrac{ partial }{ partial z } ( 7xy + yz + 4xz  ) = y + 4x ]

2do paso)Evaluación de derivadas parciales a a $( 2, 2, 2 )$ :

[ dfrac{ partial }{ partial x }  f(2,2,2) = 7(2) + 4(2) = 22 ]

[ dfrac{ partial }{ partial y }  f(2,2,2) = 7(2) + (2)   = 16 ]

[ dfrac{ partial }{ partial z }  f(2,2,2) = (2) + 4(2) = 10 ]

Paso (3) – Derivación de la ecuación del plano tangente:

[ ( x – x_1 ) dfrac{ partial }{ partial x } f(x_1,y_1,z_1) + ( y – y_1 ) dfrac{ partial }{ partial y } f(x_1,y_1,z_1) + ( z – z_1 ) dfrac{ partial }{ partial z } f(x_1,y_1,z_1)  = 0]

[  Rightarrow ( x – 2 ) dfrac{ partial }{ partial x } f(2,2,2) + ( y – 2 ) dfrac{ partial }{ partial y } f(2,2,2) + ( z – 2 ) dfrac{ partial }{ partial z } f(2,2,2) = 0]

[  Rightarrow ( x – 2 ) ( 22 ) + ( y – 2 ) ( 16 ) + ( z – 2 ) ( 10 ) = 0]

[  Rightarrow 22x – 44 + 16y – 32 + 10z – 20 = 0 ]

[  Rightarrow 22x + 16y + 10z – 96 = 0 ]

que es la ecuación de la tangente.

resultado numérico

[  22x + 16y + 10z – 96 = 0 ]

Ejemplo

Encuentre una ecuación del plano tangente a la siguiente superficie en el punto dado:

[ boldsymbol{ x + y = 0; ( 1, 1, 1 ) } ]

Cálculo de derivadas parciales:

[ dfrac{ partial }{ partial x } (x+y) = y = 1 @ ( 1, 1, 1 ) ]

[ dfrac{ partial }{ partial y } (x+y) = x = 1 @ ( 1, 1, 1 ) ]

La ecuación tangente es:

[ 1(x-1) + 1(y-1) = 0 ]

[ Rightarrow x-1+y-1 = 0 ]

[ Rightarrow x+y-2 = 0 ]

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