Escribe los primeros cuatro términos de la serie de Maclaurin de f(x).

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Esta pregunta tiene como objetivo encontrar los primeros cuatro términos de la serie de Maclaurin cuando los valores de f(0), f'(0), f”(0) y f”'(0) son dados.

La serie Maclaurin es una extensión de la serie de taylor. Calcula el valor de una función f(x) cerca de cero. El valor de derivadas sucesivas de la función f(x) debe ser conocida. La fórmula para Serie Maclaurin se da de la siguiente manera:

[sum_ {n=0}^ {infty} dfrac{ f^{n} (a) }{ n! } (x – a)^n ]

Respuesta experta

[ f ( x ) =  sum_{n=0}^{infty} frac { f ^{(n)}{(0)}} { n! } x ^ n  ]

[ f ( x ) =  sum_{n=0}^{infty} frac { f  ^ {(n)}(0) } { n! } x ^ n  ]

[ f ( x ) = f ( 0 ) + f’ ( 0 ) x + frac { f’’ ( 0 ) } { 2! } x^2 + frac { f’’’ ( 0 ) } { 3! } x^3 + frac { f ^ {(4)} ( 0 ) } { 4! } x^4 + … ]

Para encontrar los primeros cuatro términos de la serie de Maclaurin:

[ f ( x ) = f ( 0 ) + f’ ( 0 ) x + frac { f’’ ( 0 ) } { 2! } x^2 + frac { f’’’ ( 0 ) } { 3! } x^3 + … ]

Se dan los valores de f (0), f’ (0) y f” (0), entonces tenemos que poner estos valores en la serie mencionada anteriormente:

Estos valores son:

f ( 0 ) = 2 , f’ ( 0 ) = 3, f” ( 0 ) = 4, f”’ ( 0 ) = 12

Poniendo estos valores:

[ f ( x ) = 2 + 3 x + frac {4}{2} x ^ 2 + frac {12}{6} x^3 ]

[ f ( x ) = 2 + 3 x + 2 x ^ 2 + 2 x ^ 3 ]

resultado numérico

Los primeros cuatro términos de la serie de Maclaurin son:

[ f ( x ) = 2 + 3 x + 2 x ^ 2 + 2 x ^ 3 ]

Ejemplo

Encuentra los dos primeros términos de la serie de Maclaurin.

[ f ( x ) = f ( 0 ) + f’ ( 0 ) x + frac {f’’ ( 0 )}{2!} x^2 + frac {f’’’ ( 0 )}{3!} x^3 + frac {f ^ {(4)} ( 0 )}{4!} x^4 + … ]

[ f ( x ) = f ( 0 ) + f’ ( 0 ) x + frac{ f’’( 0 ) }{ 2! } x^2 + … ]

Se dan los valores de f (0) y f’ (0), y son los siguientes:

f ( 0 ) = 4 , f’ ( 0 ) = 2, f” ( 0 ) = 6

[ f ( x ) = 4 + 2 x + frac { 6 }{ 2 } x ^ 2 ]

[ f ( x ) = 4 + 2 x + 3 x ^ 2 ]