Espacio Muestral – Explicación y Ejemplos

Espacio Muestral – Explicación y Ejemplos

En tu estudio de probabilidades, te encontrarás con la idea de un espacio muestral. Una comprensión clara de este concepto hará que su viaje sea más esclarecedor, así que comencemos con su definición:

El “espacio muestral” se define como el conjunto que contiene todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Para ayudarlo a comprender este concepto, este artículo explorará las respuestas a las siguientes preguntas:

  • ¿Qué es un espacio muestral?
  • ¿Cómo encuentro un espacio muestral?

Vayamos al grano explicando con más detalle qué es un espacio de muestreo.

¿Qué es un espacio muestral?

Tal vez recuerdes que la probabilidad es el estudio del azar. Por ejemplo, si lanzas un dado, tienes un 50% de posibilidades de obtener cara. También puede obtener una cola. El resultado de cara y el resultado de cruz juntos forman el espacio muestral de esta experiencia. Así, concluimos:

Un espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

Por lo general, llamamos a este conjunto S. Entonces, de nuestro experimento mencionado anteriormente, tenemos

S = {H, T}

Tenga en cuenta que, dado que se trata de un conjunto, el espacio muestral se escribe utilizando la notación de conjuntos. Los siguientes ejemplos indican el espacio muestral de los experimentos dados.

Experimento 1: Elegir entre los símbolos de una baraja de cartas

S = {, , ♠, ♣}

Alternativamente,

S = {Corazón, diamante, pica, trébol}

Experimento 2: lanzar un dado

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ahora que entendemos qué es un espacio de muestreo, necesitamos explorar cómo se encuentra. Es posible que haya tenido una idea de los ejemplos anteriores, así que siga leyendo para aprender más estrategias útiles para encontrar el espacio muestral.

¿Cómo encuentro un espacio muestral?

Para determinar el espacio muestral de un experimento, enumeramos TODO los posibles resultados del experimento.

Es posible que haya notado que el espacio muestral se encuentra enumerando todos los resultados posibles del experimento. Ahora veamos algunos casos donde el espacio muestral no es tan obvio.

Experimento 2: Elige una fruta en una canasta con 3 manzanas, 5 peras, 2 plátanos y 1 naranja.

S = {Manzana, Pera, Plátano, Naranja}

Tenga en cuenta que la cantidad de frutas individuales no afecta la cantidad total de resultados posibles. Es porque esta experiencia es aquella en la que recogemos una sola fruta de la cesta. Aquí podemos recoger una manzana, una pera, un plátano o una naranja. No podemos recoger una fruta que no contenga la cesta, y sólo recogemos una fruta.

¿Y si ahora quisiéramos sacar dos frutas de la canasta?

Experimento 3: Escoja dos frutas (al mismo tiempo) en una canasta con 3 manzanas, 5 peras, 2 plátanos y 1 naranja

Para simplificar nuestro espacio muestral, usaremos:

Una manzana

P – Pera

B-Banana

O-naranja

S = {(A, A), (A, P), (A, B), (A, O), (P, P), (P, B), (P, O), (B, B) , (B, O)}

Observe que no podemos elegir (O, O) de la canasta ya que solo hay una naranja en la canasta. Además, dado que recogemos las frutas al mismo tiempo (A, P) es lo mismo que (P, A). Por lo tanto, el resultado de elegir una manzana y una pera ocurre solo una vez en el espacio muestral.

Estrategias prácticas para determinar un espacio de muestreo

Hay estrategias que se pueden usar para evitar perder algunos de los posibles resultados al escribir el espacio muestral. En esta sección veremos gráficos (o tablas) y diagramas de árbol.

Gráfico

Un gráfico se configura usando filas y columnas como una tabla. Generalmente se utiliza para determinar el espacio muestral de un experimento que combina dos actividades. Observe el ejemplo a continuación.

Experimento 4: lanzar dos dados simultáneamente

Muere 1

1

2

3

4

5

6

morir 2

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(15)

(dieciséis)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(sesenta y cinco)

(6, 6)

Este gráfico muestra correctamente los 36 resultados en este espacio muestral.

Diagrama de árbol

También podemos usar un diagrama de árbol para encontrar el espacio muestral de un experimento. Las ramas muestran combinaciones de resultados de actividades separadas que forman un resultado.

Experimento 5: lanzar una moneda y tirar un dado

tree diagram finding sample space of coin toss and die throw e1604949640686

A partir de este diagrama, podemos leer los 12 resultados posibles en el espacio muestral como:

S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}

Tenga en cuenta que el orden aquí no importa. No contamos, por ejemplo, H1 como resultado diferente de 1H.

Determinar el número de resultados en un espacio muestral (sin enumerarlos)

En los Experimentos 14 y 15, mapeamos los posibles resultados de actividades únicas entre sí de forma individual. Por lo tanto, el número de resultados del experimento fue el producto del número de resultados de las dos actividades. Esta observación es útil cuando no es práctico escribir todos los elementos en un espacio muestral.

Para Ejemplo, lanzar una moneda tiene 2 elementos en su espacio muestral. Tirar un dado tiene 6. Así, el espacio muestral del experimento de lanzar simultáneamente una moneda y tirar un dado consistió en:

2 × 6 = 12 resultados posibles.

Cuando el pedido cuenta

En el experimento 3, viste que al recoger dos frutas simultáneamente en una cesta, recoger una manzana y luego una pera era equivalente a recoger una pera y luego una manzana.

¿Qué pasaría si no recogiéramos las frutas simultáneamente y el orden en que las recogiéramos importara? En tal caso, deberíamos contar tanto (A, P) como (P, A) como resultados separados. el numero de opciones con diferentes frutas ahora se duplicaría y nuestro nuevo espacio muestral se convertiría en:

S = {(A, A), (A, P), (P, A), (A, B), (B, A), (A, O), (O, A), (P, P) , (P, B), (B, P), (P, O), (O, P), (B, B), (B, O), (O, B)}

Hay 15 resultados en este espacio muestral. Incluye el doble de resultados con diferentes frutas que el experimento original, más los tres resultados con las mismas dos frutas.

Puedes leer más sobre esto en nuestros artículos sobre permutaciones y combinaciones.

Preguntas prácticas






Problemas abiertos

Escriba el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos.

  1. Elegir una computadora portátil de una tienda con 5 marcas diferentes (B1, B2, B3, B4, B5) con 3 sistemas operativos diferentes (OS1, OS2, OS3).
  2. Elige una combinación de jeans azules o negros con un top amarillo, verde o blanco y una corbata de cuadros o rayas.

Soluciones a problemas abiertos

  1. Elegir una computadora portátil de una tienda con 5 marcas diferentes (B1, B2, B3, B4, B5) con 3 sistemas operativos diferentes (OS1, OS2, OS3).

Para esta solución, puede usar un diagrama de árbol o gráfico para asociar cada marca con un sistema operativo para obtener el siguiente espacio de muestra que contiene 15 resultados:

S = {B1-OS1, B1-OS2, B1-OS3, B2-OS1, B2-OS2, B2-OS3, B3-OS1, B3-OS2, B3-OS3, B4-OS1, B4-OS2, B4-OS3 , B5-OS1, B5-OS2, B5-OS3}

  1. Elige una combinación de jeans azules o negros con un top amarillo, verde o blanco y una corbata de cuadros o rayas.

Para esta solución, puede usar un diagrama de árbol para hacer coincidir los jeans con la parte superior, luego haga coincidir estas combinaciones con las corbatas para obtener este espacio de muestra que contiene 12 resultados:

S = {A cuadros azul-amarillo, A cuadros azul-verde, A cuadros azul-blanco, A rayas azul-amarillo, A rayas azul-verde, A rayas azul-blanco, A cuadros negro-amarillo, A cuadros negro-verde , Cuadros en blanco y negro, Franja negra y amarilla, Franja negra y verde, Franja negra y blanca}

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