Evaluación de la función de disparo: explicación y ejemplos

Evaluación de la función de disparo: explicación y ejemplos

Evaluar funciones trigonométricas de forma exacta y sin una calculadora implica memorizar algunos valores e identidades trigonométricas.

Conocer solo las relaciones de activación en el primer cuadrante es suficiente para encontrar ángulos en otros cuadrantes con solo unas pocas herramientas. Si bien las calculadoras pueden dar respuestas decimales, estos métodos dan resultados exactos.

Como ocurre con todos los temas trigonométricos, la evaluación de las funciones trigonométricas es importante para las ciencias físicas, la arquitectura y la ingeniería.

Antes de continuar con nuestro artículo, debe asegurarse de haber memorizado completamente el círculo unitario y haber entendido las funciones de activación.

Esta sección cubre:

  • Cómo evaluar las funciones de activación
  • Valores de activación importantes
  • Identidades desencadenantes importantes

Cómo evaluar funciones trigonométricas

Es posible la evaluación de funciones trigonométricas sin calculadora. Requiere un poco más de trabajo, pero da respuestas más precisas.

La evaluación de la función de activación utiliza todas las habilidades adquiridas previamente, que incluyen:

  • Memorización de ángulos en el círculo unitario
  • Memorización de valores de seno y coseno para ángulos cuadrantes y ángulos principales del primer cuadrante
  • Recordatorio del signo del seno y coseno en cada cuadrante
  • Memorice identidades trigonométricas, especialmente identidades de doble ángulo, medio ángulo, suma y diferencia.

Valores de activación importantes

Los valores trigonométricos más importantes son el seno y el coseno de los ángulos principales en el primer cuadrante y los ángulos cuadrantales.

Estos son:

Ángulo

0

$ frac { pi} {6} $

$ frac { pi} {4} $

$ frac { pi} {3} $

$ frac { pi} {2} $

$ pi $

$ frac {3 pi} {2} $

Seno

0

$ frac {1} { sqrt {2}} $

$ frac { sqrt {2}} {2} $

$ frac { sqrt {3}} {2} $

1

0

-1

Coseno

1

$ frac { sqrt {3}} {2} $

$ frac { sqrt {2}} {2} $

$ frac {1} { sqrt {2}} $

0

-1

0

Dado que la tangente es igual al seno dividido por el coseno, estos valores son suficientes para determinar la tangente. Entonces, las otras tres funciones trigonométricas son recíprocas de las tres primeras.

Después de eso, es importante saber que el valor absoluto del seno y el coseno son iguales en los ángulos correspondientes en los otros cuadrantes. Solo el signo cambiará para ángulos que estén a la misma distancia del eje x.

El mnemónico Todos los estudiantes toman cálculo ayuda con esto. Aquí, A significa Todo, S significa Seno, T significa Tangente y C significa Coseno. Esta frase inteligente expresa cuál de las tres funciones trigonométricas principales (seno, coseno y tangente) es positiva en qué cuadrante. Todos son positivos en el primero, luego solo seno en el segundo, luego solo tangente en el tercero y finalmente solo coseno en el cuarto.

Identidades desencadenantes importantes

Después de eso, encontrar ángulos menores requiere el uso de identidades trigonométricas. Las más útiles son las identidades de doble ángulo, medio ángulo, suma y diferencia para seno y coseno.

La mayoría de ellos son un poco complejos, por lo que conocer las identidades $ sin ^ 2 + cos ^ 2 = 1 $ es un atajo para encontrar el coseno dado el seno o el seno dado el coseno.

Las identidades de doble ángulo son:

  • $ sin (2x) = 2sinxcosx = frac {2tanx} {1 + tan ^ 2x} $.
  • $ cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x = 2cos ^ 2x-1 = 1-2sin ^ 2x = frac {1-tan ^ 2x} {1 + tan ^ 2x} $.

Hay varias fórmulas de doble ángulo para seno y coseno, así que use la que tenga los cálculos más fáciles.

Las identidades de medio ángulo son:

  • $ sin ( frac {x} {2}) = sqrt { frac {1-cosx} {2}} $
  • $ cos ( frac {x} {2}) = sqrt { frac {1 + cosx} {2}} $.

Entonces, las identidades de suma y diferencia son:

  • $ sin ( theta_1 + theta_2) = sin ( theta_1) cos ( theta_2) + sin ( theta_2) cos ( theta_1) $.
  • $ cos ( theta_1 + theta_2) = cos ( theta_1) cos ( theta_2) – sin ( theta_2) sin ( theta_1) $.

Para convertirlos en identidades de diferencia, cambie los signos de suma por signos de resta y, para el coseno, cambie el signo de resta en el lado derecho por un signo más.

Ejemplos de

Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas que involucran la evaluación de funciones trigonométricas y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Encuentra el seno del ángulo $ frac {7 pi} {6} $ radianes.

Solución

Primero, observe que este ángulo está en el tercer cuadrante. Dado que la tangente es la única de las tres razones trigonométricas principales que es positiva en el tercer cuadrante, el seno es negativo allí.

Ahora este ángulo es $ frac { pi} {6} $ unidades del eje x. Esto significa que el valor del seno de este ángulo tendrá el mismo valor absoluto que el seno de $ frac { pi} {6} $ en el primer cuadrante. Por el truco de la izquierda, este seno es $ frac {1} {2} $.

Por lo tanto, el seno del ángulo $ frac {7 pi} {6} $ radianes es $ – frac {1} {2} $.

Ejemplo 2

Encuentra el coseno de $ – frac {3 pi} {2} $.

Solución

Encontrar el coseno de este ángulo implica hallar el coseno del ángulo estándar equivalente.

Para encontrar esto, reste $ frac {3 pi} {2} $ de un ángulo completo, $ 2 pi $ radianes. Son $ frac { pi} {2} $ radianes.

Por lo tanto, el coseno de este ángulo es igual al coseno de $ frac { pi} {2} $ radianes, que es $ 0 $.

Ejemplo 3

Encuentra la secante de $ frac { pi} {8} $ radianes usando una identidad de medio ángulo.

Solución

Dado que la secante es igual a la inversa del coseno, primero debemos encontrar el coseno de $ frac { pi} {8} $ radianes.

Tenga en cuenta que $ frac { pi} {8} = frac {1} {2} frac { pi} {4} $. Por lo tanto, use la identidad de la mitad del ángulo para el coseno, usando $ frac { pi} {4} $ como el ángulo original.

Ahora, recuerde que la identidad de la mitad del ángulo del coseno es:

$ cos ( frac {x} {2}) = sqrt { frac {1 + cosx} {2}} $.

Por lo tanto, en este caso, el coseno de $ frac { pi} {8} $ es:

$ sqrt {1 + cos ( frac { pi} {4})} {2}} = sqrt {1+ frac { sqrt {2}} {2} {2}} = sqrt { frac { sqrt {2} +2} {2} frac {1} {2}} = sqrt { frac { sqrt {2} +2} {4}} = frac {1} {2} sqrt { sqrt {2} +2}.

Ejemplo 4

Encuentra la cosecante del ángulo $ frac {25 pi} {12} $ radianes.

Solución

Recuerde que la cosecante es la inversa del seno. Por lo tanto, para encontrar esta razón, primero encuentre el seno.

Para encontrar esta razón, es importante notar que el ángulo $ frac {25 pi} {12} $ radianes es igual a $ frac {7 pi} {4} + frac { pi} {3} PS Se conoce el seno de estos dos ángulos, por lo que es posible usar la fórmula de suma de ángulos aquí.

Sea $ frac {7 pi} {4} $ el primer ángulo y $ frac { pi} {3} $ el segundo. Entonces, el seno del ángulo $ frac {25 pi} {12} $ radianes es:

$ sin ( frac {7 pi} {4}) cos ( frac { pi} {3}) + sin ( frac { pi} {3}) cos ( frac {7 pi} {4 PS

Al introducir los valores de la función, es:

$ – frac { sqrt {2}} {2} frac {1} {2} + frac { sqrt {3}} {2} frac { sqrt {2}} {2} $,

Puede simplificarse mediante:

$ – frac { sqrt {2}} {4} + frac { sqrt {3} sqrt {2}} {4} = frac { sqrt {2} ( sqrt {3} -1) } {4} $.

Entonces, la cosecante es la inversa de esto:

$ frac {4} {sqrt {2} ( sqrt {3} -1)} $.

Ejemplo 5

Describe cómo hallar la tangente del ángulo $ frac {5 pi} {48} $.

Solución

Hay varias maneras de hacer esto. Este método usará las fórmulas dadas para el seno y el coseno, pero es posible usarlas para derivar una fórmula simple para la tangente, que sería la forma más fácil de resolver este problema.

Primero, observe que $ frac {5 pi} {48} = frac {2 pi} {48} + frac {3 pi} {48} = frac { pi} {24} + frac { pi} {16} $.

Pero, $ frac { pi} {24} = frac {1} {2} frac {1} {2} frac { pi} {6} $ y $ frac { pi} {16} = frac {1} {2} frac {1} {2} frac { pi} {4} $.

Por lo tanto, usando la fórmula de medio ángulo para seno y coseno dos veces cada uno para $ frac { pi} {6} $ radianes, luego dos veces cada uno para $ frac { pi} {4} $ producirá cuatro informes.

Luego usa el seno y el coseno de $ frac { pi} {24} $ radianes y $ frac { pi} {16} $ radianes en la fórmula de suma del seno. Repite la operación con el coseno.

Ahora divida el valor del seno por el valor del coseno. Esto producirá la tangente.

Problemas de práctica

  1. Encuentre la secante de $ – frac {5 pi} {6} $ radianes.
  2. Encuentra el coseno de $ frac {19 pi} {6} $ radianes.
  3. ¿Cuál es la tangente de $ frac { pi} {12} $ radianes?
  4. Encuentra el seno de $ frac {5 pi} {8} $ radianes.
  5. Explique por qué los ángulos conocidos y las fórmulas dadas aquí no son suficientes para encontrar el seno de $ frac { pi} {5} $ radianes.

Clave de respuesta

  1. $ – frac {2 sqrt {3}} {3} $
  2. $ – frac { sqrt {3}} {2} $
  3. $ 2- sqrt {3} $
  4. $ frac { sqrt {2+ sqrt {2}}} {2} $
  5. El ángulo $ frac { pi} {5} $ radianes no es igual al doble o la mitad de los ángulos conocidos. Tampoco es igual a la suma o la diferencia de ninguno de los ángulos o dobles / mitades conocidos.