Expresar el plano $z=x$ en coordenadas cilíndricas y esféricas.

1654187879 SOM Questions and Answers

Podemos expresar este plano en coordenadas esféricas y cilíndricas usando sus fórmulas derivadas.

1) Las coordenadas cilíndricas vienen dadas por:

[ (x, y, z) = (r cos theta, r sin theta, z) quad 0 leq theta leq 2pi ]

Dónde,

[ r = sqrt{x^2 + y^2} quad r geq 0 ]

Dado,

[ z = x ]

Entonces la ecuación se convierte en,

[ (x, y, z) = (r cos theta, r sin theta, r cos theta) ]

2) Las coordenadas esféricas vienen dadas por:

[ (x, y, z) = (rho sin phi cos theta, rho sin phi sin theta, rho cos phi) quad rho geq 0,  0 leq theta leq 2pi, 0 leq phi leq pi ]

Dado,

[ z = x ]

[ rho cos phi = rho sin phi cos theta ]

[ dfrac{cos phi}{sin phi} = cos theta ]

[ cot phi = cos theta ]

[ theta = arccos (cot phi) ]

Sustituyendo los valores que obtenemos,

[ (x, y, z) = (rho sin phi cos (arccos (cot phi)), rho sin phi sin (arccos (cot phi)), rho cos phi) ]

Simplificando usando identidades trigonométricas, obtenemos:

[ (x, y, z) = (rho cos phi, rho sin phi sqrt{1 – cot^{2} phi}, rho cos phi) ]