Factorizar expresiones trigonométricas: explicación y ejemplos

Factorizar expresiones trigonométricas: explicación y ejemplos

Factorizar expresiones trigonométricas implica dividir los términos de una expresión trigonométrica por un término común. Esto se hace a menudo con el propósito de hacer más explícita una identidad trigonométrica.

Este proceso de factorización funciona de la misma forma que la factorización de polinomios.

Cuando se trabaja con identidades trigonométricas, la factorización es importante. Esto puede ayudar a simplificar expresiones complejas. Esto, a su vez, los hace más fáciles de diferenciar e integrar.

Dado que este artículo se centra en la factorización, repase leyendo sobre la factorización de polinomios.

Esta sección cubre:

  • Cómo factorizar expresiones trigonométricas
  • Factorizar expresiones trigonométricas e identidades trigonométricas
  • Factorización de consolidación

Cómo factorizar expresiones trigonométricas

Para factorizar expresiones trigonométricas, recuerde cómo factorizar polinomios.

Esto primero requiere encontrar el máximo factor común de todos los términos en una expresión. Luego factoriza el MCD dividiendo cada término por el MCD. Finalmente, coloque el MCD fuera del paréntesis.

Para un polinomio $ 4x ^ 3-6x ^ 2 + 2x $, el MCD es $ 2x $. Primero, divida cada término en esta expresión por $ 2x $ para obtener $ 2x ^ 2-3x + $ 1. Por lo tanto, la expresión factorizada es $ 2x (2x ^ 2-3x + 1) $.

Ahora, la factorización de expresiones trigonométricas funciona de la misma manera. En este caso, sin embargo, las funciones de trigonometría también se pueden factorizar.

A veces, cuando todos los términos de una expresión son funciones trigonométricas, una función trigonométrica se puede dividir por otra para crear una función diferente. Por ejemplo, $ frac {sinx} {cosx} = tanx $ y $ frac {sinx} {tanx} = cosx $.

Factorizar expresiones trigonométricas puede facilitar su resolución, diferenciación o integración. Esto también es cierto al factorizar polinomios. Sin embargo, otra ventaja de factorizar funciones trigonométricas es que puede revelar identidades trigonométricas. Entonces simplifica las funciones.

Factorizar expresiones trigonométricas e identidades trigonométricas

Como se señaló anteriormente, la factorización de expresiones trigonométricas puede revelar identidades trigonométricas.

Esto se debe a que la parte que se factoriza y / o la parte restante pueden ser parte de una identidad trigonométrica. Suelen ser un doble ángulo o una identidad pitagórica.

Por ejemplo, considere $ frac {sin ^ 4x} {cos ^ 2x} + sin ^ 2x $. Ahora, el MCD de esta expresión es $ sin ^ 2x $. Factorizando esto, obtenemos $ sin ^ 2x (tan ^ 2x + 1) $. Por la identidad pitagórica $ tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x $. Por lo tanto, es $ sin ^ 2x (sec ^ 2x) = frac {sin ^ 2x} {cos ^ 2x} = tan ^ 2x $.

Factorización de consolidación

En algunos casos, más de un término en una expresión puede contener un factor común, pero no otras expresiones. Estos términos restantes tienen un factor común mayor diferente.

A veces, factorizar estos grupos por separado ayuda a simplificar el problema. Esto es especialmente cierto cuando los términos restantes (las partes entre paréntesis) de los dos grupos son iguales.

Por ejemplo, considere la expresión $ 2sinxcos ^ 3x + 3cos ^ 2x-2sin ^ 3xcosx-3sin ^ 2x $. Los dos primeros términos tienen un MCD de $ cos ^ 2x $ y los dos segundos tienen un MCD de $ -sin ^ 2x $. Luego factoriza esto como $ cos ^ 2x (2sinxcosx + 3) -sin ^ 2x (2sinxcosx + 3) $.

Ahora hay dos términos con un MCD de $ 2sinxcosx + $ 3. Teniendo esto en cuenta, obtenemos $ (2sinxcosx + 3) (cos ^ 2x-sin ^ 2x) $. Sin embargo, ambos paréntesis contienen identidades de trigonometría, por lo que es $ (sin (2x) +3) (cos (2x)) $.

Ejemplos de

Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas relacionados con la factorización de expresiones trigonométricas y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Encuentra el MCD de $ tan ^ 2xsinx + cos ^ 2xsin ^ 2x + cot ^ 2xsin ^ 3x $.

Solución

El máximo factor común de esta expresión es en realidad $ sinx $. Se vuelve más claro después de usar identidades cocientes.

$ tan ^ 2x = frac {sin ^ 2x} {cos ^ 2x} $, y $ cot ^ 2x = frac {cos ^ 2x} {sin ^ 2x} $.

Por lo tanto, la expresión original es igual a $ frac {sin ^ 3x} {cos ^ 2x} + cos ^ 2xsin ^ 2x + frac {cos ^ 2xsin ^ 3x} {sin ^ 2x} $. Simplificando esto hace $ frac {sin ^ 3x} {cos ^ 2x} + cos ^ 2xsin ^ 2x + cos ^ 2xsinx $.

Por lo tanto, el MCD es $ sinx $, y factorizarlo da $ sinx (tan ^ 2x + cos ^ 2xsinx + cos ^ 2x).

Ejemplo 2

Factoriza el MCD de $ cot ^ 2xtanx + cotxsinx + cos ^ 2x $.

Solución

Como en el primer ejemplo, ayuda simplificar primero. Utilice identidades recíprocas y cocientes para hacer esto.

La expresión entonces se convierte en $ frac {cos ^ 2x} {sin ^ 2x} frac {sinx} {cosx} + frac {cosx} {sinx} sinx + cos ^ 2x $.

Para simplificar, es:

$ frac {cosx} {sinx} + cosx + cos ^ 2x $.

Aquí está más claro que el MCD es $ cosx $. Al factorizar esto, obtenemos:

$ cosx ( frac {1} {senx} + 1 + cosx) = cosx (cscx + 1 + cosx) $.

Ejemplo 3

Utilice la factorización y las identidades trigonométricas para simplificar $ tan ^ 2xcosx (1 + cot ^ 2x + 2sinxcosx) = $ tan ^ 2xcosx + tan ^ 2xcosxcot ^ 2x + 2sinxcos ^ 2xtan ^ 2x $.

Solución

Antes incluso de simplificar, hay algunos términos comunes obvios. Sería útil tenerlos en cuenta. Más precisamente, $ tan ^ 2xcosx $ es común a todos los términos de la expresión.

Al factorizar esto, obtenemos:

$ tan ^ 2xcosx (1 + encendido ^ 2x + 2sinxcosx) $.

Ahora, sin embargo, el interior del paréntesis incluye dos identidades. Esta expresión luego se convierte en:

$ tan ^ 2xcosx (sec ^ 2x + sin (2x)) $.

Tenga en cuenta que el término externo también se puede simplificar a $ frac {sin ^ 2x} {cosx} $.

Ejemplo 4

Factoriza la siguiente expresión para simplificar.

$ tan ^ 4x + 2tan ^ 2x + $ 1

Solución

Esta expresión se parece mucho a una cuadrática, por lo que tiene sentido factorizarla de la misma manera.

Esta expresión se convierte en dos binomios: $ (tan ^ 2x + 1) (tan ^ 2x + 1) = (tan ^ 2x + 1) $.

Pero, según la identidad pitagórica, $ tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x $. Por lo tanto, la expresión completa es igual a $ sec ^ 4x $.

Ejemplo 5

Simplifique la expresión $ 2 (1-cos ^ 2x) cot ^ 2x-2sin ^ 2xcot ^ 2x $.

Solución

El MCD de los dos términos es $ 2cot ^ 2x $. Al factorizar esto, obtenemos:

$ 2cot ^ 2x ((1-cos ^ 2x) -sin ^ 2x) $.

Pero, según la identidad pitagórica, $ 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x $. Por lo tanto, el término entre paréntesis es igual a $ 0 $ y la expresión completa es igual a cero.

Problemas de práctica

  1. Factoriza la expresión $ sin ^ 4x-cos ^ 4x $.
  2. ¿Cuál es el MCD de la expresión $ 10tanxcosxsinx + 6sin ^ 3xcos ^ 3c + 4cscxsin ^ 2x $?
  3. Factoriza la expresión $ 4secxcscx-2secx-2cscx + $ 1 por agrupación.
  4. Usa la identidad pitagórica y la factorización para simplificar la expresión $ cosx-sin ^ 2xcosx $.
  5. Factoriza el lado izquierdo de la ecuación $ tan ^ 2x + 2tanx + 1 = $ 0. Luego usa la función arcotangente para encontrar todas las soluciones de la ecuación.

Clave de respuesta

  1. Es la diferencia de los cuadrados. Se factoriza como $ (sin ^ 2x-cos ^ 2x) (sin ^ 2x + cos ^ 2x) $ = $ sin ^ 2x-cos ^ 2x $ por la identidad pitagórica.
  2. El MCD de esta expresión es $ 2sin ^ 2x $.
  3. $ (2cscx-1) (2secx-1) $
  4. $ cos ^ 2x $
  5. $ (tanx + 1) (tanx + 1) = $ 0. Las soluciones son $ – frac { pi} {4} + n pi $ para cualquier número entero $ n $.