Forma Rectangular – Definición, Ejemplo y Explicación

Forma Rectangular – Definición, Ejemplo y Explicación

La forma rectangular de los números complejos es la primera forma que encontraremos cuando aprendamos números complejos. Esta forma depende de su coordenada cartesiana y aprenderá por qué en la siguiente sección.

Las formas rectangulares de los números complejos representan estos números resaltando las partes real e imaginaria del número complejo.

Las operaciones básicas son mucho más fáciles cuando los números complejos están en forma rectangular. Es más intuitivo para nosotros graficar números complejos en forma rectangular ya que estamos más familiarizados con el sistema de coordenadas cartesianas.

Este artículo refrescará nuestros conocimientos sobre:

  • Los componentes que forman un número complejo.
  • Graficar números complejos en un plano complejo.
  • Conversión de números complejos en forma rectangular a forma polar, y viceversa.
  • Manipulación de números complejos en forma rectangular.

Asegúrese de tomar notas y revisar estos conceptos, ya que los necesitaremos a medida que aprendamos más sobre los números complejos en forma rectangular.

¿Cuál es la forma rectangular?

La forma rectangular se basa en su nombre: un sistema de coordenadas rectangulares. Esto quiere decir que son números complejos de la forma $z = a + bi$, donde $a$ es la parte real y $bi$ representa la parte imaginaria. Aquí hay algunos ejemplos de números complejos en forma rectangular.

  • $-3 + 4i$: $-3$ representa la parte real mientras que $4i$ representa la parte imaginaria.
  • $-6i$: Este es un número imaginario que contiene solo una parte imaginaria, $-6i$.
  • $5$: Como $5$ es un número contable y por lo tanto un número real, $5$ es siempre un número complejo cuya parte imaginaria es igual a $0$.

Los números complejos de la forma $a + bi$ se pueden graficar en un plano complejo simplemente trazando $(a,b)$, donde $a$ es la coordenada del eje real y $b$ es la coordenada del eje imaginario .

Aquí hay un gráfico de cómo se grafica $a + bi$ en un plano complejo. Como se mencionó, $a$ representa la distancia a lo largo del eje real y $b$ representa la distancia a lo largo del eje imaginario, un enfoque similar cuando mostramos coordenadas rectangulares.

La distancia formada por $a + bi$ desde el origen es igual a $sqrt{a^2 + b^2}$ o también llamado módulo o valor absoluto del número complejo.

¿Cómo convertir una forma rectangular?

Como se mencionó, la forma rectangular es la primera forma de números complejos que veremos, pero los números complejos también se pueden reescribir en sus formas trigonométricas o polares.

Forma rectangular Forma polar
$-3 + $3i $3sqrt{2}(cos 135^{circ} + isin135^{circ})$
$-2sqrt{3} – 2i$ $4(cos 210^{circ} + isen 210^{circ})$
$4 – $4i $4sqrt{2}(cos 315^{circ} + isen 315^{circ})$
$5 + $5sqrt{3}i $10(cos 60^{circ} + isen 60^{circ})$

Estos son solo algunos ejemplos de pares de números complejos en sus dos formas: forma rectangular y forma polar. Actualicemos lo que hemos aprendido sobre escribir números complejos en estas dos formas.

¿Cómo convertir forma rectangular a forma polar?

Hemos discutido en detalle la conversión de números complejos en forma rectangular, $a + bi$, a forma trigonométrica (también conocida como forma polar). Asegúrese de revisar sus notas o consulte el enlace que adjuntamos en la primera sección.

Esta sección será un breve resumen de lo que hemos aprendido en el pasado:

  • Encuentra el módulo, $r = sqrt{a^2 + b^2}$, del número complejo.
  • Determina el argumento, $theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}$, y asegúrate de elegir el ángulo que está en el cuadrante derecho.
  • Usa estos valores y escribe el número complejo como $r(cos theta + isin theta)$.

¿Cómo convertir una forma polar en una forma rectangular?

Cambiar números complejos a forma polar es mucho más fácil porque nos obliga a evaluar solo el coseno y el seno en diferentes valores de $theta$.

  • Cuando se le da un número complejo de la forma $r(cos theta + isin theta)$, evalúe los valores de $sin theta$ y $cos theta$.
  • Distribuya $r$ a cada uno de los valores evaluados de $cos theta$ y $isin theta$.
  • Asegúrese de devolver los valores del formulario, $a + bi$.

No te preocupes. Hemos preparado algunos ejemplos para que trabajes y practiques tus conocimientos de conversión de números complejos a forma polar.

Resumen de definición y propiedades de formas rectangulares

¿Por qué no recapitular lo que hemos aprendido hasta ahora sobre los números complejos en forma rectangular antes de profundizar en los diversos problemas que hemos preparado?

  • La forma rectangular general (o estándar) de los números complejos es $a + bi$.
  • Podemos convertir números complejos a forma rectangular, encontrando $r = sqrt{a^2 + b^2}$ y $theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}$.
  • Recuerda que cuando trabajes con ecuaciones que involucran números complejos, las partes del número real y las partes del número imaginario deben ser iguales para que la ecuación sea válida.

También podemos hacer muchas cosas cuando se nos da un número complejo en forma rectangular, y enumeramos algunas que aprendimos en el pasado. ¿No tienes tus notas de práctica contigo? No se preocupe, también hemos agregado algunos enlaces para que los consulte.

  • Es más fácil sumar y restar números complejos en forma rectangular ya que combinamos las partes real e imaginaria de los números.
  • Sí, también podemos multiplicar y dividir números complejos en forma rectangular mediante manipulación algebraica.
  • El producto de a $a + bi$ y su conjugado, $a – bi$, es igual a $a^2 + b^2$, lo que puede ayudar a simplificar el cociente de dos números complejos.

Apliquemos todo lo que hemos aprendido de este artículo y probemos estos problemas de muestra.

Ejemplo 1

Grafica los siguientes números complejos en el plano complejo e incluye su valor absoluto correspondiente.

una. $6 – $6i
B. $-4sqrt{3} – 4i$
contra $-5i$

Solución
Dado que también necesitamos el número de valor absoluto de estos tres números complejos, ¿por qué no comenzar con eso usando el hecho de que $|a + bi| = sqrt{a^2 + b^2}$?

$boldsymbol{a + bi}$ $boldsymbol{|a + bi| PS
$6 -6i$ $sqrt{(6)^2 + (-6)^2} = 6sqrt{2}$
$-4sqrt{3} -4i$ $cuadrado{(-4cuadrado{3})^2 + (-4)^2} = 8$
$-5i$ $sqrt{(0)^2 + (-5)^2} = 5$

Ahora que tenemos el valor absoluto de los tres números complejos, representemos gráficamente los tres números complejos en un plano complejo.

  • Para $6 – 6i$, grafica las coordenadas $(6, -6)$ o $6$ unidades hacia la derecha ya lo largo del eje real y seis unidades hacia abajo ya lo largo del eje imaginario.
  • De manera similar, podemos graficar $-4sqrt{3} – 4i$ graficando $(-4sqrt{3}, -4)$ en el plano complejo.
  • Dado que $-5i$ contiene solo una parte numérica imaginaria, trazamos $-5i$ en el eje imaginario y deberíamos encontrar unidades de $5$ debajo del eje real.

Conecte cada número complejo al origen y etiquete el segmento con el número de valor absoluto correspondiente.

Ejemplo 2

Evalúa las siguientes operaciones con los siguientes números complejos.

una. $(8 – 8i) + (-6 + 12i)$
B. $(-3raíz cuadrada{3} + 5i) – (4raíz cuadrada{3} – 6i)$
contra $(-4 + 2i)(-2 – i) + (2- 3i)$

Solución
Recuerda que sumar y restar números complejos es similar a sumar y restar binomios. Combinamos términos con números reales y números imaginarios. Esta es la misma forma en que combinamos “términos similares”.

Primero trabajemos en el primer elemento: $(8 – 8i) + (-6 + 12i)$.

$begin{alineado} (8 – 8i) + (-6 + 12i) &= [8 + (-6)] + (-8 + 12)i\&= 2 + 6iend{alineado}$

Asegúrese de distribuir uniformemente el signo negativo al restar dos números complejos.

$begin{alineado} (-3sqrt{3} + 5i) – (4sqrt{3} – 6i) &=-3sqrt{3} + 5i – 4sqrt{3} -(-6i )\&= -3sqrt{3} + 5i – 4sqrt{3} + 6i\&= (-3sqrt{3} – 4sqrt{3}) + (5 + 6)i \&=-7sqrt{3} + 11i end{alineado}$

Para el tercer elemento, primero multiplica los dos números complejos.

  • Aplicar el método FOIL para distribuir términos.
  • Reemplace $i^2$ con $-1$.
  • Combinar partes de números reales e imaginarios.

$begin{alineado} (-4 +2i)(-2 – i) &= (-4)(-2)+ (-4)(-i) + (2i)(-2) + (2i)( -i)\&=8 + 4i – 4i- 2i^2\&=8 + 4i – 4i -2(-1)\&=8 + 4i – 4i + 2\&= (8 + 2 ) + (4 -4)i\&=10 end{alineado}$

Reemplace $(-4 + 2i)(-2 – i)$ con su producto y luego simplifique aún más la expresión.

$begin{alineado} (-4 +2i)(-2 – i) + (2 – 3i) &= 10 + (2 – 3i)\&= (10 + 2) – 3i\&= 12 – 3iend{alineado}$

Listando los resultados para las tres operaciones, tenemos lo siguiente:
una. $(8 – 8i) + (-6 + 12i) = 2 + $6i
B. $(-3raíz cuadrada{3} + 5i) – (4raíz cuadrada{3} – 6i) = -7raíz cuadrada{3} + 11i $
contra $(-4 + 2i)(-2 – i) + (2- 3i) = 12 – 3i $

Ejemplo 3

Convierta los siguientes números complejos en forma polar a forma rectangular.

una. $-4(cos 90^{circ} + isen 90^{circ})$
B. $6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right)$
contra $-sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4}$

Solución
Evalúe los valores de coseno y seno entre paréntesis al convertir números complejos a forma rectangular. Distribuya el módulo en cada uno de los valores de adentro para simplificar la expresión como $a +bi$.

Comenzando con $-4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ})$, $cos 90^{circ} = 0$ y $sin 90^{circ} = $1. Reemplace los términos entre paréntesis con estos valores y luego distribuya $-4$.

$begin{alineado} -4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ}) &= -4(0 + i)\&=0 – 4i\&= -4i end{alineado}$

El segundo elemento requerirá que realicemos un proceso similar, solo que esta vez estamos trabajando con ángulos en términos de $pi$. Recuerda que $cos dfrac{pi}{3} = dfrac{1}{2}$ y $sin dfrac{pi}{3}= dfrac{sqrt{3}}{ $2} .

$begin{alineado} 6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right) &= 6left( dfrac{1}{2 } + idfrac{sqrt{3}}{2}right)\&=6 cdot dfrac{1}{2} – 6 cdot i dfrac{sqrt{3}}{2} \&= 3 – 3sqrt{3}iend{alineado}$

Para el tercer elemento, asegúrese de reescribir $r text{cis } theta$ a $r(cos theta + i sin theta)$.

$begin{alineado} -sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4} &= -sqrt{3}left(cos dfrac{3pi}{4} + isen dfrac{3pi}{4}right)\ &= -sqrt{3}left( -dfrac{sqrt{2}}{2} + idfrac{sqrt {2}}{2}right)\&=-sqrt{3} cdot -dfrac{sqrt{2}}{2} – sqrt{3} cdot i dfrac{sqrt{ 2}}{2}\&= dfrac{sqrt{6}}{2}-idfrac{sqrt{3}}{2}end{alineado}$

Por lo tanto, tenemos los siguientes números complejos en sus formas rectangulares:

una. $-4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ}) = -4i$
B. $6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right) = 3 – 3sqrt{3}i$
contra $-sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4} = dfrac{sqrt{6}}{2}-idfrac{sqrt{3}}{2}$