Forma Trigonométrica – Definición, Ejemplo y Explicación

Forma Trigonométrica – Definición, Ejemplo y Explicación

Podemos escribir números complejos en términos de $r$ y $theta$. Esta forma se llama forma trigonométrica y es una forma esencial de los números complejos porque es mucho más fácil encontrar las raíces y las potencias de los números complejos cuando están en sus formas trigonométricas.

La forma trigonométrica de los números complejos contiene la distancia desde la coordenada del número complejo al origen y el ángulo formado por el eje real, y el segmento que conecta el número complejo y el origen.

A menudo usamos la forma trigonométrica de números complejos para ilustrarlos como cantidades con distancia y dirección. Cuando uno quiere encontrar las potencias y raíces de números complejos, también es más fácil encontrarlas cuando los números complejos están en forma trigonométrica.

En este artículo, aprenderemos lo siguiente:

  • Los dos componentes importantes de los números complejos en forma trigonométrica o polar.
  • Conversión de números complejos de forma estándar a forma trigonométrica.
  • Encuentra el cociente y el producto de dos números complejos en forma trigonométrica.

Avancemos y profundicemos en la definición de números complejos en formas trigonométricas.

¿Qué es la forma trigonométrica?

La forma trigonométrica de los números complejos también se llama forma polar de los números complejos. Por esta razón, asegúrese de repasar su conocimiento de las formas polares.

La forma trigonométrica de un número complejo contiene el módulo, $r$, y el argumento, $theta$, que representan el número complejo. La forma trigonométrica general de los números complejos es $r(cos theta + isin theta)$.

Del gráfico podemos ver cómo se derivaron las formas trigonométricas o polares de los números complejos. Como $a = r costheta$ y $b = r sin theta$, $a + bi = r(cos theta + isin theta)$.

A partir de ahí, $r$ representa el módulo y $theta$ muestra el ángulo (o argumento) formado por $r$ y el eje real.

Ambos son importantes cuando se presentan números complejos en forma trigonométrica.

¿Cómo escribir números complejos en forma trigonométrica?

Como recordatorio, la distancia entre el origen y el número complejo es igual a $|a + bi| = sqrt{a^2 + b^2}$. Esto se llama el valor absoluto del número complejo o su módulo.

También lo usamos para escribir números complejos en forma trigonométrica. Esto devuelve el valor de $r$. Por lo tanto, tenemos $r = sqrt{a^2 + b^2}$.

El gráfico anterior muestra que también podemos encontrar $theta$ usando los valores de $a$ y $b$. Podemos usar el hecho de que $tan theta = dfrac{b}{a}$, entonces $theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}$.

Usa estos dos valores para escribir $a + bi$ en forma trigonométrica: $r(cos theta + isin theta)$.

¿Por qué no aplicamos lo que acabamos de aprender para convertir $3 + 3sqrt{3}i$ a la forma polar?

$boldsymbol{r}$ $boldsymbol{theta}$
$begin{alineado}r &= sqrt{(3)^2 + (3sqrt{3})^2}\&=sqrt{9 + 27}\&=sqrt{36} &=6 end{alineado}$ $begin{alineado}tan theta &= dfrac{3sqrt{3}}{3}\theta &= tan^{-1} sqrt{3}\theta&= 60^ {circ}, 240^{circ}end{alineado}$

Dado que $3$ y $3sqrt{3}$ son positivos, esperamos que el argumento o $theta$ esté en el primer cuadrante, por lo que $theta$ debe ser $60^{circ} $.

Esto significa que $3 + 3sqrt{3}i = 6(cos 60^{circ} + sin 60^{circ})$ en forma polar o trigonométrica.

Podemos usar un proceso similar al escribir otros números complejos en sus respectivas formas trigonométricas, así que asegúrese de probar el ejemplo anterior usted mismo.

¿Cómo multiplicar y dividir números complejos en forma trigonométrica?

También podemos multiplicar y dividir números complejos en forma trigonométrica. Digamos que tenemos dos números complejos, $z_1 = r_1(cos theta_1 + isin theta_1)$ y $z_2 = r_2(cos theta_2 + isin theta_2)$, podemos encontrar su producto por:

  • Multiplicando los módulos, $r_1$ y $r_2$.
  • Encuentra el coseno y el seno de $theta_1 + theta_2$.
  • Combinando los dos resultados multiplicando $r_1r_2$ por $[cos(theta_1 + theta_2) + isin (theta_1 + theta_2) ].

¿Por qué no derivar esto multiplicando los dos números complejos y usando técnicas algebraicas y trigonométricas?

  • Desarrollar el producto utilizando el método FOIL.
  • Reescribe $i^2$ como $-1$.
  • Usa las propiedades de suma de coseno y seno, $cos (A +B) = cos A cos B – sin A sin B$ y $sin (A+B) = sin A cos B + cos A sen B$.

$ begin{alineado} [r_1(cos theta_ 1 + isin theta_1)][r_2(cos theta_2 + isin theta_2) ] &= (r_1r_2)[(cos theta_1 + i sin theta_1)(cos theta_2 + i sin theta_2)] \&= (r_1r_2)[(cos theta_1cos theta_2) + (cos theta_1isintheta_2) + (isintheta_1cos theta_2)+ (isin theta_1 i sin theta_2)]\&= (r_1r_2)[(cos theta_1cos theta_2) + (cos theta_1isintheta_2) + (isintheta_1cos theta_2)+ (i^2sin theta_1  sin theta_2)]\&= (r_1r_2)[(cos theta_1cos theta_2) + (cos theta_1isintheta_2) + (isintheta_1cos theta_2)+ -sin theta_1  sin theta_2] \&=(r_1r_2)[(cos theta_1cos theta_2-sin theta_1  sin theta_2) + i(cos theta_1sintheta_2 + sintheta_1cos theta_2) ]\&=(r_1r_2)[cos(theta_1 + theta_2) + i(cos theta_1sintheta_2 + sintheta_1cos theta_2) \&=(r_1r_2)[(cos theta_1cos theta_2-sin theta_1  sin theta_2) + i sin (theta_1 + theta_2) ] end{alineado}$

Podemos aplicar un proceso similar para derivar la fórmula del cociente de $z_1$ y $z_2$. Pero, dejaremos eso para que lo pruebes por ti mismo. (Pista: utilice el método FOIL y las propiedades diferenciales de seno y coseno).

Por ahora tenemos $dfrac{z_1}{z_2} = dfrac{r_1}{r_2} [cos(theta_1 – theta_2) + isin(theta_1 – theta_2)]PS

Esto significa que no es necesario convertir un número complejo en forma trigonométrica a forma estándar para que podamos encontrar su producto o cociente.

Resumen de la definición y propiedades de la forma trigonométrica

¿Por qué no resumir lo que hemos aprendido hasta ahora sobre los números complejos en forma trigonométrica?

Primero recordemos cómo podemos escribir $a + bi$ y sus componentes en forma trigonométrica.

forma estándar forma trigonométrica
$begin{alineado}phantom{xxxx} a + bi\ |a+bi| &= sqrt{a^2 + b^2}end{alineado}$ $begin{alineado}r(cos theta + i sin theta)\r=sqrt{a^2 + b^2}\theta= tan^{-1} dfrac{b {a}fantasma{x}end{alineado}$

También aprendimos cómo multiplicar y dividir dos números complejos en forma trigonométrica. Dados dos números complejos, $z_1 = r_1(cos theta_1 + isin theta_1)$ y $z_2 = r_2(cos theta_2+ isin theta_2)$, el producto y el cociente son los siguientes: debajo:

  • $z_1 z_2 = r_1r_2 [cos(theta_1 + theta_2) + isin(theta_1 + theta_2)]PS
  • $dfrac{z_1}{z_2} = dfrac{r_1}{r_2} [cos(theta_1 – theta_2) + isin(theta_1 – theta_2)]PS

Usemos estas propiedades para resolver algunos de los ejemplos que se muestran a continuación. ¡Asegúrate de consultar nuestra sección de resumen cada vez que te sientas atrapado en un artículo!

Ejemplo 1

Grafica los siguientes números complejos en un plano complejo, luego encuentra sus respectivos módulos y argumentos.

una. $-4 + $4i
B. $6i$
contra $4sqrt{3} – $4i

Solución

Grafiquemos los tres números complejos en un plano complejo.

  • Para $-4 + 4i$, trace el gráfico de coordenadas $(-4, 4)$ o $4$ a la izquierda y arriba de los ejes imaginario y real, respectivamente.
  • Como $6i = 0 + 6i$, grafica la coordenada $(0, 6)$ en el eje imaginario.
  • Mientras tanto, $4sqrt{3} – 4i$ se puede trazar como una coordenada $(4sqrt{3}, 4)$ en el plano complejo.

Por tanto, tenemos los tres números complejos representados gráficamente en un plano complejo.

Podemos encontrar cada uno de sus módulos usando la fórmula, $r= sqrt{a^2 + b^2}$, donde $a$ es la parte real y $b$ es la parte imaginaria.

$boldsymbol{a + bi}$ $boldsymbol{r = sqrt{a^2 + b^2}}$
$-4 + $4i $sqrt{(-4)^2 + 4^2} = 4sqrt{2}$
$6i$ $sqrt{0^2 + 6^2} = 6$
$4sqrt{3} – $4i $cuadrado{(4cuadrado{3})^2 + (-4)^2} =8$

Luego podemos encontrar los argumentos (o $theta$) para los tres números complejos y podemos usar el gráfico anterior para determinar el valor correcto de $theta$ a elegir.

$boldsymbol{a + bi}$ $boldsymbol{theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}}$
$-4 + $4i $theta = tan^{-1} dfrac{4}{-4} = 135^{circ} $
$4sqrt{3} – $4i $theta = tan^{-1} dfrac{-4}{4sqrt{3}} = 330^{circ} $

Sin embargo, para $6i$, podemos inspeccionar su posición ya que está en la parte superior del eje imaginario, $theta = dfrac{pi}{2}$.

Ejemplo 2

Tres números complejos se representan gráficamente en un plano complejo como se muestra a continuación.

Escribe cada número complejo en forma trigonométrica.

Solución

Podemos encontrar los módulos, $r$, de cada uno de los números complejos usando $r = sqrt{a^2 + b^2}$. Mientras tanto, el argumento o $theta$ se puede determinar tomando la tangente inversa de $dfrac{b}{a}$.

Normalmente terminamos con dos valores para $theta$, por lo que la posición de los números complejos determinará el $theta$ correcto para lo dado.

¿Por qué no seguir adelante y calcular los módulos para cada número complejo?

$boldsymbol{a + bi}$ $boldsymbol{r = sqrt{a^2 + b^2}}$
$-6 – $6i $sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = 6sqrt{2}$
$-4i$ $sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4$
$6sqrt{3} – $6i $cuadrado{(6cuadrado{3})^2 + (-6)^2} =12$

Ahora determinamos el argumento o $theta$ para cada número complejo. Asegúrese de verificar la posición desde el plano complejo para elegir los cuadrantes correctos.

$boldsymbol{a + bi}$ $boldsymbol{theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}}$
$-6 – $6i $theta = tan^{-1} dfrac{-6}{-6} = 225^{circ} $
$6sqrt{3} – $6i $theta = tan^{-1} dfrac{6sqrt{3}}{-6} = 300^{circ} $

Para $-4i$, solo a partir de la inspección, podemos ver que $theta = 270^{circ}$.

Ahora podemos usarlos para escribir cada número complejo en forma trigonométrica. Simplemente reemplazamos los valores designados de $r$ y $theta$ con $r(cos theta + isin theta)$.

Por lo tanto, tenemos los siguientes números complejos en forma trigonométrica.

una. $-6 – 6i = 6sqrt{2} (cos 225^{circ} + i sin 225^{circ})$
B. $- 4i = -4(cos 270^{circ} + i sin 270^{circ})$
contra $6sqrt{3} – 6i = 12 (cos 300^{circ} + i sin 300^{circ})$

Ejemplo 3

Evalúa las siguientes operaciones que involucran $z_1 = -3(cos 50^{circ} + isin 50^{circ})$ y $z_2 = 6 (cos 30^{circ} + isin 30 ^{circ})$.

una. $z_1 cpunto z_2$
B. $ dfrac{z_1}{z_2}$

Solución

Para encontrar el producto de $z_1$ y $z_2$, multiplicamos sus respectivos módulos y encontramos el coseno y el seno de la suma de sus argumentos.

  • Los módulos $-3$ y $6$ tendrán un producto de $-18$.
  • También tenemos $cos (50^{circ} + 30^{circ})$ y $sin (50^{circ} + 30^{circ})$.

Por lo tanto, $z_1z_2 = -18(cos 80^{circ} + i sin 80^{circ})$.

Aplicamos un proceso similar para encontrar el cociente de $z_2$ y $z_1$. Pero esta vez necesitaremos el cociente de sus módulos y la diferencia entre sus argumentos como se muestra a continuación.

$begin{alineado}dfrac{z_2}{z_1} &= dfrac{-3}{6} [cos(50^{circ} – 30^{circ}) + i sin(50^{circ} – 30^{circ})]\&=-dfrac{1}{2} (cos 20^{circ} + isin 20^{circ})end{alineado}$