ᐉ〖Fórmula de doble ángulo: explicación y ejemplos〗✔️

La fórmula del ángulo doble da la razón trigonométrica para un ángulo que es el doble de un ángulo dado.

Hay fórmulas de doble ángulo para seno y coseno. De aquí se derivan las fórmulas de las demás funciones trigonométricas.

Dado que la fórmula del doble ángulo proporciona valores exactos para las relaciones trigonométricas de los ángulos menores, es útil para garantizar la precisión en ingeniería, astronomía y otras ciencias físicas.

Asegúrese de comprender las identidades de trigonometría antes de leer este artículo.

Esta sección cubre:

¿Qué es la fórmula del doble ángulo?

Prueba de la fórmula del doble ángulo

Fórmula de doble ángulo del pecado
Fórmula de la tangente de doble ángulo

¿Qué es la fórmula del doble ángulo?

La fórmula del ángulo doble es una ecuación que da la razón trigonométrica para un ángulo igual a dos veces un ángulo dado.

Para una función trigonométrica $ f (x) $, $ f (2x) neq f (x) $. Esto significa que duplicar la razón de trigonometría para un ángulo no es lo mismo que encontrar la razón de trigonometría para el doble del ángulo.

En cambio, el doble ángulo para $ sin (2x) $ es:

$ 2sinxcosx $.

Para el coseno, la fórmula para el ángulo doble es:

$ cos ^ 2x-sin ^ 2x $.

Alternativamente, la fórmula para el doble ángulo del coseno se escribe:

$ 1-2sin ^ 2x $ o $ 2cos ^ 2x- $ 1.

Prueba de la fórmula del doble ángulo

Las pruebas de las fórmulas de doble ángulo provienen de fórmulas de suma.

Recuerde que la fórmula de suma para $ sin (x + y) es $ sinxcosy + sinycosx $.

Dado que $ 2x = x + x $, $ sin (2x) = sinxcosx + sinxcosx $ por la fórmula de la suma. Esto se simplifica a $ 2sinxcosx $.

Ahora recuerde que la fórmula de suma para $ cos (x + y) $ es $ cosxcosy-sinxsiny $. Por lo tanto, de acuerdo con la fórmula de la suma, $ cos (2x) = cosxcosx-sinysiny $. Esto se simplifica a $ cos ^ 2x-sin ^ 2x $.

Entonces, debido a que $ cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x $ por la identidad pitagórica, esta fórmula se puede escribir como $ 1-2sin ^ 2x $. Del mismo modo, como $ sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x $, otra forma de escribir la fórmula es $ 2cos ^ 2x-1 $.

Fórmula Cos de doble ángulo

En realidad, hay tres fórmulas de doble ángulo para el coseno. Todos estos provienen de la fórmula de la suma y son formas diferentes de escribir la misma expresión.

Las fórmulas de doble ángulo para el coseno son:

$ cos ^ 2x-sin ^ 2x $
$ 1-2 pecado ^ 2x $
$ 2cos ^ 2x- $ 1

Fórmula de doble ángulo del pecado

A diferencia del coseno, solo hay una fórmula de doble ángulo para el seno. Sin embargo, al igual que el coseno, las relaciones de seno y coseno del ángulo original deben conocerse para la fórmula.

La fórmula para el doble ángulo del seno es:

$ 2sinxcosx $.

Fórmula de la tangente de doble ángulo

Es posible escribir las fórmulas de los ángulos dobles para las otras funciones trigonométricas en términos de seno y coseno. Por ejemplo, la fórmula para el doble ángulo tangente es:

$ frac {2tanx} {1-tan ^ 2x} $.

La prueba de esta fórmula se encuentra en el Ejemplo 1 a continuación.

Ejemplos de

Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas que involucran la fórmula del doble ángulo y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Usa las fórmulas de doble ángulo para seno y coseno para demostrar que la fórmula de doble ángulo para la tangente es $ frac {2tanx} {1-tan ^ 2x} $.

Solución

Recuerda que $ tan (2x) = frac {sin (2x)} {cos (2x)} $.

Luego reemplace $ sin (2x) $ y $ cos (2x) $ con sus respectivas fórmulas de doble ángulo para obtener:

$ frac {2sinxcosx} {cos ^ 2x-sin ^ 2x} $.

En este caso, hay varias formas de simplificar. Es útil mirar la fórmula original y recordar que hay una tangente en el numerador. Dado que $ tanx = frac {sinx} {cosx} $, también puede ser útil tener un seno en el numerador de esta fracción. Esto significa que puede ser útil cambiar la fórmula del ángulo del coseno doble de $ cos ^ 2x-sin ^ 2x $ a $ 2cos ^ 2x-1 $ ya que solo tiene una función trigonométrica.

$ frac {2sinxcosx} {2cos ^ 2x-1} $.

Ahora factoriza la función $ cos ^ 2x $ a partir de los dos términos del denominador:

$ frac {2sinxcosx} {cos ^ 2x (2 segundos ^ 2x)} $.

Ahora uno de los cosenos del denominador cancelará el coseno del numerador. El otro transformará el $ sinx $ del numerador en $ tanx $. Ahora la fórmula es:

$ frac {2tanx} {2 segundos ^ 2x} $.

Finalmente, recuerde que $ sec ^ 2x-1 = tan ^ 2x $. Dado que el denominador se puede reescribir $ – (sec ^ 2x-1-1) $, esto se simplifica a:

$ frac {2tanx} {- (tan ^ 2x-1)} = frac {2tanx} {1-tan ^ 2x} $.

Ejemplo 2

¿Cuál es la fórmula del ángulo doble para la secante?

Solución

Usa la fórmula del doble ángulo para el coseno para derivar la fórmula del doble ángulo para la secante.

Recuerde que $ secx = frac {1} {cosx} $. Por tanto, la fórmula del doble ángulo para la secante será:

$ frac {1} {cos (2x)} $.

Ahora inserte la fórmula para $ cos (2x) $ para obtener:

$ frac {1} {cos ^ 2x-sin ^ 2x} $.

Es una fórmula, pero una que solo use la secante podría ser mejor. Divida los dos términos del denominador por $ cos ^ 2x $ para obtener:

$ frac {1} {cos ^ 2x (1-tan ^ 2x)} $

Ahora observe que el denominador se puede reescribir como $ – (tan ^ 2x-1 + 1-1) $. Dado que $ tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x $, esto se simplifica de la siguiente manera:

$ frac {seg ^ 2x} {- (seg ^ 2x-2} = frac {seg ^ 2x} {2-seg ^ 2x} $.

Ejemplo 3

Dado que el seno de un ángulo $ theta $ es $ 1- sqrt {2} $, use la identidad pitagórica y la fórmula del doble ángulo para encontrar $ sin (2 theta) $. Suponga un valor positivo para el coseno.

Solución

La fórmula para el seno de un ángulo doble es $ sin (2x) = 2sinxcosx $. Sin embargo, solo se ha dado el valor del seno del ángulo, por lo que es necesario encontrar la relación del coseno para el ángulo original. La identidad pitagórica $ cos ^ 2x + sin ^ 2x = $ 1 proporciona una media.

$ cos ^ 2x + (1- sqrt {2}) ^ 2 = $ 1.

$ cos ^ 2x = 1-2 sqrt {2} +2 = 3-2 sqrt {2} $.

Luego, tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos:

$ cosx = sqrt {3-2 sqrt {2}} $.

Entonces, conectar estos valores en la fórmula para el seno de un ángulo doble es:

$ 2 ( sqrt {3-2 sqrt {2}} (1- sqrt {2}) $.

Funciona bien como respuesta, aunque toda la expresión se simplifica bien para:

$ -2 ( sqrt {2} -1) ^ 2 $.

Ejemplo 4

Dado que el coseno de un ángulo $ theta $ es $ 1- sqrt {3} $, usa la fórmula del ángulo doble para encontrar $ cos (2 theta) $.

Solución

Solo se ha dado el valor del coseno del ángulo original. Existe una fórmula para el coseno de un ángulo doble que usa solo valores de coseno. Para evitar usar la identidad pitagórica para encontrar el seno, use esta fórmula.

La ramificación de la relación de coseno dada da:

$ 2 (1- sqrt {3}) ^ 2-1 $.

Simplifique las devoluciones:

$ 2 (1-2 sqrt {3} +3) -1 = 2 (4-2 sqrt {3}) – 1 = 8-4sqrt {3} -1 = 7-4sqrt {3} $.

Ejemplo 5

Dado que el seno de un ángulo $ theta $ es $ 2- sqrt {2} $, encuentre $ csc (2 theta) $.

Solución

Dado que la cosecante es el recíproco del seno, encuentre $ sin (2 theta) $ y su recíproco.

Sin embargo, la fórmula del doble ángulo para el seno requiere que se conozca el coseno. Como $ cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x $, el coseno de este ángulo es $ sqrt {1- (2- sqrt {2}) ^ 2} = sqrt {1- (4-4 sqrt { 2} +2)} = sqrt {1- (6-4 sqrt {2})} = sqrt {4 sqrt {2} -5} $.

Usando la fórmula del doble ángulo para el seno, obtenemos:

$ sin (2 theta) = 2 (2- sqrt {2}) ( sqrt {4 sqrt {2} -5) = (4-2 sqrt {2}) sqrt {4 sqrt {2 } -5} $.

Entonces, la cosecante de $ 2 theta $ será la inversa de esto:

$ frac {1} {(4-2 sqrt {2}) sqrt {4 sqrt {2} -5}} $.

Problemas de práctica

Encuentra una fórmula de doble ángulo para la cosecante.
Si el seno de un ángulo $ theta $ es $ 3-2 sqrt {2} $, ¿cuál es el seno de $ 2 theta $?
Encuentra la fórmula del ángulo cuádruple del seno.
Si la tangente de un ángulo $ theta $ es $ sqrt {5} $, ¿cuál es la tangente de $ 2 theta $?
Si el coseno de un ángulo $ theta $ es $ 5-4 sqrt {2} $, ¿cuál es el coseno de $ 2 theta $?