La fórmula de medio ángulo da la salida de una función trigonométrica para la mitad de un ángulo dado.
Estas fórmulas son útiles para encontrar los valores exactos de la función trigonométrica para ángulos menores.
Las fórmulas de medio ángulo son importantes para las ciencias físicas y la ingeniería.
Antes de seguir adelante con este tema, revise las razones trigonométricas y las identidades trigonométricas.
Esta sección cubre:
- ¿Qué es la fórmula de medio ángulo?
- Fórmula sinusoidal de medio ángulo
- Fórmula de medio ángulo tangente
¿Qué es la fórmula de medio ángulo?
La fórmula de medio ángulo es una ecuación que da una razón trigonométrica para un ángulo que es la mitad de un ángulo con un valor trigonométrico conocido. Hay una fórmula de medio ángulo para el seno y otra para el coseno.
Estas fórmulas significan que uno puede determinar las razones trigonométricas para la mitad, un cuarto, un octavo, un dieciseisavo, etc. de un ángulo siempre que se conozca la relación del coseno para ese ángulo.
Las fórmulas para los ángulos medios de seno y coseno solo requieren que se conozca el coseno del ángulo. Es decir, es posible determinar el seno de medio ángulo sin conocer el seno del ángulo.
Las fórmulas de medio ángulo para otras funciones trigonométricas se derivan de las fórmulas de medio ángulo para seno y coseno.
Fórmula sinusoidal de medio ángulo
La fórmula para el seno de la mitad de un ángulo dado, $ x $, es:
$ sin ( frac {x} {2}) = pm sqrt { frac {1-cosx} {2}} $.
Tenga en cuenta que esta fórmula en realidad da dos valores. Es importante determinar en qué cuadrante se encuentra la mitad del ángulo para determinar qué valor usar.
Fórmula de medio ángulo de cos
Dado un ángulo, $ x $, el coseno de la mitad del ángulo es:
$ cos ( frac {x} {2}) = pm sqrt { frac {1 + cosx} {2}} $.
La determinación del cuadrante de la mitad del ángulo determina si se usa el valor positivo o negativo.
Fórmula de medio ángulo tangente
Por definición, la tangente de la mitad del ángulo vale:
$ tan frac {x} {2} = frac { sqrt { frac {1-cosx} {2}}} { sqrt { frac {1 + cosx} {2}} $.
Puede simplificarse:
$ tan frac {x} {2} = sqrt { frac { frac {1-cosx} {2}} { frac {1 + cosx} {2}}} = sqrt { frac {1- cosx} {1 + cosx}} $.
Esta raíz cuadrada se simplifica tanto en $ frac {sinx} {1 + cosx} $ como en $ frac {1-cosx} {sinx} $. La prueba está en los problemas prácticos a continuación, pero esto implica usar la identidad $ sin ^ 2x + cos ^ 2x = $ 1.
Ejemplos de
Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas que involucran la fórmula de medio ángulo y sus soluciones paso a paso.
Ejemplo 1
Usa el hecho de que $ cos (2x) = 1-2sin ^ 2x $ para derivar la fórmula de medio ángulo para el seno.
Solución
Sea $ y = 2x $. Por lo tanto, $ frac {y} {2} = x $.
Entonces, esta ecuación se puede reescribir:
$ acogedor = 1-2 pecado ^ 2 ( frac {y} {2}) $.
Esta ecuación debe reorganizarse como:
$ 2sin ^ 2 ( frac {y} {2}) = 1-acogedor $.
Luego saca la raíz cuadrada de ambos lados.
$ sqrt {2} sin ( frac {y} {2}) = sqrt {1 – cómodo} $.
Finalmente, divide los dos lados por la raíz cuadrada de dos para obtener:
$ sin ( frac {y} {2}) = sqrt { frac {1-acogedor} {2}} $.
Ejemplo 2
Encuentre una fórmula para $ cos ( frac {x} {4}) $ para cualquier ángulo, $ x $.
Solución
En este caso, $ frac {x} {4} = frac {1} {2} times frac {x} {2} $. Así que esta es la fórmula para el coseno de la mitad del ángulo medio.
Ahora sea $ y = 2x $. A continuación, reemplace todos los términos $ x $ en la ecuación del coseno de medio ángulo con $ frac {y} {2} $.
La nueva ecuación está escrita:
$ cos ( frac { frac {y} {2}} {2}) = sqrt { frac {cos { frac {y} {2} +1} {2}} $.
Luego usa la fórmula original de medio ángulo y el hecho de que $ frac { frac {y} {2}} {2} = frac {x} {4} $ para obtener:
$ cos ( frac {x} {4}) = sqrt { frac { sqrt { frac {cosx + 1} {2}} + 1} {2}} $.
Aunque suene complicado, se puede simplificar. Comience combinando los términos del numerador de la primera raíz cuadrada para obtener:
$ cos ( frac {x} {4}) = sqrt { frac { sqrt {cosx + 1} + sqrt {2}} {2 sqrt {2}}} $.
Esto es igual a:
$ sqrt { frac { sqrt {cosx + 1} + sqrt {2}} {2 sqrt {2}}} = frac {1} {2} sqrt { sqrt {2cosx + 2} + 2} $.
Ejemplo 3
Dado que $ cos ( frac { pi} {6}) = frac { sqrt {3}} {2} $, encuentre $ sin ( frac { pi} {12}) $.
Solución
Recuerda que solo se necesita el valor del coseno de un ángulo para encontrar el seno de la mitad del ángulo. Usando la fórmula, entonces, $ sin ( frac { pi} {12}) = $
$ sqrt { frac { frac {1- sqrt {3}} {2}} {2}} $.
Puede simplificarse mediante:
$ frac {1} {2} sqrt {2- sqrt {3}} $.
Ejemplo 4
Dado que $ cos ( frac {5 pi} {6}) = – frac { sqrt {3}} {2} $, encuentre $ cos ( frac {5 pi} {12}) $.
Solución
Usando la fórmula dada arriba, el coseno de $ frac {5 pi} {12} $ es:
$ sqrt { frac {1- frac { sqrt {3} {2}}} {2}} $.
Esta es la misma ecuación que en el Ejemplo 3. Por lo tanto, se simplifica de la siguiente manera:
$ frac {1} {2} sqrt {2- sqrt {3}} $.
Ejemplo 5
Encuentra $ tan ( frac {7 pi} {8}) $ dado que $ tan ( frac {7 pi} {4}) = -1 $.
Solución
Hay varias formas de resolver este problema porque existen varias fórmulas para la tangente de un medio ángulo.
Notablemente, sin embargo, todas estas fórmulas requieren el coseno del ángulo original. En este caso, sin embargo, solo se da la tangente.
Sin embargo, hallar el coseno para el ángulo $ frac {7 pi} {4} $ radianes no es difícil. Dado que la tangente es igual a $ -1 $, los valores absolutos del seno y el coseno son iguales a $ frac {7 pi} {4} $ radianes. Esto solo sucede cuando sus valores absolutos son iguales a $ frac { sqrt {2}} {2} $.
Además, este ángulo está en el cuarto cuadrante, donde el seno es negativo y el coseno positivo.
Ahora se pueden utilizar todas las fórmulas de medio ángulo para la tangente. He aquí una forma:
$ bronceado ( frac {7 pi} {8}) = frac {1-cos ( frac {7 pi} {4})} {sin ( frac {7 pi} {4})} = frac {1- frac { sqrt {2}} {2}} { frac {- sqrt {2}} {2}} = frac { frac {2- sqrt {2}} {2 }} {- frac { sqrt {2}} {2}} = – frac {2- sqrt {2}} { sqrt {2}} = 1- sqrt {2}.
Problemas de práctica
- Deduzca la fórmula para el coseno de medio ángulo usando el hecho de que $ cos2x = 2cos ^ 2x-1 $
- Demuestra las fórmulas de los semiangulares tangentes $ tan ( frac {x} {2}) = frac {sinx} {1 + cosx} $ y $ tan ( frac {x} {2}) = frac {1 -cosx} {sinx} $.
- Dado que $ cos ( frac { pi} {6}) = frac { sqrt {3}} {2} $, encuentre $ cos ( frac { pi} {12}) $.
- Dado que $ cos ( frac {5 pi} {6}) = – frac { sqrt {3}} {2} $, encuentre $ sin ( frac {5 pi} {12}) $.
- Encuentra la tangente de $ frac {3 pi} {8} $.
Clave de respuesta
- Sea y = 2x $. Entonces, $ acogedor = 2cos ^ 2 ( frac {y} {2}) – $ 1. Se reorganiza como $ acogedor + 1 = 2cos ^ 2 ( frac {y} {2}) $. Al sacar la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos $ sqrt {cosy + 1} = sqrt {2} cos ( frac {y} {2}) $. Luego, dividiendo ambos lados por $ sqrt {2} $, obtenemos $ sqrt { frac {cosy + 1} {2}} = cos ( frac {y} {2}) $.
- $ sin ^ 2x + cos ^ 2x = $ 1. Por lo tanto, $ 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x $. Además, $ 1-cos ^ 2x = (1-cosx) (1 + cosx) $.
Multiplica $ frac {1-cosx} {1 + cosx} $ por $ 1 = frac {1-cosx} {1-cosx} $ para obtener $ frac {(1-cosx) ^ 2} {1-cos ^ 2x} $. Dado que $ 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x $, esto se convierte en $ frac {(1-cosx) ^ 2} {sin ^ 2x}. La raíz cuadrada de esto es $ frac {1-cosx} {sinx} $.
Del mismo modo, frac {1-cosx} {1 + cosx} times frac {1 + cosx} {1 + cosx} = frac {1-cos ^ 2x} {(1 + cosx) ^ 2} = frac {sin ^ 2x} {(1 + cosx) ^ 2} $. La raíz cuadrada de esto es $ frac {sinx} {1 + cosx} $. - $ frac {1+ sqrt {3}} {2 sqrt {2}} $.
- $ frac {1+ sqrt {3}} {2 sqrt {2}} $.
- $ 1 + sqrt {2} $.
