Fracciones

Cerrado bajo adición: propiedad, tipo de números y ejemplos

La frase “cerrado bajo adiciónse menciona a menudo cuando se estudian las propiedades y características de diferentes tipos de números. La propiedad de cierre de la suma destaca una característica particular de los números racionales (entre otros grupos de números). Saber qué conjunto de números está cerrado por adición también ayudará a predecir la naturaleza de las sumas de cantidades complejas.

Cuando un conjunto de números o cantidades se cierra por adición, su suma siempre procederá del mismo conjunto de números. También use contraejemplos para refutar la propiedad de cierre de los números.

Este artículo cubre la base de la propiedad de cierre por adición y tiene como objetivo hacerle sentirse seguro identificando un grupo de números que están cerrados por sumaasí como saber ubicar un grupo de números no cerrados por medio de la suma.

¡Hay muchos ejercicios en esta discusión para ayudarlo a comprender la propiedad de cierre de la suma!

¿Qué significa cerrado bajo suma?

Cerrado bajo suma significa que tlas cantidades añadidas satisfacen la propiedad de cierre de la adición, que establece que la suma de dos o más miembros del conjunto siempre será un miembro del conjunto. Los números enteros, por ejemplo, se cierran por suma.

Esto significa que cuando se suman dos números enteros, la suma resultante también es un número entero.

Eche un vistazo a la ilustración de arriba para comprender mejor el concepto de suma cerrada. Cuando se agregan dos pastelitos a otros ocho pastelitos, se espera que haya diez pastelitos. no tiene sentido que la combinación resultante devolverá nueve pastelitos y un pastel.

Extienda esto a un conjunto de números y expresiones que satisfagan la propiedad de cierre. Cuando se dice que un grupo de cantidades o miembros de un conjunto es cerrado por adición, su suma siempre devolverá otro miembro del conjunto. Eche un vistazo a los diferentes conjuntos (y subconjuntos) de números reales:

Los números irracionales son todos los números reales que no se pueden escribir como una razón de dos números enteros.
Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como la razón de dos números enteros.
Los números enteros son números enteros positivos y negativos.
Los números enteros son números naturales o contados más cero.
Por supuesto, los números naturales son los números que usamos para contar.

En general, todos los números racionales son cerrados por suma. Esto significa que agregar una combinación de estos tipos de números también devolverá números reales. Además, cada subconjunto de números también se cierra por adición.

Aquí hay algunos ejemplos y diferentes tipos de números racionales cerrados por adición:

tipo de numeros	Adición	Tipo de número resultante
Racional	begin{alineado}dfrac{1}{2} + dfrac{3}{4} = dfrac{5}{4}end{alineado}	Racional
Entero	begin{alineado} -4 + 12 = 8end{alineado}	Entero
Nombre completo	begin{alineado} 0+ 1200 = 1200end{alineado}	Nombre completo
Todo natural	begin{alineado} 100 + 500 = 600end{alineado}	Todo natural

Estos son solo algunos ejemplos que muestran cómo los números racionales se cierran mediante la suma. Prueba formal de cierre de propiedad de la factura requiere conocimientos más avanzadospor lo que es más importante centrarse en una pregunta que sea fácil de responder: ¿Los números irracionales también son cerrados por adición?

¿Por qué los números irracionales no son cerrados bajo la suma?

Los números irracionales no se consideran cerrados por adición porque cuando se suma un número irracional y su inverso aditivo, el resultado es cero. Como se estableció, el cero es un número racional y, de hecho, un número entero. Esto va en contra de la definición de la propiedad de cierre: todos los miembros del conjunto deben satisfacer la condición.

begin{alineado}sqrt{3} + sqrt{4} &= sqrt{3} + sqrt{4}\ sqrt{5} + 3sqrt{5} &= 4sqrt{5 }\2pi + 3pi &= 5pi\dfrac{e}{3} + dfrac{sqrt{2}}{3} &= dfrac{e + sqrt{2} {3}end{alineado}

A primera vista, los números irracionales parecen cerrados por adición. Eche un vistazo a los cuatro ejemplos que se muestran: cada uno de estos pares de números irracionales también devuelve un número irracional para una suma. Sin embargo, la propiedad de cierre debe aplicarse a todos los números irracionales para que se consideren cerrados por adición.

begin{alineado} sqrt{7} + (-sqrt{7}) &= 0\ pi + -pi&= 0\2e + (-2e) &= 0\4sqrt{5 } + (-4sqrt{5})&= 0end{alineado}

Dado que cada par devuelve una suma de cero y cero no es un número irracional, los números irracionales no se cierran por adición. Cuando se le pida que pruebe esta afirmación nuevamente, ¡solo piense en contraejemplos!

En la siguiente sección, explorar subconjuntos más particulares de números que se cierran mediante la suma. Además, aprenda a identificar un conjunto de números que no satisfagan la propiedad de cierre de la suma. Cuando esté listo, pase a problemas de muestra y preguntas de práctica.

Ejemplo 1

¿Los enteros pares son cerrados por suma?

Solución

enteros pares son números divisibles por dos, como ${2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …}$. Cuando se suman dos números pares, su suma también será siempre par. Ahora primero prueba con diferentes pares de números pares para entender esta afirmación y luego trata de probarla usando formas generales.

primer numero par	segundo numero par	Suma de números pares
begin{alineado}12end{alineado}	begin{alineado}14end{alineado}	begin{alineado}12 + 14 &= 26 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}
begin{alineado}200end{alineado}	begin{alineado}48end{alineado}	begin{alineado}200 + 48&= 248 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}
begin{alineado}580end{alineado}	begin{alineado}124end{alineado}	begin{alineado}580+124&= 704 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

Claro, no es suficiente predicar simplemente con el ejemplos (como aprendimos de los números irracionales) confirmar que un grupo de números es cerrado por adición. Ahora, ¿Cómo probar que los números pares son cerrados por suma?

Tenga en cuenta que todos los números pares son múltiplos de $2$, por lo que los números pares se pueden escribir como el producto de un factor y $2$.

Sea el primer número par igual a $2 cdot k = 2k$.
Sea el segundo número par igual a $2 cdot l = 2l$.

suma los dos numeros pares$2k$ y $2l$, para observar la naturaleza de la suma resultante.

begin{alineado}2k + 2l &= 2k + 2l\&= 2(k + l)end{alineado}

Esto significa que la suma de los dos números se puede expresar como $2(k + l)$, que también es múltiplo de $2$ y por lo tanto un número par.

¿Qué pasa si hay tres o más números pares?

begin{alineado}2k_1 + 2k_2 + 2k_3 + …+ 2k_{n- 1} + 2k_n &= 2(k_1 + k_2+k_3+ …+ k_{n -1}+k_n)end{alineado}

Esto confirma que la suma de tres o más números pares también es un número par. Por lo tanto, es seguro concluir que incluso los números enteros se cierran mediante la suma.

Ejemplo 2

¿Los enteros impares son cerrados por suma?

Solución

los enteros impares son números enteros que terminan en $1$, $3$, $5$, $7$, Donde $9$ y se ha establecido que la suma de dos números impares siempre será par.

primer numero impar	segundo numero impar	Suma de números impares
begin{alineado}21end{alineado}	begin{alineado}45end{alineado}	begin{alineado}21 + 45 &= 66 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}
begin{alineado}157end{alineado}	begin{alineado}123end{alineado}	begin{alineado}157+123&= 280 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}
begin{alineado}571end{alineado}	begin{alineado}109end{alineado}	begin{alineado}579 + 109&= 680 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

Estos tres ejemplos son ejemplos excelentes que muestran que los enteros impares no se cierran mediante la suma. También para generalizar, recuerda que los números impares se pueden escribir $2,000 + $1, así que observe lo que sucede cuando se suman dos enteros impares.

begin{alineado}(2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) &= 2k_1 + 2k_2 + 2\&= 2(k_ 1+ k_2 + 1)\&Rightarrow textbf{Par}end{alineado }

Hay no hay necesidad de generalizar más — para refutar la propiedad de clausura de un conjunto dado de números, ¡todo lo que necesitamos son contraejemplos! Esto concluye que los enteros impares no se cierran mediante la suma.

Aplique un proceso similar cuando intente determinar si un grupo de números es cerrado por suma o no. Usa sus propiedades para generalizar la propiedad de cierre para todos los números y encontrar contraejemplos para refutar las afirmaciones. Cuando esté listo para probar su comprensión de la propiedad de cierre que se agrega, diríjase a la sección a continuación.

Preguntas prácticas

1. ¿Cuáles de los siguientes números están cerrados por suma?

A. Enteros impares
B. Números irracionales
C. Cuadrados perfectos
D. Números pares enteros

2. ¿Cuáles de los siguientes números no son cerrados por suma?

A. Números naturales
B. Fracciones
C. Números impares
D. Números pares

3. Verdadero o falso: La suma de dos números irracionales siempre serán números racionales.

4. Verdadero o falso: La suma de dos números divisibles por $5$ siempre será un número entero.

5. Verdadero o falso: los decimales positivos se cierran bajo la suma.

6. ¿Cuál de los siguientes números irracionales devolverá un número racional cuando se suma a $2sqrt{3}$?

A.$-4sqrt{3}$
B. $-2sqrt{3}$
C.$2sqrt{3}$
D.$4sqrt{3}$

7. ¿Los múltiplos de $4 se cierran con sumas?

R. Sí
B No

8. ¿Los números primos son cerrados por adición?

R. Sí
B No

9. Complete el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera:
La oración de suma $4 + 109 = $113 muestra que __________.

A. los números impares se cierran mediante la suma.
B. los números enteros no se cierran por suma.
C. los enteros se cierran por suma.
D. los números impares no se cierran mediante la suma.

10. Complete el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera:
La oración de suma $dfrac{1}{2} + dfrac{1}{2} = 1$ muestra que __________.

A. los números racionales se cierran por adición.
B. los números irracionales no se cierran por adición.
C. los números irracionales se cierran por adición.
D. los números racionales no se cierran por adición.

corregido

1.D
2.C
3. Falso
4. Cierto
5. Cierto
6.B
7. Sí
8. No
9.C
10. uno

números pares e impares

¿Qué son los números pares e impares?

Un número entero que se puede dividir por 2 es un número par, mientras que un número entero que no se puede dividir por 2 es un número impar. Pueden ser positivos o negativos. Los números impares siempre están entre números pares y viceversa.

Para diferenciar entre números pares e impares, siempre buscas su dígito final. El último dígito de un número par siempre es 0, 2, 4, 6 u 8, mientras que el último dígito de un número impar siempre es 1, 3, 5, 7 o 9.

Ejemplos

Estos son algunos ejemplos de números pares:

-22, -10, 0, 6, 18, 234.

Los números anteriores son pares porque terminan en 0, 2, 4, 6 u 8.

Estos son algunos ejemplos de números impares:

-101, -17, 1, 9, 23, 985.

Los números anteriores son impares porque terminan en 1, 3, 5, 7 o 9.

Propiedades

Los números pares e impares tienen propiedades especiales con respecto a las operaciones algebraicas (suma, resta y multiplicación). Siempre que aplicamos operaciones algebraicas a dos números pares o impares, siempre obtenemos un número par o impar. Excluimos la división aquí porque la división a veces te da el resultado en fracciones al hablar de propiedades particulares.

Cuando sumamos o restamos dos números pares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 6 + 4 = 10
6 – 4 = 2
Cuando sumamos o restamos un número par y un número impar, el resultado siempre es impar.Por ejemplo, 7 + 4 = 11
7 – 4 = 3
Cuando sumamos o restamos dos números impares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 7 + 3 = 10
7 – 3 = 4
Cuando multiplicamos dos números pares, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo,
6 × 4 = 24
Cuando multiplicamos un número par y un número impar, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo,
7 × 4 = 28
Cuando multiplicamos dos números impares, el resultado siempre es un número impar. Por ejemplo,
7 × 3 = 21

Generalización de números pares e impares

También podemos generalizar números pares e impares. Por ejemplo, si ‘n’ es un número par, entonces el siguiente número impar es ‘n+1’, y el siguiente número par es ‘n+2’, y así sucesivamente. De manera similar, si ‘n’ es un número impar, entonces el siguiente número par es ‘n + 1’, y el siguiente número impar es ‘n + 2’, y así sucesivamente.

Por ejemplo, si queremos escribir una secuencia de cinco números impares a partir del 73, podemos escribirla así:

73, 73+2, 73+4, 73+6, 73+7

73, 75, 77, 79, 81

tabla de numeros

La siguiente tabla es la tabla de números del 1 al 100, donde el los números impares están resaltados en amarillo y el los números pares se resaltan en verde.

febrero 12, 2022 por Carlos Huertas Blog División Ejemplos Fracciones Impares Multiplicación Operaciones Pares Resta Suma

Propiedad Distributiva – Definición y Ejemplos

De todas las propiedades en matemáticas, la Propiedad distributiva se usa bastante a menudo. De hecho, cualquier método para multiplicar números por otro número utiliza la propiedad distributiva. Esta propiedad fue introducida a principios del s.^y siglo cuando los matemáticos comenzaron a analizar resúmenes y propiedades de los números.

La palabra distributiva se toma de la palabra “distribuirlo que significa que rompes algo en varias partes. Esta propiedad distribuye o descompone expresiones en la suma o resta de dos números.

¿Qué es la propiedad distributiva?

La propiedad distributiva es una propiedad de multiplicación que se usa en sumas y restas. Esta propiedad indica que dos o más términos de suma o resta con un número son iguales a la suma o resta del producto de cada uno de los términos con este número.

Propiedad distributiva de la multiplicación

Según la propiedad distributiva de la multiplicación, el producto de un número por suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos. La propiedad de distribución de la multiplicación también es cierta para la resta, donde puedes restar números primero y multiplicar o multiplicar números primero y luego restar.

Considere tres números a, B y contrala suma de a y B multiplicado por contra es igual a la suma de cada suma multiplicada por contraes decir

(a + B) × contra = corriente alterna + antes de Cristo

De manera similar, puedes escribir la propiedad de distribución de la multiplicación para la resta,

(a – B) × contra = corriente alterna – antes de Cristo

Propiedad distributiva con variables

Como se indicó anteriormente, la propiedad distributiva se usa con bastante frecuencia en matemáticas. Por lo tanto, también es muy útil para simplificar ecuaciones algebraicas.

Para encontrar el valor desconocido en la ecuación, podemos seguir los siguientes pasos:

Encuentra el producto de un número con los otros números entre paréntesis.
Ordena los términos de modo que los términos constantes y variables estén en lados opuestos de la ecuación.
Resuelve la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Propiedad distributiva con exponentes

La propiedad distributiva también es útil en ecuaciones con exponentes. Un exponente significa el número de veces que un número se multiplica por sí mismo. Si hay una ecuación en lugar de un número, la propiedad también es verdadera.

Debe seguir los pasos a continuación para resolver un problema de exponente usando la propiedad distributiva:

Expande la ecuación dada.
Encuentra todos los productos.
Sumar o restar términos similares.
Resuelve o simplifica la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Propiedad distributiva con fracciones

Aplicar la propiedad distributiva a ecuaciones con fracciones es un poco más difícil que aplicar esta propiedad a cualquier otra forma de ecuación.

Usa los siguientes pasos para resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad distributiva:

Identifica las fracciones.
Convierte la fracción a números enteros usando la propiedad distributiva. Para hacer esto, multiplique ambos lados de las ecuaciones por el MCM.
Encuentre los productos.
Aislar términos con variables y términos con constantes.
Resuelve o simplifica la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Ejemplos

Para resolver problemas verbales distributivos, siempre tienes que encontrar una expresión numérica en lugar de encontrar respuestas. Repasaremos algunos temas básicos antes de abordar los problemas de palabras.

Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

9 (X – 5) = 81

Solución

Paso 1: Encuentra el producto de un número con los otros números entre paréntesis.

9 (X) – 9 (5) = 81

9x – 45 = 81

Paso 2: Ordena los términos de modo que los términos constantes y variables estén en el lado opuesto de la ecuación.

9X – 45 + 45 = 81 + 45

9X = 126

Paso 3: Resuelve la ecuación.

9X = 126

X = 126/9

X = 14

Ejemplo 2

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

(sieteX + 4)²

Solución

Paso 1: Expande la ecuación.

(sieteX + 4)²= (7X + 4) (7X + 4)

Paso 2: Encuentra todos los productos.

(sieteX + 4) (7X + 4) = 49X² + 28X + 28X + 16

Paso 3: Agregue términos similares.

49X² + 56X + 16

Ejemplo 3

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

X – 5 = X/5 + 1/10

Solución

Paso 1: Identifica las fracciones.

Hay dos fracciones en el lado derecho.

Paso 2: encuentra el MCM de 5, 10, que es 10.

Multiplica con MCM en ambos lados.

diez (X – 5) = 10 (X/5 + 1/10)

diezX – 50 = 2X + 1

Paso 4: Aislar términos con variables y términos con constantes.

diezX – 2X = 1 + 50

8X = 51

X = 51/8

Ejemplo 4

Tienes dos amigos, Mike y Sam, nacidos el mismo día. Tienes que regalarles el mismo conjunto de camisas y pantalones para su cumpleaños. Si la camisa vale $12 y los pantalones $20, ¿cuál es el gasto total para comprar los regalos?

Solución

Hay dos formas de resolver este problema.

Método 1:

Paso 1: Encuentra el costo total de cada juego.

$12 + $20 = $32

Paso 2: Como hay dos amigos, multiplique por 2 para obtener el costo total.

$32 × 2

Paso 3: Encuentra el costo total.

$32 × 2 = $64

Método 2:

Paso 1: Como hay 2 amigos, duplica el precio de la camiseta.

$12 × 2 = $24

Paso 2: Como hay 2 amigos, duplica el precio de los pantalones.

$20 × 2 = $40

Paso 3: Encuentra el costo total.

$24 + $40 = $64

Ejemplo 5

Tres amigos tienen cada uno dos centavos, tres centavos y diez centavos. ¿Cuánto dinero tienen en total?

Solución

Una vez más, hay dos formas de resolver este problema.

Método 1:

Paso 1: encuentre el costo total de cada tipo de habitación.

Diez centavos:

2 × 10 ¢ = 20 ¢

Níquel:

3 × 5¢ = 15¢

Centavos:

10 × 1 ¢ = 10 ¢

Paso 2: Hay tres amigos, así que multiplica cada tipo de moneda por 3.

Diez centavos:

3 × 20¢ = 60¢

Níquel:

3 × 15 ¢ = 45 ¢

Centavos:

3 × 10¢ = 30¢

Paso 3: Encuentra la cantidad total de dinero.

60¢ + 45¢ + 30¢ = 135¢

Paso 4: Convierte a dólares.

135/100 = $1,35

Método 2:

Paso 1: Cada persona tiene dos centavos, tres centavos y diez centavos.

2 × 10 ¢ + 3 × 5 ¢ + 1 × 10 ¢

Paso 2: Total de dinero que tiene cada persona.

2 × 10¢ + 3 × 5¢ + 1 × 10¢ = 45¢

Paso 3: Dinero total que tienen tres personas.

45¢ + 45¢ + 45¢ = 135¢

Paso 4: Convierte a dólares.

135/100 = $1,35

Ejemplo 6

El largo de un rectángulo es 3 más que el ancho del rectángulo. Si el área del rectángulo es de 18 unidades cuadradas, encuentra el largo y el ancho del rectángulo.

Solución

Paso 1: Defina la longitud y el ancho de un rectángulo.

La longitud está representada por X.

Entonces ancho = X + 3

Paso 2: El área del rectángulo es de 18 unidades cuadradas.

área = largo × ancho

X(X + 3) = 18

Paso 3: Usa la propiedad distributiva.

X² + 3X = 18

Paso 4: reescribir como una ecuación cuadrática.

X² + 3X – 18 = 0

Paso 5: factoriza y resuelve.

X² + 6X – 3X – 18 = 0

X(X + 6) – 3(X + 6) = 0

(X – 3)(X + 6) = 0

x = 3, −6

Paso 6: Indique la respuesta.

La longitud no puede ser negativa. Entonces longitud = X = 3, y ancho = X + 3 = 6

febrero 11, 2022 por Carlos Huertas Blog Ejemplos Fracciones Multiplicación Resta Suma Unidades

Orden de operaciones – PEDMAS

El orden de las operaciones se puede definir como un procedimiento estándar que lo guía sobre qué cálculos comenzar en una expresión con múltiples operaciones aritméticas. Sin un orden de operación coherente, se pueden cometer grandes errores durante el cálculo.

Por ejemplo, una expresión que implica más de una operación, como resta, suma, multiplicación o división, requiere una forma estándar de saber qué operación realizar primero.

Por ejemplo, si desea resolver un problema como; 5 + 2 x 3, el problema es ¿qué operación comienza primero?

Debido a que este problema tiene dos opciones para resolverlo, entonces, ¿cuál es la respuesta correcta?

Si hacemos primero la suma y luego la multiplicación, el resultado es:

5 + 2 x 3 = (5 + 2) x 3 = 10 x 3 = 30

Si primero hacemos la multiplicación seguida de la suma, el resultado es:

5 + 2×3 = 5 + (2×3) = 5 + 6 = 11

Para ver cuál es la respuesta correcta, existe un mnemotécnico “PEMDAS”, que es útil porque nos recuerda el orden correcto de las operaciones.

PEMDAS

PEMDAS es un acrónimo que significa paréntesis, exponentes, multiplicación, suma y resta. El orden de las operaciones es:

P es para paréntesis: (), corchetes []llaves {} y barras de fracción.
E es para exponente incluyendo raíces.
M es para multiplicación.
D es para División.
A es para la adición.
S es para Resta.

Reglas PEMDAS

Comience siempre calculando todas las expresiones entre paréntesis
Simplifique todos los exponentes, como raíces cuadradas, cuadrados, cubos y raíces cúbicas.
Multiplica y divide de izquierda a derecha
Finalmente, suma y resta de la misma manera, trabajando de izquierda a derecha.

Una forma de dominar este orden de operación es recordar una de las siguientes tres frases; Elige el que recordarás más fácilmente.

“PAGSalquiler miexcusa METROallí Descuchar Aunt S”
“Grandes elefantes destruyen ratones y caracoles”.
“Los elefantes rosas destruyen ratones y caracoles”.

Ejemplo 1

Resolver

30 ÷ 5×2+1

Solución

Debido a que no hay paréntesis ni exponentes, comience con la multiplicación y luego con la división, trabajando de izquierda a derecha. Completa la operación por adición.

30 ÷ 5 = 6

6×2=12

12 + 1 = 13

NOTA: Cabe señalar que, aunque la multiplicación en PEMDAS viene antes de la división, sin embargo, la operación de ambas aún se realiza de izquierda a derecha.

Multiplicar antes de dividir da la respuesta incorrecta:

5 × 2 = 10

30 ÷ 10 = 3

3 + 1 = 4

Ejemplo 2

Resuelve la siguiente expresión: 5 + (4 – 2 )² x3 ÷ 6 – 1

Solución

Comience con los paréntesis;

(4 – 2) = 2

Proceda con la operación exponencial.

2 ² = 4

Ahora nos quedamos con; 5 + 4×3 ÷ 6 – 1 = ?
Realiza multiplicaciones y divisiones, comenzando de izquierda a derecha.

4×3=12

5 + 12 ÷ 6 – 1

Comenzando desde la derecha;

12 ÷ 6 = 2

5 + 2 – 1 = ?

5 + 2 = 7

7 – 1 = ?

7 – 1 = 6

Ejemplo 3

simplificar 3 ² + [6 (11 + 1 – 4)] ÷ 8×2

Solución

Para resolver este problema, PEMDAS se aplica de la siguiente manera;

Comience la operación acercándose al paréntesis.
Comience dentro de los paréntesis hasta que se eliminen todas las agrupaciones. Se hace la adición;

11 + 1 = 12

Realiza la resta; 12 – 4 = 8
Entrena con apoyos como; 6×8 = 48
Ejecutar exponentes como; 3²= 9

9 + 48 ÷ 8 x 2 = ?

Calcula multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha;

48÷8=6

6×2=12

Ejemplo 4

Evalúa la expresión; 10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3

Solución

Al aplicar la regla PEMDAS, la multiplicación y la división se evalúan de izquierda a derecha. Es recomendable insertar paréntesis para recordar el orden de operación

10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3

= (10÷2) + (12÷2 × 3)

= 23

Ejemplo 5

Tarifa 20 – [3 x (2 + 4)]

Solución

Primer trabajo sobre las expresiones entre paréntesis.

= 20 – [3 x 6]

Calcula los paréntesis restantes.
= 20 – 18

Finalmente, realice una resta para obtener 2 como respuesta.

Ejemplo 6

Práctica (6 – 3) ² – 2×4

Solución

Comienza abriendo los paréntesis

= (3)² – 2×4

= 9 – 2×4

ahora haz la multiplicacion

= 9 – 8

Completa la operación por resta para obtener 1 como respuesta correcta.

Ejemplo 7

Resolver la ecuación 2 ² – 3 × (10 – 6)

Solución

Calcula dentro de los paréntesis.
= 2 ²– 3×4
Calcula el exponente.
= 4 – 3×4
Haz la multiplicación.
= 4 – 12
Completa la operación por resta.
= -8

Ejemplo 8

Simplifica la expresión 9 – 5 ÷ (8 – 3) x 2 + 6 usando el orden de las operaciones.

Solución

Practica entre paréntesis

= 9 – 5 ÷ 5×2+6

= 9 – 1×2 + 6

Realiza la multiplicación

= 9 – 2 + 3

Suma y luego resta

= 7 + 6 = 13

Conclusión

En conclusión, a veces una expresión puede contener dos operaciones al mismo nivel.

Por ejemplo, si una expresión contiene tanto un cuadrado como un cubo, se puede calcular primero uno u otro. Realice siempre la operación de izquierda a derecha siguiendo la regla PEMDAS. Si encuentra una expresión sin símbolos de agrupación como llaves, corchetes y paréntesis, puede hacerlo más fácil agregando sus propios símbolos de agrupación.

El trabajo con expresiones que tienen fracciones se resuelve simplificando primero el numerador seguido del denominador. El siguiente paso es simplificar el numerador y el denominador si es posible.

febrero 11, 2022 por Carlos Huertas Agrupación Aritmetica Blog División Fracciones Multiplicación Operaciones Resta Suma

Propiedad de identidad: explicación con ejemplos

¿Qué es la propiedad de identidad?

Los números reales son un conjunto ordenado de números que tienen propiedades únicas. Las propiedades básicas son conmutativa, asociativa, distributiva e identidad. Una propiedad de identidad es una propiedad que se aplica a un grupo de números como un conjunto. No se puede aplicar a un número individual solamente.

Se llama propiedad de identidad porque cuando se aplica a un número, el número conserva su “identidad”. La propiedad de identidad es verdadera para todas las operaciones aritméticas.

Propiedad de identidad de la suma

La propiedad de identidad de la suma es que cuando un número Nos sumado a cero, el resultado es el número en sí, es decir

norte + 0 = norte

El cero se llama identidad aditiva y se puede sumar a cualquier número real sin cambiar su valor. Estos son algunos ejemplos de propiedad de identidad de suma,

3 + 0 = 3 (enteros positivos)

-3 + 0 = -3 (Enteros negativos)

4/5 + 0 = 4/5 (Fracciones)

0,5 + 0 = 0,5 (decimales)

x + 0 = x (notación algebraica)

Esta propiedad también es válida para la resta, porque restar 0 a cualquier número es igual al número mismo. Por lo tanto, 0 también se llama identidad sustractiva.

Propiedad de identidad de la multiplicación

La propiedad de identidad de la multiplicación es que cuando un número Nos multiplicado por uno, el resultado es el número mismo, es decir

norte × 1 = norte

Uno se llama identidad multiplicativa y puede multiplicarse por cualquier número real sin cambiar su valor. Aquí hay algunos ejemplos de la propiedad de identidad de la multiplicación,

3 × 1 = 3 (Enteros positivos)

-3 × 1 = -3 (Enteros negativos)

4/5 × 1 = 4/5 (Fracciones)

0,5 × 1 = 0,5 (decimales)

x × 1 = x (notación algebraica)

Esta propiedad también es válida para la división, porque dividir un número por 1 es equivalente al número mismo. Por lo tanto, 1 también se llama identidad de división.

febrero 11, 2022 por Carlos Huertas Aritmetica Blog Decimales División Ejemplos Fracciones Multiplicación Operaciones Resta Suma

Tipos de números: diferencia y clasificación

¿Te imaginas cómo sería tu vida si no tuvieras forma de representar las edades, el peso, los cumpleaños, el tiempo, los puntajes, las cuentas bancarias y los números de teléfono? Los diez dígitos matemáticos (0 a 9) se utilizan para definir todas estas cantidades.

Los números son cadenas de dígitos que se utilizan para representar una cantidad. La magnitud de un número indica el tamaño de la cantidad. Puede ser grande o pequeño. Existen en diferentes formas, como 3, 999, 0.351, 2/5, etc.

Tipos de Números en Matemáticas

Así como diferentes miembros de la familia viven en diferentes casas, diferentes números pertenecen a la misma familia pero tienen diferentes tipos. Con el tiempo, diferentes patrones de diez dígitos se han categorizado en una variedad de tipos de números. Estos patrones numéricos son diferentes entre sí debido a diferentes representaciones y propiedades.

Números naturales

Los números naturales o números de conteo son los tipos de números más básicos que aprendió por primera vez cuando era niño. Comienzan desde 1 y van hasta el infinito, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. También se les llama números enteros positivos. En la forma de conjunto, se pueden escribir:

{1 2 3 4 5, …}

Los números naturales se representan con el símbolo NO.

Números enteros

Los números enteros son todos los números naturales, incluido el cero. Esto significa que parten de 0 y van hasta 1, 2, 3, etc., es decir

{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Los números enteros se representan con el símbolo O.

Entero

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros y los negativos de los números naturales. Contienen todos los números entre infinito negativo e infinito positivo. Pueden ser positivos, nulos o negativos pero no se pueden escribir en decimal o en fracción. Los enteros se pueden escribir como un conjunto como

{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Podemos decir que todos los números enteros y naturales son números enteros, pero no todos los números enteros son números naturales o enteros.

El símbolo Z representa números enteros.

fracciones

Una fracción representa partes de una pieza entera. Se puede escribir en la forma una Bo ambos a y B son números enteros y B nunca puede ser igual a 0. Todas las fracciones son números racionales, pero no todos los números racionales son fracciones.

Luego, las fracciones se reducen a fracciones propias e impropias. Las fracciones impropias son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador, mientras que lo contrario es cierto en las funciones propias, es decir, el denominador es mayor que el numerador. Ejemplos de fracciones propias son 3/7 y 99/101, mientras que 7/3 y 101/99 son fracciones impropias. Esto significa que las fracciones impropias siempre son mayores que 1.

Todos los decimales finales y los decimales periódicos se pueden escribir como fracciones. Puedes escribir el decimal final 1.25 como 125/100 = 5/4. Un decimal periódico 0.3333 se puede escribir como 1/3.

Numeros racionales

Puedes escribir números racionales como una fracción. La palabra “racional” se deriva de la palabra “razón”, porque los números racionales son las proporciones de dos números enteros. Por ejemplo, 0,7 es un número racional porque se puede escribir como 7/10. Otros ejemplos de números racionales son -1/3, 2/5, 99/100, 1,57, etc.

Considere un número racional p/qo pags y q son dos enteros. Aquí el numerador pags puede ser cualquier número entero (positivo o negativo), pero el denominador q nunca puede ser 0 porque la fracción no está definida. También si q = 1, entonces la fracción es un número entero.

El símbolo Q representa los números racionales.

Numeros irracionales

Los números irracionales no se pueden escribir como una fracción, es decir, no se pueden escribir como la razón de dos números enteros. Algunos ejemplos de números irracionales son √2, √5, 0.353535…, π, etc. Puedes ver que los dígitos de los números irracionales continúan para siempre sin un patrón repetitivo.

El símbolo Q representa los números irracionales.

Numeros reales

Los números reales son el conjunto de todos los números racionales e irracionales. Esto incluye todos los números que se pueden escribir en forma decimal. Todos los números enteros son números reales, pero no todos los números reales son números enteros. Los números reales incluyen todos los números enteros, enteros, fracciones, decimales periódicos, decimales finales, etc.

El símbolo R representa números reales.

números imaginarios

Los números distintos de los números reales son números imaginarios o complejos. Cuando elevamos al cuadrado un número imaginario, da un resultado negativo, lo que significa que es la raíz cuadrada de un número negativo, por ejemplo, √-2 y √-5. Cuando elevamos al cuadrado estos números, los resultados son -2 y -5. La raíz cuadrada de uno negativo se representa con la letra Ies decir

I = √-1

Ejemplo 1

¿Cuál es la raíz cuadrada de -16? Escribe tu respuesta en términos de un número imaginario. I.

Solución

Paso 1: Escribe la forma de la raíz cuadrada.

√(-16)

√(16 × -1)

Paso 3: Separa las raíces cuadradas.

√(16) × √(-1)

Paso 4: Resuelve la raíz cuadrada.

4 × √(-1)

Paso 5: Escribe en la forma i.

A veces obtienes una solución imaginaria a las ecuaciones.

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación,

X² + 2 = 0

Solución

Paso 1: Toma el término constante del otro lado de la ecuación.

X² = -2

Paso 2: Saca la raíz cuadrada de ambos lados.

√X² = +√-2 o -√-2

X = √(2) × √(-1)

X = +√2I o -√2I

Paso 4: Verifique las respuestas insertando valores en la ecuación original y vea si obtenemos 0.

X² + 2

(+√2I)² + 2 = -2 + 2 = 0 (como I = √-1 y cuadrado de I es -1)

(-√2I)² + 2 = -2 + 2 = 0 (como I = √-1 y cuadrado de I es -1)

El hecho de que su nombre sea “imaginario” no significa que sean inútiles. Tienen muchas aplicaciones. Una de las mayores aplicaciones de los números imaginarios es su uso en circuitos eléctricos. Los cálculos de corriente y voltaje se realizan en términos de números imaginarios. Estos números también se utilizan en cálculos complejos. En algunos lugares, el número imaginario también se representa con la letra I.

Números complejos

Un número imaginario se combina con un número real para obtener un número complejo. El es representado como a + bidonde la parte real y B son la parte compleja del número complejo. Los números reales se encuentran en una recta numérica, mientras que los números complejos se encuentran en un plano plano bidimensional.

Al igual que los números imaginarios, los números complejos tampoco son inútiles. Se utilizan en muchas aplicaciones, como señales y sistemas y la transformada de Fourier.

números primos y números compuestos

Los números primos y compuestos son opuestos entre sí. Los números primos son el tipo de enteros que no tienen más factores que ellos mismos y 1, por ejemplo, 2, 3, 5, 7, etc. El número 4 no es un número primo porque es divisible por 2. De manera similar, 12 tampoco es un número primo porque es divisible por 2, 3 y 4. Por lo tanto, 4 y 12 son ejemplos de números compuestos.

Números trascendentales

Los números que nunca pueden ser el cero (o la raíz) de una ecuación polinomial con coeficientes racionales se llaman números trascendentales. No todos los números irracionales son números trascendentales, pero todos los números trascendentales son números irracionales.

Clasificación de números

La familia de números que vimos anteriormente también se puede clasificar en diferentes categorías. Es como si una familia tuviera 20 miembros, pero viven en dos casas familiares conjuntas con 10 miembros cada una, lo que significa que 10 miembros viven en la misma casa. Podemos decir que dos o más tipos de números pueden pertenecer a una categoría.

números discretos y continuos

Los tipos de números contables se llaman números discretos, y los tipos de números que no se pueden contar se llaman números continuos. Todos los números naturales, enteros, enteros y racionales son discretos. Esto se debe a que cada uno de sus conjuntos es contable. El conjunto de números reales es demasiado grande y no se puede contar, por lo que se clasifica como números continuos. Si tomamos al azar los dos números reales más cercanos, todavía hay infinitamente más números reales entre ellos; por lo tanto, no se pueden contar.

Conjuntos de números

Los números también se pueden clasificar como conjuntos. Cada tipo de número es un subconjunto de otro tipo de número. Por ejemplo, los números naturales son el subconjunto de los números enteros. De manera similar, los números enteros son el subconjunto de los números enteros. El conjunto de los números racionales contiene todos los números enteros y fracciones. Los conjuntos de números racionales y números irracionales forman los números reales. Los números reales se clasifican en números complejos con la parte imaginaria igual a 0. Podemos clasificar estos números en una tabla jerárquica de la siguiente manera:

Los números naturales se pueden reducir aún más a números cuadrados pares, impares, primos, coprimos, compuestos y perfectos.

febrero 11, 2022 por Carlos Huertas Blog Decimales Fracciones Impares Naturales Pares

Serie telescópica – Componentes, fórmula y técnica

Una de las series más singulares e interesantes que aprenderemos en precálculo es la serie telescópica. Las series telescópicas exhiben un comportamiento único que pondrá a prueba nuestro conocimiento de manipulación algebraica, series y sumas parciales.

La serie telescópica es una serie que se puede reescribir de modo que la mayoría (si no todos) de los términos se cancelen con un término anterior o posterior.

Esta serie tiene una amplia aplicación en matemáticas superiores, teoría informática y una serie divertida para explorar mientras ponemos a prueba nuestras habilidades algebraicas.

Una de las técnicas algebraicas más aplicadas en la manipulación de series telescópicas es el uso de descomposición en fracciones parciales. Asegúrese de revisar y actualizar sus conocimientos sobre este tema en particular, ya que lo aplicaremos ampliamente en este artículo.

OTambién aplicaremos nuestro conocimiento de los límites, así que asegúrese de hacer un repaso rápido sobre cómo evaluamos los límites.

Comencemos por comprender los componentes de la serie telescópica y finalmente aprendamos cómo la serie obtuvo su nombre.

¿Qué es una serie telescópica?

Identificar series telescópicas puede parecer más complicado que identificar series más simples, como series aritméticas y geométricas. Esto se debe a que una serie telescópica nos obliga a pensar creativamente sobre cómo podemos manipular los términos para expandirlos y luego simplificarlos.

A continuación se muestran tres series telescópicas comunes:

$dfrac{1}{2} + dfrac{1}{6} + dfrac{1}{12} + …$
$dfrac{1}{2} + dfrac{1}{8}+ dfrac{1}{32} + …$
$dfrac{1}{3} + dfrac{1}{15} + dfrac{1}{35} + …$

En las secciones, aprenderemos cómo podemos simplificar series como estas y por qué cada una de ellas se considera una serie telescópica.

Al hablar de series telescópicas, es inevitable que hablemos de son telescópicos – es el proceso de simplificar una serie o una expresión primero expandiéndolos y luego cancelando los términos consecutivos de la nueva expresión.

Por eso también llamamos a esta técnica son telescópicos y la serie en sí una serie telescópica. Al igual que un telescopio, para que podamos dar sentido al valor, primero necesitaremos ampliar la vista antes de poder concentrarnos en los valores que importan.

Para comprender mejor qué es la serie telescópica, veamos su forma algebraica.

Telescópico fórmula en serie y definición

Digamos que tenemos $sum_{n=1}^{infty} b_n$, una serie telescópica infinita, podemos reescribir eso como $b_n$ como $a_n – a_{n+1}$, donde $a_n$ es un término de una sucesión construida correctamente.

Se dice que una serie es telescópica cuando la expresamos de la forma $sum_{n=1}^{infty} b_n = sum_{n=1}^{infty} (a_n – a_{n+1} ) $

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} b_n &= (a_1 – a_2) + (a_2 – a_3) + (a_3 – a_4) + … + (a_{n-1} – a_n) \&= a_1 + (-a_2 + a_2) + (-a_3 + a_3) + … + (-a_{n – 1} + a_{n – 1}) – a_n\&= a_1 – a_nend{ alineado}

Cuando esto sucede, simplemente negamos los términos y mantenemos los valores restantes y tendremos la forma más simplificada de la serie telescópica, como muestra la forma general anterior.

¿Cómo? ‘O’ ¿Qué? encontrar la suma de una serie telescópica?

La mejor manera de entender qué hace que una serie telescópica sea única es simplificar la serie y encontrar su suma. Aquí hay algunas pautas útiles para encontrar la suma de una serie telescópica:

Si aún no se ha proporcionado, encuentre la expresión para $a_n$ y $S_n$.
Usa la descomposición en fracciones parciales para reescribir la expresión racional como una suma de dos fracciones más simples.
Reescribe $a_n$ usando estas dos fracciones como la suma, luego encuentra el valor de $lim_{nrightarrow infty} sum_{n=1}^{infty} S_n$.

Echemos un vistazo a una de las series telescópicas más comunes que probablemente encontraremos: $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)}$.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= dfrac{1}{2} + dfrac{1}{6} + dfrac{1}{12} + … + dfrac{1}{n(n + 1)} end{alineado}

Encontrar la suma de esta serie puede parecer difícil al principio, pero con los pasos que hemos mencionado, podremos encontrar la suma de esta serie telescópica.

Tenemos la expresión regular, $dfrac{1}{n(n + 1)}$, podemos reescribir esa expresión regular como $dfrac{A}{n}$ y $dfrac{B}{n + 1 } $ . Aplicar lo que aprendimos al dividir fracciones para encontrar $A$ y $B$.

begin{alineado}dfrac{1}{n(n + 1)} &= dfrac{A}{n} + dfrac{B}{n + 1}\1 &= A(n + 1) + B(n)\0n + 1&= (A + B)n + A\\A+ B &= 0\A&=1\B&=-1end{alineado}

Esto significa que podemos reescribir $dfrac{1}{n(n + 1)}$ a $dfrac{1}{n} – dfrac{1}{n + 1}$. Reemplace nuestra expresión regular con esta forma descompuesta.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= sum_{n=1}^{infty} left(dfrac{ 1}{n} – dfrac{1}{n + 1}right) \&= left(1 -dfrac{1}{2} right) + left(dfrac{1}{2 } – dfrac{1}{3}right) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{4}right) + … +left(dfrac{1}{n – 1} – dfrac{1}{n}right) + left(dfrac{1}{n} – dfrac{1}{n + 1}right) end{alineado}

Podemos reescribir esta serie agrupando los términos como se muestra a continuación.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= 1 + left(-dfrac{1}{2} +dfrac{ 1}{2} derecha) + izquierda(-dfrac{1}{3} +dfrac{1}{3} derecha) + … +izquierda(-dfrac{1}{n – 1} + dfrac{1}{n-1}right) + left(-dfrac{1}{n} +dfrac{1}{n}right) – dfrac{1}{n + 1} \&=1 + cancel{left(-dfrac{1}{2} +dfrac{1}{2} right)} + cancel{left(-dfrac{1}{3} +dfrac{1}{3} right)} + … +cancel{left(-dfrac{1}{n – 1} + dfrac{1}{n-1}right)} + deshacer{left(-dfrac{1}{n} +dfrac{1}{n}right)} – dfrac{1}{n + 1}\&= 1- dfrac{1}{ n+1} end{alineado}

¿Observe cómo los pares ahora se cancelan y dejan atrás el primer y el último término? Esa es la belleza de la serie telescópica. Ahora que tenemos una suma de $1 – dfrac{1}{n + 1}$, podemos simplemente encontrar el límite de la suma cuando $n$ tiende a infinito para encontrar el

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= lim_{n rightarrow infty} left(1 – dfrac{1}{n +1}right) \&= 1 – 0\&=0end{alineado}

Por lo tanto, la suma de la serie telescópica infinita es $1$. Más importante aún, hemos mostrado cómo podemos aplicar la descomposición en fracciones parciales y las leyes de límites para encontrar la suma de una serie telescópica infinita.

¿Estás listo para probar más problemas? Consulte los problemas de muestra que le proporcionamos.

Ejemplo 1

Encuentra la suma de la serie telescópica, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$.

Solución

Ya tenemos la expresión para $a_n = dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$, entonces podemos proceder a reescribir $dfrac{1}{(2n – 1)( 2n + 1 )}$ como la suma de dos fracciones “más simples”.

begin{alineado}dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &= dfrac{A}{2n – 1} + dfrac{B}{2n + 1}\ 1 &= A(2n + 1) + B (2n – 1)\0n + 1 &= (2A + 2B)n + (A – B)\\2A + 2B &= 0\ A – B &= 1 end{alineado}

Como $A + B = 0$, podemos sustituir $A = -B$ en la segunda ecuación, $A – B = 1$.

begin{alineado}A – B &= 1\ -B – B&= 1\-2B &= 1\B & = -dfrac{1}{2}end{alineado}

Esto significa que $A$ es igual a $dfrac{1}{2}$. Usemos estos valores para reescribir la expresión regular original.

begin{alineado}dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &= dfrac{A}{2n – 1} + dfrac{B}{2n + 1}\&= dfrac{dfrac{1}{2}}{2n – 1} – dfrac{dfrac{1}{2}}{2n + 1}\&= dfrac{1}{4n – 2} – dfrac{1}{4n+2}end{alineado}

Usando la nueva expresión para $a_n$, podemos expandir la serie telescópica como se muestra a continuación.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &=sum_{n=1}^{infty}left ( dfrac{1}{4n – 2} -dfrac{1}{4n + 2}right)\&= left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{6} derecha ) + left(dfrac{1}{6} – dfrac{1}{10} right ) + left(dfrac{1}{10} – dfrac{1}{14} right ) + … + izquierda[dfrac{1}{4(n – 1) – 2} – dfrac{1}{4(n – 1) + 2} right ]+ left(dfrac{1}{4n – 2} – dfrac{1}{4n + 2} right )end{alineado}

Reordene los términos y vea cómo podemos reducir la serie telescópica a dos términos.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &= dfrac{1}{2} + cancel{left ( – dfrac{1}{6} + dfrac{1}{6} right )}+ cancel{left( – dfrac{1}{10} + dfrac{1}{10} right )} + cancel{left( – dfrac{1}{14} + dfrac{1}{14} right )}+…+ cancel{left(-dfrac{1}{4n – 2 } + dfrac{1}{4n – 2}right)} – dfrac{1}{4n + 2} \&= dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2} end{alineado}

Ahora podemos encontrar la suma de la serie telescópica tomando el límite de $S_n =dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2}$ cuando $n$ se acerca a $infty$.

begin{alineado}S_n &=dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2}\lim_{n rightarrow infty} S_n &= lim_{nrightarrow infty} left( dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2}right )\&= dfrac{1}{2}- 0\&= dfrac{1}{2 }end{alineado}

Esto muestra que la suma de $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$ es igual a $dfrac{1}{2}$ .

Ejemplo 2

Encuentra la suma de la serie telescópica, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{n^2 + 4n + 3}$.

Solución

Podemos aplicar un proceso similar para reescribir $dfrac{3}{n^2 + 4n + 3}$ como la suma de dos fracciones más simples.

begin{alineado}dfrac{3}{n^2 + 4n + 3} &= dfrac{3}{(n + 1)(n + 3)}\&= dfrac{A}{n + 3} + dfrac{B}{n + 1}\\A(n + 3) + B(n + 1) &=3\(A + B)n + (3A + B)&= 0n + 3\A+B &=0\3A+ B &= 3end{alineado}

Como $A + B = 0$, podemos sustituir $A = -B$ en la segunda ecuación, $3A + B = 3$.

begin{alineado}-3B + B &= 3\ -2B &= 3\B &= -dfrac{3}{2}end{alineado}

Usando $A = dfrac{3}{2}$ y $B = -dfrac{3}{2}$, tenemos $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{ n ^2 + 4n + 3} = sum_{n=1}^{infty} left(dfrac{3}{2(n + 1)} – dfrac{3}{2(n + 3) } derecha)$. Usemos esto para extender la serie telescópica y reducir la serie a menos términos.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} left[dfrac{3}{2(n + 1)} – dfrac{3}{2(n + 1)}right] &=sum_{n=1}^{infty} left(dfrac{3}{2(n + 1)}- dfrac{3}{2(n + 3)}right) \& =dfrac{3}{2}sum_{n=1}^{infty} left[dfrac{1}{(n + 1)}- dfrac{1}{(n + 3)}right]\&=dfrac{3}{2}left[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{5} right )+ left(dfrac{1}{4} – dfrac{1}{6} right )+ left(dfrac{1}{5} – dfrac{1}{7} right ) + …+ left(dfrac{1}{n} – dfrac{1}{n+2} right )+ left(dfrac{1}{n+1} – dfrac{1}{n+3} right )right ]end{alineado}

Agrupa los términos con denominador impar y los que tienen denominador par. Cancele los términos tanto como sea posible, luego simplifique la expresión en términos de $n$.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} left[dfrac{3}{2(n + 1)} – dfrac{3}{2(n + 1)}right] &= dfrac{3}{2}izquierda[left(dfrac{1}{2}-dfrac{1}{4}+dfrac{1}{4}-dfrac{1}{6}+dfrac{1}{6} + …- dfrac{1}{n} + dfrac{1}{n}-dfrac{1}{n +2}right ) right ]\&fantasma{xxx} +left(dfrac{1}{3}-dfrac{1}{5}+dfrac{1}{5}-dfrac{1}{7}+dfrac {1}{8} + …- dfrac{1}{n+1} + dfrac{1}{n+1}-dfrac{1}{n +3}right )\&=dfrac {3}{2}izquierda[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{n + 2} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{n + 3} right )right] end{alineado}

Ahora podemos encontrar la suma de la serie telescópica evaluando el límite de la expresión simplificada para la suma cuando $n$ tiende a infinito.

begin{aligned}sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{n^2 + 4n + 3} &= lim_{n rightarrow infty}dfrac{3}{2} a la izquierda[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{n + 2} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{n + 3} right )right]\&=dfrac{3}{2}lim_{n rightarrow infty}left[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{n + 2} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{n + 3} right )right] \&= dfrac{3}{2}izquierda[left(dfrac{1}{2} – 0right)+ left(dfrac{1}{3} – 0right)right]\&=dfrac{3}{2}left(dfrac{1}{2} + dfrac{1}{3}right)\&=dfrac{3}{2} cdot dfrac{5}{6}\&= dfrac{5}{4}end{alineado}

De esto podemos ver que $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{n^2 + 4n + 3}$ es igual a $dfrac{5}{4}$ o $1,15.

Estos son dos grandes ejemplos de cómo podemos encontrar la suma de una serie telescópica. Muestran cómo saber cómo manipular expresiones es crucial para simplificar y evaluar estas series.

Pruebe los problemas presentados a continuación si desea trabajar en más series telescópicas.

enero 26, 2022 por Carlos Huertas Aritmetica Blog Fracciones Pares

Recíproco Negativo – Explicación y Ejemplos

El inverso negativo puede parecer complicado, pero una vez que entendamos su concepto, verás lo fácil que es aplicarlo y encontrar el inverso negativo de un número. ¿Por qué no diseccionar las dos palabras?

Negativo y recíproco: esto significa que el inverso negativo de un número es el resultado de multiplicar el inverso del número por $mathbf{-1}$.

Tan simple como su definición, los recíprocos negativos tienen una amplia gama de aplicaciones que incluyen encontrar pendientes perpendiculares y modelar aplicaciones del mundo real que usan relaciones inversas.

¿Qué es un recíproco negativo?

Cuando se trata de inversos negativos, primero recordemos qué representan estas dos palabras en matemáticas: negativo y recíproco.

$ boldsymbol{dfrac{a}{b} rightarrow – dfrac{b}{a} }$

Desglosaremos lentamente este formulario y, al final de este artículo, sin duda podrá comprender de qué se trata.

Recíproco

El inverso de un número o función es el valor o la expresión que resulta de invertir los lugares del numerador y el denominador.

$ boldsymbol{dfrac{a}{b}rightarrow dfrac{b}{a} }$

Los inversos se consideran inversos multiplicativos porque siempre serán 1 cuando multiplicamos un número por su inverso.

$ dfrac{a}{b} cdot dfrac{b}{a}=1$

Domina tu conocimiento de los recíprocos aquí.

Negativo de un número (o de una función)

El negativo de un número o función es el resultado de un número multiplicado por -1. Digamos que tenemos una fracción, $dfrac{b}{a}$, su contraparte negativa será $-dfrac{b}{a}$.

$ boldsymbol{-1 cdot dfrac{b}{a} = -dfrac{b}{a}}$

Obtén más información sobre los números negativos aquí.

Cuando combinamos estos dos conceptos, tendremos el inverso negativo de un número. Esto significa que los inversos negativos resultan del hecho de que tomamos el inverso de un número y luego encontramos el valor negativo del resultado.

Por lo tanto, tenemos $ boldsymbol{dfrac{a}{b} rightarrow – dfrac{b}{a} }$.

¿Cómo encontrar el recíproco negativo?

Ahora que entendemos lo que representan los recíprocos negativos, ¿cómo manipulamos diferentes formas de expresiones para tener sus recíprocos negativos?

Siempre comienza con invertir los lugares del numerador y el denominador de la escisión.
Una vez que tenemos el recíproco, multiplicar el resultado por $mathbf{-1}$.

Hemos creado guías rápidas para que las consulte cuando trabaje con diferentes tipos de números y expresiones.

Comencemos aprendiendo cómo encontrar el recíproco negativo de una fracción, $dfrac{a}{b}$, donde $b neq 0$.

¿Qué pasaría si trabajáramos con funciones racionales como $dfrac{p(x)}{q(x)}$? Aplicamos el mismo proceso que hicimos con las fracciones.

La función racional y su converso negativo solo serán válidas si $p(x) neq 0$ y $q(x) neq 0$.

y si trabajamos con números enteros ¿entonces? Nosotros comienza expresando el número entero como una fracción con $1$ como denominador. Digamos que tenemos $m$ como un número entero, comenzamos expresándolo como $dfrac{m}{1}$ y seguimos el mismo proceso.

Un proceso similar se aplica a funciones como $f(x)$ que son funciones no racionales.

Tenga en cuenta que para que existan recíprocos negativos, $m$ y $f(x)$ no deben ser iguales a $0$.

¿Emocionado por probar problemas que involucran recíprocos negativos? Primero, avancemos y resumamos lo que hemos aprendido hasta ahora sobre los recíprocos negativos.

Resumen de definición y propiedades recíprocas

Esta expresión representa lo que sucede al encontrar recíprocos negativos: $ boldsymbol{dfrac{a}{b} rightarrow – dfrac{b}{a} }$.
Cuando se le da un número entero o una función que no es racional, primero exprese lo dado como una fracción de 1.
Solo es posible que una constante o una función tenga un recíproco negativo cuando su numerador y denominador no son iguales a $0$.
La pendiente de una recta perpendicular utiliza inversas negativas.

Eso es. Asegúrese de tener en cuenta estos consejos cuando solucione los problemas a continuación.

Ejemplo 1

Complete la siguiente tabla encontrando los respectivos recíprocos negativos de los siguientes elementos.

Valor original	recíproco negativo
$dfrac{1}{2}$
$-dfrac{2}{3}$
$9$
$- 4dfrac{1}{7}$

Solución

Para encontrar el inverso negativo, comenzamos intercambiando los lugares del numerador y el denominador de la fracción. Primero trabajemos en los primeros dos elementos: $dfrac{1}{2}$ y $-dfrac{2}{3}$.

Por tanto, sus recíprocos son $dfrac{2}{1}$ y $-dfrac{3}{2}$.

Para cada valor, multiplique $-1$ para encontrar el inverso negativo correspondiente.

$-1 cdot dfrac{2}{1} = -2$
$-1 cdot -dfrac{3}{2}=dfrac{3}{2}$.

De hecho, aplicaremos el mismo proceso para las dos últimas líneas, pero primero asegúrese de reescribirlas como una fracción. El número entero $9$ se puede escribir $dfrac{9}{1}$ y el número mixto $- 4dfrac{1}{7}$ se puede escribir $-dfrac{29}{7}$ .

Una vez que las tengamos como fracciones, podemos intercambiar los lugares de sus correspondientes numeradores y denominadores y luego multiplicar el resultado respectivo por $-1$.

$begin{alineado}dfrac{9}{1} rightarrow dfrac{1}{9} rightarrow -dfrac{1}{9} end{alineado}$
$begin{alineado} -dfrac{29}{7} rightarrow dfrac{-7}{29} rightarrow dfrac{7}{29} end{alineado}$

Por lo tanto, tenemos la tabla completa como se muestra a continuación.

Valor original	recíproco negativo
$dfrac{1}{2}$	$-2$
$-dfrac{2}{3}$	$dfrac{3}{2}$
$9$	$-dfrac{1}{9}$
$- 4dfrac{1}{7}$	$-dfrac{7}{29}$

Ejemplo 2

Sea $h(x)$ el inverso negativo de $f(x)$ para cada una de las siguientes funciones. Encuentra el $h(x)$. ¿Cuáles son las restricciones para $x$ en cada caso?

una. $f(x) = dfrac{1}{x – 1}$

B. $f(x) = dfrac{2}{3(x+2)}$

contra $f(x) = x^2 – 3x – 54$

Solución

Aplicamos el mismo proceso para encontrar los inversos negativos de las funciones.

una. Esto significa que comenzamos intercambiando los lugares de $1$ y $x – 1$ para encontrar el inverso de $f(x)$. Luego multiplicamos el resultado por $-1$.

$begin{alineado}h(x)&=-1cdot dfrac{x-1}{1}\&=-1cdot x – 1\&mathbf{-x + 1} end {alineado}$

Dado que $h(x)$ es una expresión lineal, no tiene restricciones. La función $f(x)$, sin embargo, no debe tener $x – 1 = 0$, por lo tanto, $mathbf{x neq 0}$.

B. Aplicamos el mismo proceso desde a. Por lo tanto, tenemos $h(x)$ como se muestra a continuación.

$begin{alineado}h(x)&=-1cdot dfrac{3(x+2)}{2}\&=-1cdot dfrac{3x+6}{2}\& =mathbf{-dfrac{3x+6}{2}} end{alineado}$

La función $h(x)$ tiene una constante como denominador, por lo que no tiene restricciones para $x$. La función $f(x)$, sin embargo, no puede tener $3(x + 2) = 0$, entonces $mathbf{x neq -2}$.

contra Expresa $f(x)$ como una fracción con $1$ como denominador, entonces $f(x) = dfrac{ x^2 – 3x – 54}{1}$. Ahora aplica el mismo proceso para encontrar el recíproco negativo, $h(x)$.

$begin{alineado}h(x)&=-1cdot dfrac{1}{x^2-3x-54}\&=mathbf{-dfrac{1}{x^2-3x- 54}}\ end{alineado}$

Como $f(x)$ es un polinomio, no hay restricción para $x$. Su inverso negativo, sin embargo, no puede tener cero en su denominador. Podemos encontrar las restricciones para $h(x)$ encontrando los valores donde $ x^2 – 3x – 54$ es igual a cero.

$ begin{alineado} x^2 -3x – 54&=0\(x – 9)(x + 6)&=0\x&=9\x&-6end{alineado}$

Esto significa que para que $h(x)$ sea válido, $mathbf{x neq {-6.9}}$.

Ejemplo 3

La gráfica de la función lineal, $f(x)$, es perpendicular a la gráfica de $h(x)$, que también es una función lineal. Si $f(x)$ tiene una pendiente de $-dfrac{2}{3}$, ¿cuál es la pendiente de $h(x)$?

Solución

Como mencionamos en la discusión, encontrar los inversos negativos es crucial para encontrar las pendientes de las líneas perpendiculares.

Como tenemos la pendiente de $f(x)$, podemos encontrar la pendiente de $h(x)$ al encontrar el inverso negativo de $-dfrac{2}{3}$.

$begin{alineado}m_perp &= -1 cdot-dfrac{3}{2}\&=dfrac{3}{2} end{alineado}$

Esto significa que la pendiente de $h(x)$ es $dfrac{3}{2}$ por lo que es perpendicular a $f(x)$.

Ejemplo 4

El inverso negativo de $f(x)$ es $dfrac{x^2 – 2}{x – 5}$. ¿Cuál es la expresión para $f(x)$?

Solución

Esta vez, nos dan el recíproco negativo. Necesitamos encontrar la expresión para $f(x)$ invirtiendo los pasos:

Empezamos multiplicando $-1$ por el inverso negativo para revertir los cambios de signo.
Intercambia los lugares del numerador y el denominador del inverso negativo.

$begin{alineado}f(x)&=-1cdot dfrac{x-5}{x^2-2}\&=dfrac{-x+5}{x^2-2} fin{alineado}$

Esto significa que $mathbf{f(x) =dfrac{-x+5}{x^2-2}}$.

¿Notas algo sobre los pasos? En realidad es el mismo proceso porque el inverso negativo del inverso negativo de una función será $mathbf{f(x)}$.

Ejemplo 6

Si un número dado es veintisiete veces mayor que el cuadrado de su inverso negativo, encuentre el número.

Solución

Sea $n$ el número que estamos buscando, por lo que su negativo se puede expresar como $-dfrac{1}{n}$. Elabora la ecuación que representa la situación.

$n=27cdotleft(-dfrac{1}{n} right )^2 $

Simplifica esta ecuación multiplicando ambos lados de la ecuación por $n^2$ y sacando la raíz cúbica de ambos lados de la ecuación.

$begin{alineado}n&=dfrac{27}{n^2}\n^3&=27\sqrt[3]{n^3} &=raíz cuadrada[3]{27}\n&=3 end{alineado}$

Esto significa que para que el número satisfaga la condición, debe ser igual a 3.

enero 21, 2022 por Carlos Huertas Blog Fracciones

MATEMÁTICAS EGIPCIAS – NÚMEROS Y CIFRAS

Figuras jeroglíficas del Antiguo Egipto

Los primeros egipcios se establecieron a lo largo del fértil valle del Nilo ya alrededor del 6000 a. C., y comenzaron a registrar patrones de fases y estaciones lunares, tanto por razones agrícolas como religiosas.

Los topógrafos del faraón usaron medidas basadas en partes del cuerpo (una palma era el ancho de la mano, un codo la medida desde el codo hasta la punta de los dedos) para medir tierras y edificios muy temprano en la historia de Egipto, y se ha desarrollado un sistema numérico decimal basado en nuestros diez dedos. Sin embargo, el texto matemático egipcio más antiguo descubierto hasta la fecha es el Papiro de Moscú, que data del Reino Medio de Egipto alrededor de 2000 – 1800 a. C.

Sistema numérico del antiguo Egipto

Se cree que los egipcios introdujeron el primer sistema de numeración Base 10 completamente desarrollado al menos ya en el 2700 a. C. (y probablemente mucho antes). Los números escritos usaban un trazo para las unidades, un símbolo del hueso del talón para las decenas, una bobina de cuerda para cientos y una planta de loto para miles, así como otros símbolos jeroglíficos para poderes superiores que iban desde diez hasta un millón. Sin embargo, no existía el concepto de valor posicional, por lo que los números más grandes eran bastante difíciles de manejar (aunque un millón solo requería un carácter, un millón menos uno requería cincuenta y cuatro caracteres).

Método de multiplicación del Antiguo Egipto

El papiro de Rhind, que data de alrededor del 1650 a. C. También contiene evidencia de otros conocimientos matemáticos, incluidas fracciones unitarias, números primos y compuestos, medias aritméticas, geométricas y armónicas, y cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden, así como series geométricas y aritméticas. El papiro de Berlín, que data de alrededor del 1300 a. C., muestra que los antiguos egipcios podían resolver ecuaciones algebraicas (cuadráticas) de segundo orden.

La multiplicación, por ejemplo, se logró mediante un proceso de duplicar repetidamente el número a multiplicar en un lado y en el otro, esencialmente una especie de multiplicación de factores binarios similar a la utilizada por las computadoras modernas (ver el ejemplo a la derecha). Estos bloques contadores correspondientes podrían usarse luego como una especie de tabla de referencia de multiplicación: primero, se aisló la combinación de potencias de dos que suman el número por multiplicar, luego los bloques contadores correspondientes del otro lado dieron la respuesta. Hizo un uso eficaz del concepto de números binarios, más de 3.000 años antes de que Leibniz lo introdujera en Occidente, y muchos años más antes de que el desarrollo de la computadora explorara plenamente su potencial.

Los problemas prácticos del comercio y el mercado llevaron al desarrollo de una notación para fracciones. Los papiros que nos han llegado demuestran el uso de fracciones unitarias basadas en el símbolo del ojo de Horus, donde cada parte del ojo representaba una fracción diferente, cada mitad de la anterior (es decir, mitad, cuarto, octavo, decimosexto, treinta -segundo, sesenta y cuatro), de modo que el total era un sesenta y cuatro menos que un todo, el primer ejemplo conocido de una serie geométrica.

Método de división del Antiguo Egipto

Las fracciones unitarias también se pueden usar para sumas de división simple. Por ejemplo, si dividieran 3 panes entre 5 personas, primero dividirían dos de los panes en tercios y el tercero en quintos, luego dividirían el tercio restante del segundo pan en cinco partes. De modo que cada persona recibiría un tercio más un quinto más un quinceavo (que son tres quintos, como cabría esperar).

Los egipcios aproximaron el área de un círculo usando formas cuya área conocían. Observaron que el área de un círculo con un diámetro de 9 unidades, por ejemplo, estaba muy cerca del área de un cuadrado con un lado de 8 unidades, por lo que el área de círculos de otros diámetros podría ser obtenido multiplicando el diámetro por ⁸??₉ luego cuadrándolo. Esto da una aproximación eficiente de ?? con una precisión del uno por ciento.

Las pirámides mismas son otro indicio de la sofisticación de las matemáticas egipcias. Aparte de las afirmaciones de que las pirámides son las primeras estructuras conocidas que observan la proporción áurea de 1: 1.618 (lo que puede haber sucedido por razones puramente estéticas, no matemáticas), ciertamente hay alguna evidencia de que conocían la fórmula del volumen de una pirámide. – ¹??₃ multiplicado por la altura multiplicada por el largo multiplicado por el ancho, así como una pirámide truncada o cortada.

También eran conscientes, mucho antes de Pitágoras, de la regla de que un triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades da un ángulo recto perfecto, y los constructores egipcios usaban cuerdas atadas a intervalos de 3, 4 y 5 unidades para ‘ asegurar ángulos correctos para su mampostería (de hecho, el triángulo rectángulo 3-4-5 a menudo se llama “egipcio”).

diciembre 4, 2021 por Carlos Huertas Ángulos Aritmetica Blog División Fracciones Multiplicación Resta Suma Unidades

LEONARDO FIBONACCI – MATEMÁTICO ITALIANO (ESCRITO LEBER ABACI)

Leonardo de Pisa (Fibonacci) (c.1170-1250)

Italiano del siglo XIII Leonardo de Pisa, más conocido por su sobrenombre de Fibonacci, fue quizás el matemático occidental más talentoso de la Edad Media. Poco se sabe de su vida, excepto que era hijo de un oficial de aduanas y de niño viajó al norte de África con su padre, donde aprendió matemáticas árabes. A su regreso a Italia, ayudó a difundir este conocimiento en toda Europa, iniciando así un rejuvenecimiento de las matemáticas europeas, que habían permanecido en gran parte inactivas durante siglos durante la Edad Media.

En particular, en 1202 escribió un libro enormemente influyente titulado “Liber Abaci” (“Libro de cálculo”), en el que promovió el uso del sistema numérico hindú-árabe, describiendo sus muchos beneficios para los comerciantes y matemáticos sobre los incómodos romanos. sistema de numeración entonces en uso en Europa. A pesar de sus obvias ventajas, la adopción del sistema en Europa fue lenta (después de todo, durante la época de las Cruzadas contra el Islam, una época en la que todo lo árabe era visto con gran sospecha), e incluso los números arábigos fueron prohibidos en la ciudad de Florencia en 1299 con el pretexto de que eran más fáciles de falsificar que los números romanos. Sin embargo, el sentido común finalmente prevaleció y el nuevo sistema se adoptó en toda Europa en el siglo XV, volviendo obsoleto el sistema romano. La notación de barra horizontal para fracciones también se utilizó por primera vez en este trabajo (aunque siguiendo la práctica árabe de colocar la fracción a la izquierda del número entero).

secuencia Fibonacci

El descubrimiento de la famosa secuencia de Fibonacci

Fibonacci es más conocido, sin embargo, por su introducción en Europa de un secuencia de números especiales, que desde entonces se conoce como los números de Fibonacci o la secuencia de Fibonacci. Descubrió la secuencia, la primera secuencia numérica recursiva conocida en Europa, mientras consideraba un problema práctico en el “Liber Abaci” que implicaba el crecimiento de una población hipotética de conejos basada en supuestos idealizados. Señala que después de cada generación mensual el número de parejas de conejos aumenta de 1 a 2 a 3 a 5 a 8 a 13, etc., e identifica cómo progresa la secuencia sumando los dos términos anteriores (en términos matemáticos, F_metro = F_metro-1 + F_metro-2), una secuencia que teóricamente podría extenderse indefinidamente.

La secuencia, que de hecho era conocida por los matemáticos indios desde el siglo VI, tiene muchas propiedades matemáticas interesantes, y muchas de las implicaciones y relaciones de la secuencia no se descubrieron hasta varios siglos después de la muerte de Fibonacci. Por ejemplo, la secuencia se regenera a sí misma de una manera sorprendente: un número F de cada tres es divisible por 2 (F₃ = 2), uno de cada cuatro números F es divisible por 3 (F₄ = 3), cada quinto número F es divisible por 5 (F₅ = 5), cada sexto número F es divisible por 8 (F₆ = 8), cada séptimo número F es divisible por 13 (F₇ = 13), etc. También se ha demostrado que los números en la secuencia son de naturaleza ubicua: entre otras, muchas especies de plantas con flores tienen números de pétalos en la secuencia de Fibonacci; los arreglos en espiral de las piñas aparecen en 5 y 8, los de piñas en 8 y 13, y las semillas de cabezas de girasol aparecen en 21, 34, 55 o incluso más en la secuencia; etc.

La proporción áurea φ

La proporción áurea se puede derivar de la secuencia de Fibonacci

En la década de 1750, Robert Simson observó que la relación de cada término en la secuencia de Fibonacci con el término anterior se aproxima, con mayor precisión cuanto más altos son los términos, una relación de aproximadamente 1: 1,6180339887 (c ‘es de hecho un número irracional igual a ^{(1 + √5)}??₂ que desde entonces se ha calculado con miles de decimales). Este valor se conoce como proporción áurea, también conocida como proporción áurea, sección áurea, proporción divina, etc., y generalmente se la conoce como la letra griega phi (o, a veces, la letra mayúscula Phi Φ). Esencialmente, dos cantidades están en la proporción áurea si la proporción de la suma de las cantidades a la mayor cantidad es igual a la proporción de la mayor cantidad a la más pequeña. La proporción áurea en sí tiene muchas propiedades únicas, como ¹??_?? = φ – 1 (0,618…) y² = φ + 1 (2.618…), y hay innumerables ejemplos de esto tanto en la naturaleza como en el mundo humano.

Un rectángulo con lados en una proporción de 1: φ se conoce como el rectángulo áureo, y muchos artistas y arquitectos a lo largo de la historia (que se remontan al antiguo Egipto y Grecia, pero particularmente popular en el arte renacentista de Leonardo da Vinci y sus contemporáneos) proporcionaron sus funciona aproximadamente utilizando la proporción áurea y los rectángulos áureos, que se consideran ampliamente estéticos por naturaleza. Un arco que conecta puntos opuestos de rectángulos dorados anidados cada vez más pequeños forma una espiral logarítmica, conocida como la espiral dorada. La proporción áurea y la espiral áurea también se pueden encontrar en un sorprendente número de casos de la naturaleza, desde conchas marinas y flores hasta cuernos de animales, cuerpos humanos, sistemas de tormentas y galaxias.

Debe recordarse, sin embargo, que la secuencia de Fibonacci era, de hecho, solo un elemento muy menor en “Liber Abaci”; de hecho, a la secuencia solo se le dio el nombre de Fibonacci en 1877 cuando Eduouard Lucas decidió rendirle homenaje dándole su nombre. a la serie, y que el propio Fibonacci no fue responsable de identificar ninguna de las propiedades matemáticas interesantes de la secuencia, su relación con la proporción áurea y los rectángulos y espirales áureos, etc.

Multiplicación de redes

Fibonacci introdujo la multiplicación de redes en Europa

Sin embargo, la influencia del libro en las matemáticas medievales es innegable, y también incluye discusiones de una serie de otros problemas matemáticos, como el teorema chino del resto, números primos y perfectos, fórmulas para aritmética en serie y números de pirámides cuadradas, demostraciones geométricas euclidianas y un estudio de ecuaciones lineales simultáneas a lo largo de las líneas de Diofanto y Al-Karaji. También describió el método de multiplicación de celosía (o tamiz) para multiplicar números grandes, un método, desarrollado originalmente por matemáticos islámicos como Al-Khwarizmi, algorítmicamente equivalente a una multiplicación larga.

Tampoco fue el único libro de “Liber Abaci” Fibonacci, aunque fue el más importante. Su “Liber Quadratorum” (“El libro de los cuadrados”), por ejemplo, es un libro de álgebra, publicado en 1225 en el que aparece una declaración de lo que ahora se llama identidad de Fibonacci, a veces también conocido como el nombre de identidad de Brahmagupta después del pozo anterior. -conocido matemático indio que también llegó a las mismas conclusiones- que el producto de dos sumas de dos cuadrados es en sí mismo una suma de dos cuadrados, por ejemplo (1² + 4²) (2² + 7²) = 26² + 15² = 30² +1².

diciembre 3, 2021 por Carlos Huertas Ángulos Aritmetica Blog Decimales Fracciones Multiplicación

Carlos Huertas

Matemático

Fracciones

¿Qué significa cerrado bajo suma?

¿Por qué los números irracionales no son cerrados bajo la suma?

Ejemplo 1

Solución

Ejemplo 2

Solución

Preguntas prácticas

corregido

¿Qué son los números pares e impares?

Ejemplos

Propiedades

Generalización de números pares e impares

tabla de numeros

¿Qué es la propiedad distributiva?

Propiedad distributiva de la multiplicación

Propiedad distributiva con variables

Propiedad distributiva con exponentes

Propiedad distributiva con fracciones

Ejemplos

PEMDAS

Reglas PEMDAS

Conclusión

¿Qué es la propiedad de identidad?

Propiedad de identidad de la suma

Propiedad de identidad de la multiplicación

Tipos de Números en Matemáticas

Números naturales

Números enteros

Entero

fracciones

Numeros racionales

Numeros irracionales

Numeros reales

números imaginarios

Números complejos

números primos y números compuestos

Números trascendentales

Clasificación de números

números discretos y continuos

Conjuntos de números

¿Qué es una serie telescópica?

Telescópico fórmula en serie y definición

¿Cómo? ‘O’ ¿Qué? encontrar la suma de una serie telescópica?

¿Qué es un recíproco negativo?

¿Cómo encontrar el recíproco negativo?

Resumen de definición y propiedades recíprocas

Sistema numérico del antiguo Egipto

secuencia Fibonacci

La proporción áurea φ

Multiplicación de redes

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