Función de reflexión – Explicación y ejemplos

Una reflexión de una función es un tipo de transformación de la gráfica de una función.

El reflejo de una función puede estar en el eje x o en el eje y, o incluso en ambos ejes. Por ejemplo, el reflejo de la función $y = f(x)$ se puede escribir $y = – f(x)$ o $y = f(-x)$ o incluso $y = – f(-x)$ . Hay cuatro tipos de transformaciones de funciones o gráficas: Reflexión, Rotación, Traslación y Dilatación.

En esta guía, exploraremos los reflejos de la función junto con ejemplos numéricos para que pueda comprender el concepto rápidamente.

¿Qué es una función de reflexión?

La función de reflexión es la transformación de una función en la que volteamos la gráfica de la función alrededor de un eje. En matemáticas o específicamente en geometría, reflejar o reflejar significa volver, por lo que básicamente el reflejo de una función es la imagen especular de la función o gráfica dada. Por lo tanto, las funciones reflexivas se denominan comúnmente funciones reflexivas.

Se dice que dos gráficos son imágenes especulares o reflejos uno del otro si cada punto en un gráfico es equidistante del punto correspondiente en el otro gráfico. El reflejo de la característica dada debe ser similar en tamaño y forma a la característica original.

La única característica que no coincide es la dirección. La dirección de la imagen o gráfico reflejado debe ser opuesta a la imagen o gráfico original.

Como comentamos anteriormente, hay cuatro tipos de transformaciones de funciones, y los estudiantes a menudo confunden el reflejo de una función con la traslación de una función. Al trasladar una característica, solo se cambia la posición de una característica, mientras que el tamaño, la forma y la dirección siguen siendo los mismos.

Por otro lado, durante la reflexión de una función, tanto la posición como la dirección de la imagen de la gráfica se modifican mientras que la forma y el tamaño siguen siendo los mismos.

Tipos de función de reflexión

Hay tres tipos de reflexiones de una función. Considere la función $y = f(x)$, se puede reflejar en el eje x como $y = -f(x)$ o en el eje y como $y = f(-x)$ o en ambos ejes como $y = -f(-x)$.

De este modo, clasificamos las reflexiones de la función de la siguiente manera:

1. Reflexión de una función sobre el eje x o reflexión vertical
2. Reflexión de una función sobre el eje y o reflexión horizontal
3. Reflejar una función en los ejes x e y

Todos estos tipos de reflejos se pueden utilizar para reflejar funciones lineales y funciones no lineales.

Cómo reflejar una función en el eje X

Cuando necesitamos reflejar una función en el eje x, los puntos de las coordenadas x se mantendrá igual mientras vamos a cambiar los signos de todas las coordenadas del eje y.

Por ejemplo, supongamos que necesitamos reflejar la función dada $y = f(x)$ alrededor del eje x. En este caso, la reflexión sobre la ecuación del eje x para la función dada se escribirá como $y = -f(x)$, y aquí puedes ver que todos los valores de “$y$” tendrán signo contrario con respecto a la función original. La reflexión de un punto $(x,y)$ sobre el eje x estará representada por $(x,-y)$.

Allan estaba trabajando como ingeniero de arquitectura en un sitio de construcción y se dio cuenta de que la función $y = 3x^{2}+ 5x + 6$ que usó para desarrollar el plano/modelo gráfico del sitio es incorrecta y, en cambio, la función correcta. es $y = – (3x^{2} + 5x + 6)$.

Allan no tiene una computadora en el sitio para simular la función y obtener el modelo gráfico relevante. Sin embargo, Allan sabe que esto es solo un reflejo de la función original en el eje x, por lo que puede dibuje fácilmente el nuevo gráfico simplemente cambiando la dirección del gráficoque mantendrá todos los puntos correspondientes equidistantes entre sí.

La representación gráfica de las dos funciones se muestra a continuación:

Cómo reflejar la función en el eje Y

Cuando necesitamos reflejar una función en el eje y, los puntos de las coordenadas y se mantendrá igual mientras que cambiaremos los signos de todas las coordenadas del eje x.

Por ejemplo, si la función $y = f(x)$ debe reflejarse en el eje y, entonces la función resultante será $y = f(-x)$. Como podemos ver, cancelamos todos los valores de “coordenadas x” en este caso.

Considere una función $y = 6x + 3$, si necesitamos reflejar esta función en el eje y, entonces la función resultante será $y = -6x + $3.

La representación gráfica de las dos funciones se muestra a continuación:

Reflejar una función en los ejes X e Y

Cuando la función necesita ser reflejada en los ejes x e y, la escribimos como un reflejo de una función en $x = y$, por lo que se divide en dos partes o dos casos $y = x$ y $y = -x$.

Cuando la gráfica de la función se refleja en $y = x$, entonces intercambiaremos datos de contacto ejes x e y entre sí mientras sus signos siguen siendo los mismos. Por ejemplo, escribiremos el reflejo de un punto $(3,4)$ como $(4,3)$.

Cuando la gráfica de una función se refleja en $y = -x$, las coordenadas de los ejes x e y se intercambiarán y también se cancelarán. Por ejemploescribiremos la reflexión de un punto $(3,4)$ de la forma $(-4,-3)$.

Entonces, si se nos da una función $y = f(x)$ y se nos pide que reflejemos esta función en los ejes x e y, entonces la función resultante será $y = -f(-x)$.

Considere una función $y = 6x + 3$, si necesitamos reflejar esta función en los ejes x e y, entonces la función resultante será $y = -(-6x + 3)$.

Ejemplo 1:

Se te dan los valores tabulares de las tres funciones $f(x)$, $g(x)$ y $h(x)$. La función original es f(x). Determine el tipo de reflexión utilizada para formar las otras dos funciones.

Solución:

Nos dan tres funciones, $f(x)$, $g(x)$ y $h(x)$, junto con los valores correspondientes de $x$.

La función f(x) es la funcion originaly lo usaremos en comparación con otras funciones para determinar el tipo de reflexión realizada en otras funciones.

La función g(x) tiene valores opuestos con respecto a la función $f(x)$, mientras que los valores de “x” son los mismos. Por lo tanto, podemos escribir $g(x) = – f(x)$, lo que muestra que la función original se refleja en el eje x en este caso.

Para la función $h(x)$, los valores de “$x$” son negativos en comparación con los valores de “x” para la función original $f(x)$. Los valores de h(x) no garantizan si la función original se refleja en el eje y o en $y = -x$, por lo que se puede reflejar en el eje y o en $y = -x $ como no tenemos la función real para calcular los valores.

Ejemplo 2:

Dibuja los reflejos de las funciones dadas en el eje x y el eje y

1. $y = 5x -1$
2. $y = 5x^{2}- 3x +2$

Solución:

1)

Reflexión de la función en el eje x:

Reflexión de la función sobre el eje de ordenadas:

2)

Reflexión de la función en el eje x:

Reflexión de la función sobre el eje de ordenadas:

Ejemplo 3:

Escribe las reflexiones de las funciones dadas en el eje x, el eje y y los ejes x e y.

1. $y = 6x -3$
2. $y = 7x^{2}+3x + 2$

Solución:

1)

Cuando la función $y = 6x -3$ se refleja en el eje x, se escribe $y = -(6x-3)$.

Cuando la función $y = 6x -3$ se refleja en el eje y, se escribe $y = (-6x-3)$.

Cuando la función $y = 6x -3$ se refleja en ambos ejes, se escribe $y = -(-6x-3)$.

2)

Cuando la función $y = 5x^{2}- 3x +2$ se refleja en el eje x, se escribe $y = -(5x^{2}- 3x +2)$.

Cuando la función $y = 5x^{2}- 3x +2$ se refleja en el eje y, se escribe $y = 5(-x)^{2}- 3(-x) +2 $ .

Cuando la función $y = 5x^{2}- 3x +2$ se refleja en ambos ejes, se escribe $y = -(5(-x)^{2}- 3(-x) + 2) $.

Cuestiones prácticas

1) Te dan los valores tabulares de las tres funciones f(x), g(x) y h(x). La función original es f(x). Debe determinar el tipo de reflejo utilizado para formar las otras dos funciones.

2) Debe escribir los reflejos de las funciones dadas en el eje x, el eje y y los ejes x e y.

1. $y = 7x – $5
2. $y = 6x^{2}-2x +2$
3. $y = -(7x^{2}+4x -1)$

clave de respuesta:

1)

La función $f(x)$ es la función original y la usaremos en comparación con otras funciones para determinar el tipo de reflexión realizada en otras funciones.

2)

a) Cuando la función $y = 7x -5$ se refleja en el eje x, entonces se escribe $y = -(7x-5)$.

Cuando la función $y = 7x -5$ se refleja en el eje y, se escribe $y = (-5x-5)$.

Cuando la función $y = 7x -5$ se refleja en ambos ejes, se escribe $y = -(-7x-5)$.

b)

Cuando la función $y = 6x^{2}- 2x +2$ se refleja en el eje x, se escribe $y = -(6x^{2}- 2x +2)$.

Cuando la función $y = 6x^{2}- 2x +2$ se refleja en el eje y, se escribe $y = 6(-x)^{2}- 2(-x) +2 $ .

Cuando la función $y = 6x^{2}- 2x +2$ se refleja en ambos ejes, se escribe $y = -(6(-x)^{2}- 2(-x) + 2) $.

contra)

Cuando la función $y = -(7x^{2}+4x -1)$ se refleja en el eje x, se escribe $y = (7x^{2}+4x -1)$.

Cuando la función $y = -(7x^{2}+4x -1)$ se refleja en el eje y, entonces se escribe $y = -(7(-x)^{2}+4( -x) -1)$.

Cuando la función $y = -(7x^{2}+4x -1)$ se refleja en ambos ejes, se escribe $y = -(7(-x)^{2}+4(- x) -1 ps