Función delta de Dirac: definición, forma y aplicaciones

Función delta de Dirac: definición, forma y aplicaciones

el Función delta de Dirac es una herramienta importante para aprender, especialmente cuando se planea estudiar conceptos avanzados en estadística, ingeniería y física, como distribuciones de probabilidad, funciones de pulso y mecánica cuántica. A primera vista, la función delta de Dirac puede parecer abrumadora, pero una vez que analice los conceptos, el delta de Dirac le ayudará a comprender cómo funcionan las funciones complejas.

La función delta de Dirac es una función generalizada que se utiliza mejor para modelar comportamientos similares a las distribuciones de probabilidad y los gráficos de pulso. También podemos usar la función delta de Dirac para resolver ecuaciones diferenciales más complejas usando transformadas de Laplace.

En este artículo, cubriremos todos los conceptos y propiedades fundamentales necesarios para comprender las funciones delta de Dirac. También relacionaremos estas propiedades para que las aprecies más. También podrá tener en sus manos algunos problemas de valor inicial que involucran la transformada de Laplace y la función delta de Dirac.

¿Qué es una función delta de Dirac?

La función delta de Dirac es una “función” esencial en la informática y la física avanzadas (en particular, la mecánica cuántica). Una excelente manera de visualizar lo que representan las funciones delta de Dirac es modelar una distribución de masa; las funciones delta de Dirac exhibirán comportamientos similares. Esto significa que observamos el comportamiento de una función en estos momentos:

  • comenzando cuando está cerca de cero
  • su aumento es repentinamente drástico, con un período de intervalo, y
  • cuando el aumento se ralentiza y finalmente vuelve a cero.

Podemos representar la función delta de Dirac por $ delta (x) $. Ponemos una cotización en la función ya que el delta de Dirac es técnicamente una herramienta para que generalicemos alguna función que satisfaga la siguiente ecuación.

begin {alineado} int _ {- infty} ^ { infty} delta (x) f (x) phantom {x} dx & = f (0) end {alineado}

Esta relación permanece verdadera siempre que coloquemos la expresión en un intervalo que contenga $ 0 en el medio. Podemos desarrollar aún más esta relación en una función por partes y generalizar los límites superior e inferior como se muestra a continuación.

begin {alineado} int_ {k_1} ^ {k_2} delta (x) = left { begin {matrix} 1, phantom {x} text {when} x in [k_1, k_2]\ 0, text {cuando} x cancelar { in} [k_1, k_2] end {matriz} right. end {alineado}

También podemos ampliar esto para tener en cuenta factores adicionales dentro del integrando, como $ f (x) $ y cuando el dominio se desplaza $ x_0 $ unidades.

begin {alineado} int_ {k_1} ^ {k_2} f (x) delta (x – x_0) = left { begin {matrix} f (x_0), phantom {x} text {when} x_0 in [k_1, k_2]\ 0, text {when} x_0 cancel { in} [k_1, k_2] end {matriz} right. end {alineado}

Ahora que hemos establecido la definición y las condiciones necesarias para la función delta de Dirac, avancemos y profundicemos nuestra comprensión al delinear sus principales propiedades.

Propiedades de la función delta de Dirac

La función delta de Dirac tiene una amplia gama de propiedades que pueden ayudarlo a evaluar integrales, simplificar ecuaciones diferenciales y aplicarlas al modelo de funciones de pulso, así como a otras aplicaciones. Las tres propiedades principales que debe conocer se detallan a continuación.

Propiedad 1: La función delta de Dirac, $ delta (x – x_0) $ es igual a cero cuando $ x $ no es igual a $ x_0 $.

begin {alineado} delta (x – x_0) = 0, text {cuando} x neq x_0 end {alineado}

Otra forma de interpretar esto es que cuando $ x $ es igual a $ x_0 $, la función delta de Dirac devolverá un valor infinito.

begin {alineado} delta (x – x_0) = infty, text {cuando} x = x_0 end {alineado}

La mejor forma de visualizar esta propiedad de la función delta de Dirac es imaginar cómo se comportan los pulsos de luz: hay casos en los que ya no podemos medir la energía emitida por la luz y hay determinadas distancias a las que podemos. En los casos en los que es casi imposible medir la energía, simplemente asumimos que es igual al infinito.

Propiedad 2: Al integrar la función delta de Dirac, podemos demostrar que la función es igual a $ 1 $ en el intervalo permitido.

begin {alineado} int_ {x_0 – epsilon} ^ {x_0 + epsilon} delta (x – x_0) phantom {x} dx = 1, text {cuando} epsilon> 0 end {alineado}

Los límites superior e inferior, $ x_0 – epsilon $ y $ x_0 + epsilon $, representan el rango que cubre $ x $. En el contexto del pulso, este es el rango en el que se puede observar el comportamiento de la función.

begin {alineado} int _ {- infty} ^ { infty} delta (x – x_0) phantom {x} dx = 1, text {cuando} epsilon> 0 end {alineado}

Podemos extender esta propiedad cuando $ epsilon> 0 $ y $ epsilon $ tiende a infinito.

Propiedad 3: Podemos extender la segunda propiedad para tener en cuenta las instancias en las que multiplicamos $ delta (x) $ con una función, $ f (x) $.

begin {alineado} int_ {x_0 – epsilon} ^ {x_0 + epsilon} f (x) delta (x – x_0) phantom {x} dx = f (x_0), text {when} epsilon > 0 end {alineado}

Hay casos en los que $ delta (x) $ es cero en todo el intervalo, por lo que estamos usando funciones distintas de cero como $ f (x) $ evaluadas en $ x_0 $. Estas tres propiedades también destacan la importancia de las funciones delta de Dirac en distribuciones normales y de probabilidad.

A partir de estas propiedades, también podemos ver la importancia de las funciones delta de Dirac en estadística avanzada, mecánica cuántica, etc. La función delta de Dirac siempre tiene una amplia gama de propiedades importantes, pero por ahora centrémonos en aplicar las funciones delta de Dirac y veamos cómo podemos usarlas junto con las transformaciones de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial.

¿Cómo utilizar la función delta de Dirac en ecuaciones diferenciales?

Podemos usar la función delta de Dirac para resolver ecuaciones diferenciales relacionando nuestra comprensión de las funciones delta de Dirac y las transformaciones de Laplace. Primero, establezcamos la forma general de la transformada de Laplace de la función delta de Dirac.

begin {alineado} mathcal {L} { delta (x – x_0) } & = int_ {0} ^ { infty} e ^ {- st} delta (x – x_0) phantom {x } dt \ & = e ^ {- como} end {alineado}

Tenga en cuenta que nuestras condiciones para las transformaciones de Laplace deben mantenerse, por lo que $ a> 0 $. Aquí hay algunos ejemplos de cómo podemos aplicar esta fórmula y para ser consistentes con nuestras notaciones de la transformada de Laplace usaremos $ t $ en lugar de $ x $ en la función delta de Dirac.

begin {alineado} mathcal {L} { delta (t + 6) } & = mathcal {L} { delta (t – -6) } \ & = e ^ {6s} fin {alineado}

begin {alineado} mathcal {L} {3 delta (t – 4) } & = 3 mathcal {L} { delta (t – 4) } \ & = 3e ^ {- 4s } end {alineado}

begin {alineado} mathcal {L} {- 2 delta (t +8) } & = -2 mathcal {L} { delta (t – -8) } \ & = – 2e ^ {8s} end {alineado}

Ahora, al combinar esto con nuestras fórmulas anteriores de la transformada de Laplace, ahora podemos usar estos dos conceptos para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Antes de trabajar en un ejemplo, observemos primero las funciones de transformación de Laplace para $ f ^ { prime}
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