Grado en álgebra

Significado de álgebra de grado

El álgebra de grado es la potencia más alta de cualquier expresión polinomial cuando se representa en su forma estándar. Un polinomio es el suma Dónde diferencia entre dos o más expresiones algebraicas que tienen diferentes exponentes. Para diferenciar polinomios, usamos álgebra de grado. La potencia más alta de una variable es el grado en cualquier expresión.

Potencias en orden ascendente

Figura 1 – Potencias de variables en orden ascendente

Representación del grado como máxima potencia

Figura 2 – La variable con mayor potencia representa Grado

La importancia del grado de una expresión se puede resumir de la siguiente manera:

  1. Podemos encontrar el homogeneidad de cualquier expresión polinomial encontrando el grado de cada término.
  2. los subtipos de polinomios se definieron según el grado.
  3. El grado de una expresión nos permite saber cuántas soluciones posibles se pueden calcular.
  4. dibujando un cuadro usamos este concepto para obtener resultados precisos.

Cálculo del grado de una expresión

Entendamos mejor este concepto mirando la siguiente expresión:

[ 6x^2 + 2x^3 + 1]

Para encontrar el grado de esta expresión, combinamos todos los términos similares que pueden ser determinados por sus variables. Después de eso, organizaremos todos estos términos en Orden descendiente para nuestra comodidad. Para encontrar el grado, se deben ignorar todos los coeficientes porque son irrelevantes para encontrar el grado de un polinomio.

[ 2x^3 + 6x^2 + 1 ]

Una vez hecho esto, podemos enumerar lo siguiente:

[2x^3 , text{ Value} = 3]

[6x^2, text{ Value} = 2]

[1, text{ Value} = 0]

Ahora la mayor potencia será el grado de esta expresión polinomial que es 3 en este caso

Ahora, para encontrar el grado de esta expresión, sumaremos los exponentes:

3 + 2 + 1 = 6

El grado global de esta expresión es por tanto 6.

Para profundizar en nuestro conocimiento, ahora encontraremos el grado para polinomios multivariantes. Polinomios multivariantes se definen como tales tipos de polinomios donde hay más de una variable en una expresión. En tal caso, sumamos los exponentes donde cada exponente será considerado como un nombre completo.

Considere el siguiente ejemplo:

[ 4x^4y^2 + 7x^3y^2 – 34 ]

En esta expresión, vemos 2 variables, x e y. Entonces encontraremos el grado sumando cada variable en un término para encontrar el grado total. Se puede decir que:

[4x^4y^2 , text{ Value}= 6]

[7x^3y^2, text{ Value} = 5]

[34, text{ Value} = 0]

El grado de esta expresión polinomial es por tanto 6.

Grado de cero y polinomios constantes

Cuando todos los coeficientes de un polinomio son cero, hablamos de polinomio nulo. Si tenemos que abordar un polinomio nulo en una expresión, lo consideramos indefinido o su valor se establece en -1.

Polinomios constantes son los términos de cualquier expresión que no contienen variables con ellos y tienen valores constantes. Como no hay variable, consideramos que su potencia es igual a cero.

[ f(x) = 2 ]

Su forma polinómica será:

[ f(x) = 2x^0 ]

Ilustrar el proceso de búsqueda de títulos

Ahora comprendamos conceptos de álgebra de grado a través de un formato pictórico. Considerando la siguiente expresión:

[ 7x^3 + 4x^2 + 5 ]

En esta expresión, el grado algebraico será el exponente de mayor valor. Para ello seguiremos los mismos pasos que son; ignorando los coeficientes, ordenando todos los términos en orden descendente y encontrando el grado de la expresión.

Grado en una expresión representada por círculos

Figura 3 – Valores exponenciales de una expresión (los círculos grandes representan la mayor potencia)

En esta figura, hemos representado el valor de cada grado por el tamaño de un círculo para una mejor comprensión. Podemos ver que el primer término tiene el grado algebraico y está representado por el círculo más grande con respecto al número 5 que tiene el círculo más pequeño, lo que significa que tiene el valor del exponente más pequeño.

Si profundizamos en las multivariables, también podemos encontrar su grado siguiendo los mismos métodos. Veamos el siguiente ejemplo:

[ a^3b^2 + a^3b^3 + a^2b^2 + a^2b ]

En este ejemplo, sumaremos las potencias de a y b para obtener el valor del exponente completo. El término con mayor valor de exponente será el grado de la expresión.

Grado de polinomios multivariados

Figura 4 – Valores exponenciales de polinomios multivariados (el círculo más grande representa mayor grado)

Esta figura muestra el tamaño de cada término en función del valor de su exponente. El término con el valor más alto es:

[a^3b^3 ]

El grado de esta expresión es por tanto 6.

Ejemplos Resueltos de Álgebra de Grados

Ejemplo 1

El maestro de matemáticas de Josh le dio tareas adicionales para mejorar sus calificaciones. Ayúdalo a encontrar el grado de cada expresión para que pueda tener éxito.

[ 7x^6 + 13x^2 + x^3 + 4x^5 + 1 ]

[ 3x^2 + 3y^3 + 3z^4 + 3x^5 + 3 ]

[ 7x + 13y + 1 ]

La solución

En estas expresiones, el grado se puede encontrar siguiendo los mismos métodos.

  1. El grado de esta ecuación es 6
  2. El grado de esta ecuación es 5
  3. El grado de esta ecuación es 0

Ejemplo 2

Resuelve y explica la siguiente expresión para hallar su grado.

[ 8x^2 + 7x^3 + 2x^2 + 4x^5 + 5x^3 + 3 ]

La solución

Primero ordenaremos los términos de acuerdo a sus valores exponenciales

[ 8x^2 + 2x^2 + 7x^3 + 5x^3 + 4x^5 + 3 ]

Luego agruparemos y resolveremos los términos que tienen los mismos valores exponenciales

[ (8x^2 + 2x^2) + (7x^3 + 5x^3) + 4x^5 + 3 ]

[ 10x^2 + 12x^3 + 4x^5 + 3 ]

Ahora ignoraremos todos sus coeficientes para encontrar el grado

[ x^2 + x^3 +x^5 + 3 ]

De esta expresión, podemos decir que el grado algebraico es 5.

Ejemplo 3

Encuentra el grado de la siguiente expresión y explica tu respuesta.

[ x^2 + 2x^3 +x^6 ]

La solución

El grado de esta expresión es 6. El grado de una expresión debe ser siempre de variable positiva y nunca de variable negativa.

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.