Incremento – Definición, Ilustraciones y Ejemplos

El término incremento describe la cambios positivos en valores variables. En términos simples, representa la operación aritmética de la suma. Hay un Valor original (el primer sumando) y el valor que aumenta (la segunda adenda). Este último es el incremento, y el resultado final es la suma de los dos.

valor original + incremento = nuevo valor mayor

Considera que tienes dos manzanas. Un incremento de una manzana le daría tres manzanas, como se muestra a continuación:

Cultivar manzanas es como sumarlas

Figura 1 – Incrementando algunas manzanas. ¡Incrementar es simplemente agregar cosas!

Por lo general, verá que se usa para representar pequeños aumentos. Ganar es otro término que significa lo mismo, pero la mayoría de la gente lo usa para mostrar una Una gran cantidad cambiar (como la ganancia de los amplificadores de guitarra).

El símbolo delta “$Delta$” indica un cambio de valor y, por lo tanto, se utiliza para representar incrementos. Por ejemplo, si la variable es Xentonces $boldsymbolDelta$X representa el incremento tal que el resultado es x + $símbolo en negritaDelta$X.

decrementos

decrementos son lo opuesto a los incrementos: muestran pequeños cambios negativos en valores. En otras palabras, un decremento representa el valor sustraído de una cierta cantidad inicial.

valor original – decremento = nuevo valor más pequeño

Considere el mismo ejemplo de manzana que antes:

Decrementar manzanas es como restarlas

Figura 2 – Decrementar es lo opuesto a incrementar – ¡restar cosas!

Así, un cambio en el valor de una variable puede ser un aumento o una disminución. Un decremento está representado por X- $símbolo en negritaDelta$X.

Algunos ejemplos prácticos usando incrementos

Dado que los incrementos son pequeñas adiciones a un valor original, considere conteo único. Cuando contamos 1, 2, 3, simplemente estamos incrementando en 1 para cada entrada posterior. Por lo tanto, si comenzamos en 1 (primera entrada), el siguiente es 1 + 1 = 2 (segunda entrada). El número después de 2 es 2 + 1 = 3 (tercera entrada), y así sucesivamente.

Ahora considere el conjunto de números pares positivos {0, 2, 4, 6, 8, …}. Aquí el número de entrada x$_mathsf{i+1}$ = x$_mathsf{i}$ + $Delta$ x donde $Delta$x = 2. Por lo tanto, tenemos un incremento de 2 para cada entrada subsiguiente en esta secuencia.

Ahora suponga que desea comprar boletos para una feria. los Precio inicial para una sola persona es $15. Sin embargo, hay un oferta familiar para hasta cinco miembrosde modo que por cada miembro adicional solo tendrás que pagar $5. Lo ilustramos a continuación:

Paquete familiar Fair Tickets con costos adicionales

Figura 3 – Oferta familiar de entradas de feria en forma de recargos.

Así, cada miembro adicional de la familia Seguro $10 utilizando el cupón familiar. Si cada persona comprara un boleto por separado, el costo de cinco boletos sería 5 x $15 = $75. Con el oferta familia de cinco miembrostodos disfruten de la feria con solo $35, economía $75 – $35 = $40!

Incrementos en funciones

Considere una línea con pendiente igual a my intersección igual a c. La ecuación de la recta es entonces:

y = mx + c

Si x es la única variable, entonces y es una función de x:

y = f(x)

Suponga que desea dibujar la línea. Para dibujar una línea a mano, solo necesitamos dos puntos en ella. Por ejemplo, podría evaluarlo como x=1 y x=2 (incremento de 1), o x=1 y x=3 (incremento de 2), y obtendría la misma fila.

Matemáticamente, podemos representar esto con incrementos:

y = f(x) $to$ y = f(x + $símbolo en negritaDelta$X)

y = mx + c $to$ y = m(x + $símbolo en negritaDelta$x) + c

Dibujar curvas de función

¿Qué pasaría si quisieras dibujar un camino más complejo? curva? Considera la función f(x) = x$^mathsf{2}$, que representa una curva exponencial.

El plan es evaluar la función para incrementos constantes de x. Esto nos da un montón de puntos en el gráfico; juntarlos nos da una estimación aproximada de la forma de la curva. Matemáticamente, si tuviéramos que trazar la curva con n puntos, entonces:

[ begin{aligned} p_1: {}&f(x) = x^2 \ p_2: {}&f(x + Delta x) = (x + Delta x)^2 \ p_3: {}&f(x + 2Delta x) = (x + 2Delta x)^2 \ &!!!!!!!!!vdots \ p_n:{}&f(x + nDelta x) = (x + nDelta x)^2 end{aligned} ]

Tratemos de trazar la curva f(x) = y = sin(x) usando este enfoque. Considere el intervalo [-90, 90] en grados, e incremente en 15 grados para cada punto de la curva. Entonces, tendremos n = 13 puntos en la curva:

[ begin{aligned} p_1: {}&sin(-90^circ) = -1  \ p_2: {}&sin(-75^circ) = -0.9659 \ p_3: {}&sin(-60^circ) = -0.866 \ &!!!!!!!!!vdots \ p_{11}:{}&,,,,,sin(60^circ) = 0.866 \ p_{12}:{}&,,,,,sin(75^circ) = 0.9659 \ p_{13}:{}&,,,,,sin(90^circ) = 1 end{aligned} ]

Trazándolos, obtenemos el siguiente gráfico:

Trace la curva de sen x usando incrementos

Figura 4 – La curva y = sin(x) evaluándola en incrementos constantes de 15 grados y uniendo todos los resultados con una línea recta.

Este enfoque es una tarea a la mano, pero calculadoras gráficas y otras herramientas son rápidas y nos dan una trama en poco tiempo.

Curva real de sen x trazada por geogebra

Figura 5 – Curva y = sen(x) de Geogebra.

Un ejemplo de variables de funciones incrementales

Considere la función algebraica f(x, y) = x + 2xy + y. Encuentre la expresión si x e y se incrementan en 2.

La solución

Necesitamos encontrar el valor de la función para un incremento de 1 en ambas variables. Entonces, si $Delta$x = $Delta$y = 2, entonces:

f(x, y) $to$ f(x + $Delta$x, y + $Delta$y) = f(x+2, y+2)

Reemplazar x = x + 2 y y = y + 2 en la expresión original:

f(x + 2, y + 2) = (x + 2) + 2(x + 2)(y + 2) + (y + 2)

Expansión el lado correcto :

f(x + 2, y + 2) = x + y + 4 + 2(xy + 2x + 2y + 4)

f(x + 2, y + 2) = x + y + 4 + 2xy + 4x + 4y + 8

f(x + 2, y + 2) = 5x + 5y + 2xy + 12

Este es el resultado deseado.

Todos los dibujos matemáticos e imágenes fueron creados con GeoGebra.