La base de S es una región elíptica con curva límite 9x^2+4y^2=36. Las secciones transversales perpendiculares al eje x son triángulos rectángulos isósceles con una hipotenusa en la base. Encuentre el volumen del sólido.

1658481116 SOM Questions and Answers

Como se muestra en la Figura 1, la línea de corte es la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles como se muestra en la pregunta. Entonces podemos calcular la longitud del lado del triángulo rectángulo isósceles. La longitud del lado $b$ del triángulo rectángulo viene dada por el teorema de Pitágoras:

[ b^2 + b^2 = h^2 ]

Simplificar:

[ b = dfrac{h}{sqrt{2}} ]

Usamos la misma variable $b$ para ambos lados del triángulo porque en un triángulo rectángulo isósceles, la perpendicular y la base tienen la misma longitud.

Isocelels Right Traingle 1

Figura-2: Triángulo rectángulo isósceles

El área del triángulo está dada por:

[ A = dfrac{1}{2} b^2 ]

Sustituyendo el valor de $b$, obtenemos:

[ A = dfrac{h^2}{4} ]

Como se muestra en la Figura 1:

[ h = 2y ]

Sustituyendo este valor en la ecuación del área anterior, obtenemos:

[ A = dfrac{(2y)^2}{4} ]

[ A = y^2 ]

Al reorganizar la ecuación de elipse estándar, podemos encontrar el valor de $y$, que viene dado por:

[ y^2 = 9 – dfrac{9}{4} x^2 ]

Sustituyendo este valor anterior, obtenemos:

[ A = 9 – dfrac{9}{4} x^2 ]

Los resultados numéricos:

Integrando el área nos dará el volumen, el cual se da de la siguiente manera:

[ V = int^{2}_{-2} 9 – dfrac{9}{4} x^2 , dx ]

Simplificando esta ecuación nos dará:

[ V= 24 text{units$^{3}$} ]

Ejemplo:

La base de $S$ es una elipse con una curva límite $3x^2 +9y^2=27$. Dada el área de la elipse, $A=3 – x^2/3$ con secciones transversales perpendiculares al $eje x$ son triángulos isósceles rectángulos con una hipotenusa en la base. Encuentre el volumen del sólido.

Como el área de la elipse está dada, podemos encontrar directamente el volumen integrándolo sobre su región. Primero, necesitamos encontrar la intersección de la elipse con $x-axis$. Podemos calcular esto igualando $y=0$, que se convertirá en:

[ x = pm 3 ]

Podemos calcular el volumen del sólido $S$ integrando el área de la elipse, que viene dada por:

[ V = int^{3}_{-3} 3 – dfrac{x^2}{3} , dx ]

Resolviendo esta ecuación, obtenemos:

[ V= 12 text{units$^{3}$} ]