La densidad conjunta de xey es f(xy)=c(x^2-y^2)e^{-x}. Encuentre la distribución condicional de Y, dado X=x.

1658306715 SOM Questions and Answers

[ f(x, y) = c (x^2 – y^2) hspace{0.5in} 0 leq x lt infty, hspace{0.2in} -x leq y leq x ]

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar la distribución condicional dado función con un dato condición X=x.

La pregunta se basa en la función de densidad conjunta y distribución condicional Nociones. La distribución condicional es la probabilidad de un elemento seleccionado al azar de una población con ciertas características que queremos.

Respuesta experta

nos dan un función f(x, y), que es función de densidad conjunta con límites x e y. para encontrar el distribución condicional de la articulación función de densidad con la condición dada X = x, primero necesitamos encontrar el densidad marginal por X. El densidad marginal de X está dada por:

[ f_X(x) = int_{-x}^{x} f(x, y) , dy ]

[ int_{-x}^{x} f(x, y) , dy = int_{-x}^{x} c(x^2 – y^2) e^{-x} , dy ]

[ int_{-x}^{x} f(x, y) , dy = c e^{-x} int_{-x}^{x} (x^2 – y^2) , dy ]

[ int_{-x}^{x} f(x, y) , dy = c e^{-x} bigg{[} yx^2 – dfrac{y^3}{3} bigg{]}_{y=-x}^{y=x} ]

Sustituyendo el valor de $y$, obtenemos:

[ int_{-x}^{x} f(x, y) , dy = c e^{-x} bigg{[} Big{ big{(} (x)x^2 – dfrac{x^3}{3} big{)} – big{(} (-x)x^2 – dfrac{-x^3}{3} big{)} Big} bigg{]} ]

[ int_{-x}^{x} f(x, y) , dy = c e^{-x} bigg{[} Big{ dfrac{3x^3 – x^3}{3} – dfrac{-3x^3 + x^3}{3} Big} bigg{]} ]

[ int_{-x}^{x} f(x, y) , dy = c e^{-x} big{[} dfrac{2x^3}{3} – dfrac{-2x^3}{3} big{]} ]

[ int_{-x}^{x} f(x, y) , dy = c e^{-x} big[ dfrac{4x^3}{3} big] ]

[ f_X(x) = dfrac{4c e^{-x} x^3}{3} ]

Ahora podemos encontrar el distribución condicional de $Y$ con la condición dada $X=x$ usando la siguiente fórmula:

[ f_{ Y|X }( y|x ) = dfrac{f(x, y)} {f_X (x)} ]

[ f_{ Y|X } ( y|x) = dfrac{c (x^2 – y^2) e^{-x}} { dfrac{ 4c e^{-x} x^3}{3}} ]

[ f_{ Y|X } ( y|x) = dfrac{ 3c e^{-x} (x^2 – y^2)} {4c e^{-x} x^3}]

los constantes $c$ y $e^{-x}$ se cancelan entre sí y obtenemos:

[ f_{ Y|X } ( y|x) = dfrac{ 3 (x^2 – y^2)} {4x^3}hspace{0.5in} for x gt 0 hspace{0.2in} and -x leq y leq x ]

resultado numérico

los distribución condicional de función $Y$ con la condición dada $X=x$ se calcula de la siguiente manera:

[ f_{ Y|X } ( y|x) = dfrac{ 3 (x^2 – y^2)} {4x^3} ]

Ejemplo

Encuéntralo función de densidad marginal de $X$ por lo dado función de densidad de probabilidad conjunta.

[ f(x) = c e^{-x} dfrac{x^2}{2} hspace{0.5in} -y leq x leq y ]

los función de densidad de probabilidad conjunta se da, que es igual a $1$ como probabilidad total de toda función de densidad.

Para ser resuelto por función de densidad marginal, nosotros integrar la función en lo dado limites de $x$ como:

[ f(x) = int_{-y}^{y} dfrac{c e^{-x} x^2} {2} , dx ]

[ f(x) = dfrac{c e^{-x}} {2} Big[ x^2 +2x +2 Big]_ {-y}^{y} ]

Sustituyendo los valores de los límites en la ecuación, obtenemos:

[ f(x) = dfrac{c e^{-x}} {2} (2 y^2 + 2) ]

[ f(x) = c e^{-x} (y + 1) ]