La ecuación dada es $dy/dt=ay+by^2$, dibuje el gráfico como una función de $y$. Determine los puntos críticos y clasifique estos puntos asintóticamente estables o inestables.

1657318265 SOM Questions and Answers

Del problema que se presenta a continuación Dibuje la gráfica f(y) como una función de y, determine los puntos críticos y clasifique cada uno como asintóticamente estable o inestable. El truco es ¿cómo obtienes los puntos críticos?

$ dfrac{día}{dt}=ay + par^2$

El propósito de esta pregunta es encontrar el derivado de la expresión dada y dibujar las gráficas para diferentes puntos y estos puntos muestran que la expresión es asintóticamente estable o no.

Además, esta pregunta se basa en los conceptos del álgebra. los puntos críticos son los puntos donde la derivada es cero. los asíntota de una curva se define como una línea, es decir, la distancia entre la curva y la línea tiende a cero.

Respuesta experta:

Para la gráfica entre f(y) e y, supongamos a = 2 y b = 4,

[ dfrac{dy}{dt} = f(y) = ay + by^2 ]

[ = 2y + 4y^2 ]

Entonces el gráfico es el siguiente.

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Figura 1: Un gráfico entre f(y) y y

Para encontrar los puntos críticos, establecemos
[ f(y) = 0 ]

En consecuencia,

[ ay + by^2 = 0 ]

[ y(a + by) = 0 ]

Por lo tanto, los puntos críticos son los siguientes.

$y = 0$ y $y = dfrac{-a}{b}$

Para encontrar el punto de inflación, tomamos la segunda derivada de la ecuación,

[ dfrac{d^2y}{dt^2} = a dfrac{dy}{dt} + 2by dfrac{dy}{dt} ]

[ = (a + 2by)dfrac{dy}{dt} ]

[ = (a + 2by)(ay + by^2) ]

Por lo tanto, tenemos los siguientes puntos en los que la segunda derivada se vuelve cero.

$y = dfrac{-a}{2b}$, $y = 0$ y $y = dfrac{-a}{b}$

Sin embargo, sabemos que $y = 0$ y $y = dfrac{-a}{b}$ son la solución de la ecuación dada. Por lo tanto, los punto crítico es

$y = dfrac{-a}{2b}$

El gráfico anterior nos da la siguiente información.

$y$ aumenta, cuando;

$dfrac{dy}{dt} > 0$ para $y

$dfrac{dy}{dt} $0 para $y > $0

De este modo, concavidad cambia a $y = dfrac{-a}{2b}$

Por lo tanto, $y = 0$ es un punto inestable y $y = dfrac{-a}{b}$ es un punto estable.

Los resultados numéricos:

los puntos críticos son los siguientes.

$y = 0$ y $y = dfrac{-a}{b}$

Concavidad cambia a $y = dfrac{-a}{2b}$

$y = 0$ es un punto inestable y $y = dfrac{-a}{b}$ es un punto estable.

Ejemplo:

Resuelva la siguiente ecuación diferencial.

[ 2xy + 1 + (x^2 + 2y)y’ ]

La solución:

[ 2xy + (x^2 + 2y)y’ = 2xy + x^2y’ + 2yy’ + 1 ]

[ = dfrac{d}{dx}(x^2y + y^2) = -1 ]

[ = d(x^2y + y^2) = -dx ]

Por integrando en ambos lados tenemos,

[ x^2y + y^2 = -x + C ]

[ x + x^2y + y^2 = + C ]

Las imágenes se crean usando GeoGebra.