La función de densidad de probabilidad de x la vida útil de cierto tipo de dispositivo electrónico:

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La función de densidad de probabilidad $f(x)$ de una variable aleatoria $x$ se muestra a continuación, donde $x$ es el tiempo de vida de algún tipo de dispositivo electrónico (medido en horas):

[ f(x) =Bigg{begin{array}{rr} dfrac{10}{x^2} & x>10\ 0 & xleq 10 \ end{array}]

– Encuentre la función de distribución acumulativa $F(x)$ de $x$.

– Encuentra la probabilidad de que ${x>20}$.

– Encuentre la probabilidad de que de 6 de estos tipos de dispositivos, al menos 3 funcionen durante al menos 15 horas.

El propósito de la pregunta es la función de distribución acumulativa dada una función de densidad de probabilidad usando conceptos básicos de teoría de probabilidad, cálculo y variables aleatorias binomiales.

Respuesta experta

parte (a)

La función de distribución acumulativa $F(x)$ puede calcularse simplemente integrando la función de densidad de probabilidad $f(x)$ sobre $-infty$ a $+infty$.

Por $xleq10$,

[F(x) = P(Xleq x) = int_{-infty}^{10} f(u) du= 0]

Por $x>$10,

[F(x) = P(Xleq x) = int_{10}^{x} f(u) du= int_{10}^{x} frac{10}{x^2} du = 10 int_{10}^{x}  x^{-2} du]

[=10 |(-2+1) x^{-2+1}|_{10}^{x} = 10 |(-1) x^{-1}|_{10}^{x} = -10 |frac{1}{ x}|_{10}^{x} ]

[= -10 (frac{1}{x}-frac{1}{10}) = 1-frac{10}{x}]

De este modo,

[ F(x) =Bigg{begin{array}{rr} 1-frac{10}{x} & x>10\ 0 & xleq 10 \ end{array}]

Parte B)

Como $F(x) = P(Xleq x)$ y $P(x>a) = 1 – P(x leq a)$,

[ P(x>20) = 1 – P(x leq 20) = 1 – F(20) = 1 – bigg{1-frac{10}{20}bigg} = 1 – 1 + frac{1}{2} = frac{1}{20}]

parte c)

Para resolver esta parte, primero debemos encontrar la probabilidad de que un dispositivo funcione durante al menos 15 años, es decir, $P(x leq 15)$. Llamemos a esta probabilidad de éxito $q$

[q = P(x leq 15) = F(15) = 1-frac{10}{15} = frac{15 – 10}{15} = frac{5}{15} = frac{1}{3}]

Por lo tanto, la probabilidad de falla $p$ está dada por,

[p = 1 – q = 1 – frac{1}{3} = frac{2}{3}]

La probabilidad de éxito de k dispositivos de N se puede aproximar con una variable aleatoria binomial de la siguiente manera:

[f_K(k) = binom{N}{k} p^k q^{N-k}]

Usando la fórmula anterior, podemos encontrar las siguientes probabilidades:

[text{Probability of failure of $0$ devices out of $6$} = f_K(0) = binom{6}{0} bigg{frac{2}{3}bigg}^0 bigg{frac{1}{3}bigg}^6 = frac{1}{729} ]

[text{Probability of failure of $1$ devices out of $6$} = f_K(1) = binom{6}{1} bigg{frac{2}{3}bigg}^1 bigg{frac{1}{3}bigg}^5 = frac{4}{243} ]

[text{Probability of failure of $2$ devices out of $6$} = f_K(2) = binom{6}{2} bigg{frac{2}{3}bigg}^2 bigg{frac{1}{3}bigg}^4 = frac{20}{243} ]

[text{Probability of failure of $3$ devices out of $6$} = f_K(3) = binom{6}{3} bigg{frac{2}{3}bigg}^3 bigg{frac{1}{3}bigg}^3 = frac{160}{729} ]

resultado numérico

[text{Probability of success of at least $3$ devices} = 1 – f_K(0) – f_K(1) – f_K(2) -f_K(3)]

[= 1 – frac{1}{729} -frac{4}{243}- frac{20}{243}-frac{160}{729} = frac{496}{729} = 0.68]

Ejemplo

En la misma pregunta anterior, encuentre la probabilidad de que un dispositivo funcione durante al menos 30 años.

[P(x leq 30) = F(30) = 1-frac{10}{30} = frac{30 – 10}{30} = frac{20}{30} = frac{2}{3}]