La integral representa el volumen de un sólido. Describa el sólido. $piintlimits_0^1(y^4−y^8),dy$

  • La integral representa el volumen del sólido obtenido al rotar la región $R={{x, y}| 0leq yleq 1, y^4leq xleq y^2}$del plano $xy-$ alrededor del eje $x-$.
  • La integral representa el volumen del sólido obtenido al rotar la región $R={{x, y}| 0leq yleq 1, y^2leq xleq y^4}$del plano $xy-$ alrededor del eje $x-$.
  • La integral representa el volumen del sólido obtenido al rotar la región $R={{x, y}| 0leq yleq 1, y^4leq xleq y^2}$ del plano $xy-$ alrededor del eje $y-$.
  • La integral representa el volumen del sólido obtenido al rotar la región $R={{x, y}| 0leq yleq 1, y^2leq xleq y^4}$ del plano $xy-$ alrededor del eje $y-$.
  • La integral representa el volumen del sólido obtenido al rotar la región $R={{x, y}| 0leq yleq 1, y^4leq xleq y^8}$ del plano $xy-$ alrededor del eje $y-$.

Esta pregunta tiene como objetivo determinar el eje de rotación y la región en la que está acotado el sólido usando la integral dada para el volumen del sólido.

El volumen de un sólido se determina girando una región alrededor de una línea vertical u horizontal que no pasa por este plano.

Un disco es similar a un disco circular, pero tiene un agujero en el centro. Este enfoque se utiliza cuando el eje de rotación no es el límite de la región y la sección transversal es perpendicular al eje de rotación.

Respuesta experta

Dado que el volumen de una arandela se calcula utilizando tanto el radio interior $r_1 = pi r^2$ como el radio exterior $r_2=pi R^2$ y viene dado por:

$V=piintlimits_{a}^{b} (R^2 – r^2),dx$

Los radios interior y exterior de una arandela se escribirán en función de $x$ si es perpendicular al eje $x-$ y los radios se expresarán en función de $y$ si es perpendicular a $y -$ eje.

Entonces la respuesta correcta es (c)

Razón

Sea $V$ el volumen del sólido entonces

$V=piintlimits_0^1(y^4−y^8),dy$

$V=piintlimits_0^1[(y^2)^2−(y^4)^2],dy$

Entonces, por el método del disco

Eje de rotación $=y-$eje

Límite superior $x=y^2$

Límite inferior $x=y^4$

Por lo tanto, la región es el plano $xy-$

$ y^4leq xleq y^2$

$0leq yleq 1$

Ejemplos

Determine el volumen $(V)$ del sólido generado al rotar la región delimitada por las ecuaciones $y = x^2 +3$ y $y = x + 5$ alrededor del eje $x-$.

Como $y = x^2 +3$ y $y = x +5$, encontramos que:

$x^2+3=x+5$

$x^2-x= -3+5$

$x^2-x-2=0$

$x^2-2x+x-2=0$

$(x-2)(x+1)=0$

$x=-1$ o $x=2$

Así, los puntos de intersección de las gráficas son $(-1.4)$ y $(2.7)$

con $x +5 geq x^2 +3$ en el intervalo $[–1,2]ps

Exportación de Geogebra

Y ahora, usando el método del disco,

$V=piintlimites_{-1}^{2}[(x+5)^2-(x^2+3)^2],dx$

$=piintlimites_{-1}^{2}[(x^2+10x+25) -(x^4+6x^2+9)],dx$

$=piintlimites_{-1}^{2}[-x^4-5x^2+10x+16],dx$

$=piizquierda[-dfrac{x^5}{5}-dfrac{5}{3}x^3+5x^2+16xright]_ {-1}^{2},dx$

$=piizquierda[-dfrac{108}{5}+63right]ps

$V=dfrac{207}{5},pi$

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.