La propiedad distributiva de la igualdad establece que la igualdad es válida incluso después de la distribución.
Esta propiedad es importante para muchas pruebas aritméticas y algebraicas. También explica las operaciones matemáticas.
Antes de continuar con esta sección, asegúrese de haber revisado las propiedades generales de la igualdad.
Esta sección cubre:
- ¿Cuál es la propiedad distributiva de la igualdad?
- Propiedad distributiva de la igualdad Definición
- Inversa de la propiedad distributiva de la igualdad
- Distribución inversa
- Ejemplo de propiedad distributiva de igualdad
¿Cuál es la propiedad distributiva de la igualdad?
La propiedad distributiva de la igualdad declara que la igualdad se comprueba después de la distribución.
La distribución en matemáticas significa multiplicar un elemento por dos o más elementos agregados entre paréntesis.
En particular, la propiedad distributiva de la igualdad explica cómo funcionan la multiplicación y la suma en una situación como $ a (b + c) $ para números reales $ a, b, $ y $ c $.
Tiene aplicaciones en aritmética, álgebra y lógica. También allana el camino para que el algoritmo simplifique la multiplicación de pares. Este algoritmo, o método, a menudo se denomina FOIL.
No lo confunda con una distribución de probabilidad. Es un concepto separado que ayuda a explicar la probabilidad de ciertos eventos.
Propiedad distributiva de la igualdad Definición
Multiplicar una cantidad por la suma de dos términos equivale a sumar los productos de la cantidad original y de cada término.
La propiedad distributiva se puede generalizar aún más. Es decir, multiplicar una cantidad por la suma de dos o más términos es sumar los productos de la cantidad original y cada término.
Una forma más sencilla de decir esto es que la igualdad es válida después de la distribución de los términos.
En términos aritméticos, sean $ a, b, $ y $ c $ números reales. Después:
$ a (b + c) = ab + ac $.
La formulación más general es, sea $ n $ un número natural y $ a, b_1,…, b_n $ números reales. Después:
$ a (b_1 +… + b_n) = ab_1 +… + ab_n $
Inversa de la propiedad distributiva de la igualdad
Dado que esta propiedad de igualdad no se basa en la igualdad de términos, no existe un verdadero recíproco. La única formulación sería que, si la distribución no conserva la igualdad, entonces los términos no son números reales.
Distribución inversa
La operación inversa de distribución se llama factorización. Factorizar toma una suma de dos productos y lo convierte en un elemento multiplicado por la suma de otros dos términos.
Al igual que la distribución, la factorización también funciona en más de dos términos.
La propiedad distributiva de la igualdad puede considerarse como la propiedad de factorización de la igualdad. Es por la propiedad simétrica de la igualdad.
En otras palabras, si $ a, b, $ y $ c $ son números reales, entonces:
$ ac + ab = a (c + b) $
Ejemplo de propiedad distributiva de igualdad
Una prueba bien conocida que usa la propiedad distributiva de la igualdad es la prueba de que la suma de los números naturales $ 1 $ a $ n $ es $ frac {n (n + 1)} {2} $.
Esta evidencia se basa en la inducción. La inducción es un proceso en el que se prueba una declaración para un número natural específico, generalmente $ 1 o $ 2. Entonces se supone que el enunciado es verdadero para $ n $. La inducción muestra que si se supone que el enunciado es verdadero, se sigue que lo es para $ n + 1 $. Dado que todos los números naturales se relacionan entre sí sumando $ 1, la inducción muestra que un enunciado es verdadero para todos los números naturales.
En este caso, primero pruebe que la afirmación es verdadera cuando $ n = 1 $. Entonces, por sustitución:
$ frac {n (n + 1)} {2} = frac {1 (1 + 1)} {2} $
A través de la distribución, es:
$ frac {1 + 1} {2} $
Simplifique las devoluciones:
$ frac {2} {2} $
$ 1 $
Por lo tanto, cuando $ n = $ 1, la suma es $ 1. Esto es cierto porque, por reflexividad, 1 = 1.
Ahora, suponga que $ frac {n (n + 1)} {2} $ es cierto para $ n $. Tenemos que demostrar que esto es cierto para $ n + 1 $.
Si $ frac {n (n + 1)} {2} $ es la suma de $ 1 $ a $ n $, entonces la suma de $ 1 $ a $ n + 1 $ es $ frac {n (n + 1)} {2} + n + $ 1. La distribución simplifica esto al:
$ frac {(n ^ 2 + n)} {2} + (n + 1) $
Multiplica $ (n + 1) $ por $ frac {2} {2} $ para que se pueda sumar a $ frac {(n ^ 2 + n)} {2} $.
$ frac {(n ^ 2 + n)} {2} + frac {2 (n + 1)} {2} $
Rendimientos de distribución:
$ frac {(n ^ 2 + n)} {2} + frac {(2n + 2)} {2} $
La suma de los numeradores da:
$ frac {n ^ 2 + n + 2n + 2} {2} $
Que se simplifica por:
$ frac {n ^ 2 + 3n + 2} {2} $
Ahora reemplace $ n + 1 $ con $ n $ en la expresión $ frac {n (n + 1)} {2} $. Está:
$ frac {(n + 1) (n + 2)} {2} $
El método FOIL, probado en el Ejemplo 3 a continuación, revela que esto es igual a:
$ frac {n ^ 2 + 3n + 2} {2} $
Esto es igual a la suma de los números naturales de $ 1 $ a $ n + $ 1. Es decir, la fórmula es válida para $ n + $ 1. Entonces, es cierto para cualquier número natural, $ n $.
Ejemplos de
Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas relacionados con la propiedad distributiva de igualdad y sus soluciones paso a paso.
Ejemplo 1
Sean $ a, b, c, $ y $ d $ números reales. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
A. $ (b + c) a = ba + ca $
B. $ a (b + c + d) = ab + ac + ad $
C. $ a (b + c) + b (da) = ac + bd $
Solución
Las tres afirmaciones son verdaderas. Esto se debe a la propiedad distributiva de la igualdad.
En el primer caso, la conmutatividad indica que $ (b + c) a = a (b + c) $. Por lo tanto, el elenco sigue en pie. Entonces, $ (b + c) a = ba + ca $. Nuevamente, por conmutatividad, $ ba + ca = ab + ac $. Entonces $ (b + c) a = ab + ac $.
B también es cierto. Es una aplicación de la propiedad distributiva ampliada de la igualdad. La distribución de $ a $ a cada uno de los términos $ b $, $ c $ y $ d $ da $ ab + ac + ad $.
El último es más delicado porque requiere simplificación. La distribución da $ ab + ac + bd-ba $. Pero, reordenar los términos da $ ab-ba + ac + bd $. Dado que $ ab-ab = 0 $, es $ ac + bd $. Por lo tanto, $ a (b + c) + b (da) = ac + bd $ es verdadero.
Tenga en cuenta que el tercer ejemplo incluyó tanto la suma como la resta. Como la resta es equivalente a sumar un negativo, la distribución sigue siendo válida cuando se restan los términos entre paréntesis.
Ejemplo 2
Frank tiene una cocina comedor. La mitad de la cocina tiene pisos de cerámica y la otra mitad está alfombrada. Toda la habitación es un gran rectángulo.
Frank intenta averiguar el tamaño de la habitación. Primero, mide el ancho de la habitación a $ 12 pies. Luego mide la longitud de la sección de azulejos a $ 14 pies y la longitud de la sección alfombrada a $ 10 pies. Multiplica $ 12 times14 + 12 times10 $ para obtener $ 288 pies cuadrados.
La hija de Frank también mide los pies cuadrados de la cocina. Mide solo el ancho de la habitación a $ 12 pies y el largo a $ 24 pies. Multiplica para encontrar que el área es 12 $ times24 $ pies. Eso se simplifica a $ 288 pies cuadrados.
¿Por qué Frank y su hija encontraron el mismo dominio a pesar de usar dos métodos diferentes? ¿Qué propiedad de la igualdad explica esto?
Solución
Sea $ w $ el ancho de la habitación. Sea $ t $ la longitud de la sección de azulejos y $ c $ la longitud de la sección de alfombra. $ t + c = l $, la longitud de la pieza.
A continuación, Frank encontró los pies cuadrados de la habitación al encontrar los pies cuadrados de la sección de azulejos y los pies cuadrados de la sección alfombrada. Los sumó para encontrar el área total. En otras palabras, $ wt + wc = A $, donde $ A $ es el área total.
Su hija, sin embargo, acaba de calcular la longitud y el ancho de la habitación. Sus cálculos fueron $ w (t + c) = A $.
Frank y su hija encontraron la misma área debido a la propiedad distributiva de la igualdad. Es decir, no importa si multiplican el ancho por la suma de los dos largos o suman el producto del ancho con cada largo. De todos modos, la habitación cuesta $ 288 pies cuadrados.
Ejemplo 3
El método de multiplicar dos pares de pares se llama FOIL. Significa “primero, interior, exterior, último”.
Sean $ a, b, c, $ y $ d $ números reales. Entonces $ (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd $ por FOIL.
Demuestre que esto es cierto utilizando la propiedad de distribución de igualdad.
Solución
Empiece por pensar en $ (a + b) $ como un solo término. Entonces la propiedad de distribución indica que:
$ (a + b) (c + d) = (a + b) c + (a + b) d $
Entonces la conmutatividad dice que esto es igual a:
$ c (a + b) + d (a + b) $
Usando la distribución nuevamente, obtenemos:
$ ca + cb + da + db $
La reorganización de los términos da:
$ ac + anuncio + bc + bd $
Es decir, por la propiedad distributiva de igualdad, $ (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd $.
Ejemplo 4
Utilice la propiedad distributiva de la igualdad para verificar que las siguientes tres expresiones sean iguales.
- $ 4 (1 + 2 + 9) $
- $ 4 (3 + 3 + 3 + 3) $
- $ 4 (16-4) $
Solución
Tenga en cuenta que los términos entre paréntesis suman $ 12 $ en cada una de las tres expresiones. Por lo tanto, cada expresión se simplifica a $ 4 (12) = 4 times12 = $ 48.
La distribución también debería dar el mismo resultado.
En el primer caso, $ 4 (1 + 2 + 9) = 4 times1 + 4 times2 + 4 times9 = 4 + 8 + 36 = $ 48.
En el segundo caso, $ 4 (3 + 3 + 3 + 3) = 4 times3 + 4 times3 + 4 times3 + 4 times3 = 12 + 12 + 12 + 12 = $ 48.
Finalmente, $ 4 (16-4) = 4 times16-4 times4 = 64-16 = $ 48.
Entonces los tres se simplifican a $ 48.
Ejemplo 5
Sean $ a, b, c, d, $ y $ x $ números reales tales que $ a = b $ y $ c = d $. Sea $ x (ac) + x (db) + x = $ 0.
Simplifica la expresión. A continuación, resuelva $ x $.
Solución
Primero, distribuya.
$ x (ac) + x (db) + x = xa-xc + xd-xb + x $
Dado que la multiplicación es conmutativa, es:
$ ax-cx + dx-bx + x $
Dado que $ a = b $ y $ c = d $, la propiedad de sustitución dice que es igual a:
$ ax-bx + x $
Esto se simplifica aún más mediante:
$ x $
Por lo tanto, el lado izquierdo de la ecuación es $ x $ y el lado derecho es $ 0 $. Entonces, $ x = $ 0.
Problemas de práctica
- Sean $ a, b, c, $ y $ d $ números reales tales que $ a = b $. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
A. $ (ab) (a + b + c) = $ 0
B. $ -a (b + c) = – ab-ac $
C. $ (a + b) (c + d) = a ^ 2c + a ^ 2d $. - Una colcha tiene cuatro cuadrados. Explica usando la propiedad distributiva de la igualdad por qué medir el área de cada cuadrado y sumarlos es lo mismo que multiplicar el largo por el ancho.
- Demuestre la diferencia de los cuadrados. En otras palabras, demuestre que si $ a $ y $ b $ son números reales, entonces $ (a + b) (ab) = a ^ 2 – b ^ 2 $.
- Utilice la propiedad distributiva de la igualdad para verificar que $ 10 (9-2) = $ 70.
- Sean $ a, b, $ y $ x $ números reales tales que $ a = b $. Sea $ a (ab) + x = 1. $ Use la propiedad distributiva de la igualdad para encontrar el valor de $ x $.
Clave de respuesta
- A y B son verdaderas, pero C no lo es.
- La propiedad distributiva de igualdad y FOIL indican que $ (l_1 + l_2) (w_1 + w_2) = l_1w_1 + l_1w_2 + l_2w_1 + l_2w_2 $.
- FOIL indica que $ (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd $ para todos los números reales $ a, b, c, $ y $ d $. Por lo tanto, $ (a + b) (ab) = a ^ 2-ab + ba-b ^ 2 = a ^ 2 + 0-b ^ 2 = a ^ 2-b ^ 2 $.
- $ 10 (9-2) = 90-20 = $ 70 por propiedad distributiva.
- $ a (ab) + x = a ^ 2-ab + x $. Es $ a ^ 2-a ^ 2 + x $ según la propiedad distributiva. Es $ 0 + x = x $. Por lo tanto, el lado izquierdo es $ x $ y el lado derecho es $ 1. Entonces, $ x = $ 1.
