La propiedad reflectante de la igualdad: explicación y ejemplos

La propiedad reflectante de la igualdad: explicación y ejemplos

La propiedad reflexiva de la igualdad establece que todos los números reales son iguales a ellos mismos.

Si bien esta importante verdad puede parecer obvia, tiene aplicaciones de gran alcance en aritmética, lógica, informática y álgebra.

Antes de continuar con esta sección, asegúrese de consultar el artículo general sobre Propiedades de igualdad.

Esta sección cubre:

  • ¿Cuál es la propiedad reflexiva de la igualdad?
  • Relaciones de reflexividad y equivalencia
  • Propiedad reflectante de la igualdad Definición
  • Ejemplo de propiedad reflexiva de la igualdad

¿Cuál es la propiedad reflexiva de la igualdad?

La propiedad reflexiva de la igualdad declara que todos los números son iguales a ellos mismos.

Puede parecer increíblemente obvio, por lo que es fácil pensar que ni siquiera vale la pena mencionarlo.

Por el contrario, esta propiedad asegura que la igualdad esté bien definida para las pruebas. También es un buen punto de partida para muchas pruebas.

La palabra inglesa “reflexivo” proviene de la palabra latina “reflectere”, que significa “doblar hacia atrás” o “volver atrás”. La propiedad reflexiva de la igualdad significa que la igualdad “gira sobre sí misma”. Es decir, gira sobre sí mismo, como un reflejo.

Historia de la propiedad reflexiva de la igualdad

Euclides y Peano articularon diferentes versiones de la propiedad reflexiva de la igualdad en sus propias listas de axiomas.

Recuerde que los axiomas son declaraciones que no necesitan ser probadas. La reflexividad es un verdadero axioma en el sentido de que no se sigue inmediatamente de otros axiomas. Aunque parezca obvio, garantiza un rigor matemático. Por lo tanto, la mayoría de las listas de axiomas lo incluyen.

Euclides solo incluyó una versión del axioma. Peano, sin embargo, lo incluyó para todos los números naturales. Hoy en día, se reconoce que la reflexividad se aplica a todos los números reales.

Tenga en cuenta que aunque la reflexividad no se deriva de otros axiomas, se puede utilizar para inferir otras verdades comúnmente enumeradas como axiomas.

Relaciones de reflexividad y equivalencia

Las relaciones de equivalencia son relaciones matemáticas simétricas, reflexivas y transitivas. Es decir,

  • Si un elemento está vinculado a un segundo, el segundo también está vinculado al primero.
  • Además, todos los elementos están vinculados a sí mismos.
  • Si dos elementos están relacionados cada uno con un tercero, entonces los dos primeros están relacionados entre sí.

Dado que existen propiedades simétricas, reflexivas y transitivas de la igualdad, la igualdad es una relación de equivalencia. Otros ejemplos de relaciones de equivalencia incluyen similitud triangular y congruencia.

La inclusión de la propiedad reflexiva de la igualdad asegura que la igualdad esté bien definida como una relación de equivalencia. El concepto se utiliza en muchas pruebas. Por ejemplo, la reflexividad y la sustitución juntas demuestran la propiedad transitiva de la igualdad.

¿Por qué vale la pena mencionarlo?

No todas las relaciones son reflexivas. Por ejemplo, no todas las comparaciones son reflexivas. No hay un número real $ a $ para el cual $ a> a $ o $ a

La propiedad reflexiva de la igualdad también proporciona un buen punto de partida para las pruebas. Esto se debe a que comenzar con $ a = a $ o asumir $ a = a $ es útil para muchos tipos de prueba.

Propiedad reflectante de la igualdad Definición

La propiedad reflexiva de la igualdad establece que todos los números reales son iguales a ellos mismos.

Euclides incluyó una versión de esta propiedad en su definición del Concepto Común 4: “Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. No es exactamente lo mismo, pero es una articulación útil para propósitos geométricos.

Aritméticamente, sea $ a $ un número real. Después:

$ a = a $

No hay un reverso de esto fácilmente articulado. La contraposición es similar a la de las otras propiedades de igualdad. Más precisamente, si $ a $ y $ b $ son números reales como $ a neq b $, entonces $ b neq a $.

reflexive property

Ejemplo de propiedad reflexiva de la igualdad

Como Euclides incluyó una versión de la propiedad reflexiva de la igualdad, la usó en sus demostraciones. Un ejemplo famoso se encuentra en la Proposición 4. Esta prueba establece que dos triángulos con dos lados iguales y un ángulo común entre los lados son iguales.

El método que usa Euclid para hacer esto se llama “superposición”. No es un método de prueba preferido, pero utiliza principalmente Common Notion 4 para respaldarlo.

Example for reflexive property of equality

La prueba comienza con la hipótesis de que $ AB = DE $, $ AC = DF $ y $ angle BAC = angle EDF $.

Entonces Euclid usa “superposición” para colocar el triángulo $ DEF $ en $ ABC $ de modo que $ D $ se alinee con $ A $, $ E $ se alinee con $ B $ y $ F $ se alinee con $ C $.

Dado que $ B $ se alinea con $ E $ y $ C $ se alinea con $ F $, la línea $ BC $ se alinea con $ EF $. Por tanto, dado que son idénticos, Euclides afirma que tienen la misma longitud, invocando la noción común 4.

Luego encuentra que todo el triángulo $ ABC $ se alinea exactamente con $ DEF $. Usando la noción común 4, concluye que los dos son iguales.

La noción común 4 es solo una versión de la propiedad reflexiva, pero otras versiones prueban hechos fundamentales sobre la aritmética.

Tenga en cuenta que la superposición no era la vía de prueba preferida de Euclides. Además, aunque no declaró la propiedad transitiva de la igualdad, la utilizó en muchas pruebas. Esto tiene sentido ya que se deriva de las propiedades reflexivas y sustitutivas de la igualdad.

Ejemplos de

Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas que involucran la propiedad reflectante de la igualdad y sus soluciones paso a paso.

Tenga en cuenta que en muchos casos la propiedad reflexiva de la igualdad funciona mejor como punto de partida para una demostración.

Ejemplo 1

¿Cuál de lo siguiente debe ser verdad?

A. $ x $ = $ x $ para cualquier número real $ x $.

B. $ 7 = $ 7.

C. $ a + b + c = a + b + c $ para cualquier número real $ a, b, $ y $ c $.

Solución

Las tres afirmaciones son ciertas.

El primero es una simple aplicación de la propiedad reflexiva de la igualdad. Cualquier número real es igual a sí mismo.

Asimismo, dado que $ 7 $ es un número real, $ 7 = 7 $ mediante una aplicación básica de la propiedad simétrica de la igualdad.

Finalmente, dado que $ a, b, $ y $ c $ son números reales, $ a + b + c $ también es un número real. Por lo tanto, $ a + b + c = a + b + c $.

Ejemplo 2

Un atleta pone un peso de veinte libras y un peso de cinco libras en el lado izquierdo de una barra. Luego coloca una pesa de veinte libras y una pesa de cinco libras en el lado derecho de la barra. ¿Cuál es la relación entre el peso del lado izquierdo de la barra y el peso del lado derecho de la barra?

Solución

La propiedad simétrica de la igualdad establece que $ 20 = $ 20 y $ 5 = $ 5. El lado izquierdo tiene $ 20 + 5 = $ 25 libras. En el lado derecho, hay $ 20 + 5 = $ 25 libras. $ 25 = $ 25 también.

Por lo tanto, el peso en el lado izquierdo de la barra es igual al peso en el lado derecho de la barra. Esto está garantizado por la propiedad reflexiva de la igualdad.

Ejemplo 3

¿La propiedad reflexiva de la igualdad garantiza que si $ a $ y $ b $ son números reales, entonces $ a + b = b + a $?

Solución

Sean $ a $ y $ b $ números reales. La propiedad reflexiva de la igualdad establece que $ a = a $, $ b = b $, $ a + b = a + b $ y $ b + a = b + a $.

La propiedad conmutativa de la suma establece que $ a + b = b + a $. Esto no está garantizado por la propiedad reflexiva de la igualdad.

Ejemplo 4

Muestre que $ 2x + 3x = 3x + 2x $ para cualquier número real $ x $ que comience con $ 5x = 5x $.

Solución

Sea $ x $ un número real. La propiedad reflexiva de la igualdad establece que $ x = x $ y $ 5x = 5x $.

$ 5x = x + x + x + x + x $. Es posible agrupar los términos $ x $ en el lado derecho de diferentes formas.

$ x + x + x + x + x = 2x + 3x $

y

$ x + x + x + x + x = 3x + 2x $

Entonces, $ 5x = x + x + x + x + x = x + x + x + x + x = 5x $ por las propiedades reflexivas y simétricas de la igualdad. Por la propiedad de sustitución, $ 2x + 3x = 3x + 2x $.

Tenga en cuenta que esto es similar a la prueba de la propiedad transitiva de la igualdad utilizando la propiedad reflexiva de la igualdad y la propiedad de sustitución de la igualdad.

Ejemplo 5

Utilice la propiedad reflexiva de la igualdad para demostrar que $ 0 $ es la identidad aditiva.

Solución

Sea $ a $ un número real y $ b $ un número real tal que $ a + b = a $.

Esto significa que $ b $ es la identidad aditiva.

Tenga en cuenta que $ a = a $ por la propiedad reflexiva de igualdad. La propiedad de resta de igualdad indica que $ aa = aa $. Esto se simplifica a $ 0 = aa $.

Asimismo, dado que $ a + b = a $, la propiedad de resta de igualdad establece que $ a + ba = aa $.

La propiedad conmutativa de la suma establece que $ a + ba = a-a + b $. Esto se simplifica a $ b $.

El lado derecho de la ecuación se simplifica a $ 0. Entonces $ 0 + b = $ 0. En otras palabras, $ b = $ 0.

Entonces, $ 0 $ es la identidad aditiva.

Problemas de práctica

  1. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
    A. $ 18 = $ 18
    B. $ 5c + a = 5c + a $ para cualquier número real $ a $ y $ c $.
    C. $ b + b = a + b $ para cualquier número real $ a $ y $ b $.
  2. Un maestro tiene dos yardas fabricadas por la misma empresa. Ella no los modificó de ninguna manera. ¿Cómo se comparan las longitudes de los palitos de jardín entre sí? ¿Qué propiedad de la igualdad ilustra esto?
  3. Utilice la propiedad reflexiva de la igualdad para demostrar que para cualquier número real $ a $ y $ b $, $ ab = ab $.
  4. ¿Es 5 + 2 + 3 = 4 + 1 + $ 5? ¿Por qué o por qué no?
  5. ¿Existe un número real $ a $ para el cual $ a-1 = a $? ¿Por qué o por qué no?

Clave de respuesta

  1. La primera y la segunda afirmaciones son verdaderas por la propiedad reflexiva de la igualdad. Sin embargo, la tercera afirmación no es cierta. No hay ninguna estipulación de que $ a = b $, entonces $ b + b neq a + b $.
  2. Los dos palos de varilla tienen la misma longitud, 36 pulgadas. Entonces, como $ 36 = $ 36, ambas yardas tienen la misma longitud.
  3. Sean $ a $ y $ b $ números reales. Por lo tanto, $ ab $ también es un número real. Por tanto, $ ab = ab $ por la propiedad reflexiva de la igualdad. CQFD.
  4. Tenga en cuenta que $ 5 + 2 + 3 = $ 10. $ 4 + 1 + 5 = $ 10. Dado que $ 10 = $ 10, la propiedad de sustitución de igualdad indica que $ 5 + 2 + 3 = 4 + 1 + $ 5.
  5. No existe tal número real. Una prueba por contradicción lo prueba.
    Suponga $ a-1 = a $. Entonces, la propiedad de la resta de igualdad indica que $ a-1-a = aa $. El lado izquierdo de esta ecuación se simplifica a $ -1 $, mientras que el lado derecho se simplifica a $ 0 $. Claramente $ -1 neq 0 $, por lo que no existe tal $ a $.

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