La propiedad simétrica de la igualdad establece que no importa si un término está a la derecha oa la izquierda del signo igual.
Esta propiedad básicamente indica que invertir los lados izquierdo y derecho de una ecuación no cambia nada. Este hecho es útil en aritmética, álgebra e informática.
Antes de continuar, asegúrese de revisar las propiedades de la igualdad.
Esta sección cubre:
- ¿Cuál es la propiedad simétrica de la igualdad?
- Definición de la propiedad simétrica de la igualdad
- Ejemplo de una propiedad simétrica de igualdad
¿Cuál es la propiedad simétrica de la igualdad?
La propiedad simétrica de la igualdad básicamente establece que ambos lados de una ecuación son iguales. Esto tiene sentido porque cuando algo es simétrico es igual en ambos lados.
La propiedad simétrica de la igualdad permite que el lado izquierdo de una ecuación se convierta en el lado derecho y viceversa. Establece la igualdad como relación de equivalencia en matemáticas.
Relaciones de equivalencia
Una relación de equivalencia es una relación matemática que es reflexiva, simétrica y transitiva. En otras palabras, si dos cosas están relacionadas por una relación de equivalencia, entonces:
- Las cosas tienen una relación de equivalencia consigo mismas.
- El orden de la relación de equivalencia no importa.
- Si dos cosas tienen una relación de equivalencia con una tercera, entonces tienen una relación de equivalencia entre sí.
Dado el término “relación de equivalencia”, tiene sentido que la igualdad sea una relación de equivalencia. Sin embargo, no es el único. La similitud y la congruencia en los triángulos son relaciones de equivalencia.
Aunque la propiedad simétrica de la igualdad parece obvia, hay otras relaciones que no funcionan de esta manera. Por ejemplo, es importante que un término esté a la derecha o izquierda de un signo mayor que.
Definición de la propiedad simétrica de la igualdad
La propiedad simétrica de la igualdad establece que si un primer término es igual a un segundo, entonces el segundo es igual al primero.
Esencialmente, la propiedad dice que no importa qué término está a la izquierda de un signo igual y qué término está a la derecha.
Aritméticamente, sean $ a $ y $ b $ números reales tales que $ a = b $. La propiedad simétrica de la igualdad establece que:
$ b = a $
Conversar
La inversa de la propiedad simétrica de la igualdad también es cierta. En otras palabras, si $ a $ y $ b $ son números reales como $ a neq b $, entonces $ b neq a $.
¿Es la propiedad simétrica de la igualdad un axioma?
Euclides no nombró la propiedad simétrica de la igualdad, pero la usó. Quizás esto se deba a que la propiedad simétrica de la igualdad parecía tan fundamental que no valía la pena mencionarla.
Giuseppe Peano compiló una lista de axiomas en el siglo XIX, cuando el estudio de la aritmética se estaba volviendo más formal. Su lista incluía la propiedad simétrica de la igualdad. Probablemente esto se deba al hecho de que la simetría, la reflexividad y la transitividad son necesarias para establecer una relación de equivalencia.
La propiedad simétrica, sin embargo, puede derivarse de la sustitución y las propiedades reflexivas de la igualdad. El ejemplo 3 hace exactamente eso.
Ejemplo de una propiedad simétrica de igualdad
La simetría puede parecer tan obvia que no importa. Sin embargo, el lenguaje cotidiano ilustra una situación importante en la que no se aplica la propiedad simétrica de la igualdad. Esto demuestra que no debe darse por sentado.
Normalmente, “es” se traduce como “=” al convertir el habla en declaraciones matemáticas.
Se podría decir que si es brócoli, entonces es verde. Sin embargo, esto no funciona al revés. Si es verde, no es brócoli.
En este caso, el $ neq $ brócoli verde. En cambio, el brócoli verde $ Rightarrow $. Esto se lee como “el brócoli implica verde”.
Por tanto, la simetría no debe darse por sentada. Las implicaciones y las comparaciones (mayor que, menor que) son todos ejemplos de relaciones que solo funcionan en una dirección.
Ejemplos de
Esta sección cubre problemas comunes que utilizan la propiedad simétrica de la igualdad y sus soluciones paso a paso.
Ejemplo 1
Sean $ a, b, c $ y $ d $ números reales tales que $ a = b $ y $ c = d $. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
A. $ b = a $
B. $ d = c $
C. $ bc = ac $
Solución
Las dos primeras declaraciones por la propiedad simétrica. El tercero es cierto por las propiedades de la simetría y la multiplicación.
La propiedad simétrica indica que si $ a = b $, entonces $ b = a $. Asimismo, si $ c = d $, entonces $ d = c $.
Si $ a = b $ y $ c $ es un número real, entonces $ ac = bc $. Esto es cierto de acuerdo con la propiedad de multiplicación de la igualdad. Entonces, la propiedad simétrica indica que $ bc = ac $ también.
Ejemplo 2
La distancia de la Tierra a Marte es de 232,54 millones de millas. ¿Qué tan lejos está Marte de la Tierra? ¿Qué propiedades de la igualdad justifican esto?
Solución
La distancia de la Tierra a Marte es de 232,54 millones de millas. Según la propiedad simétrica de la igualdad, la distancia de Marte a la Tierra es la misma. También serán 232,54 millones de millas.
¿Por qué?
La propiedad simétrica de la igualdad establece que si $ a $ y $ b $ son números reales tales que $ a = b $, entonces $ b = a $.
La distancia de la Tierra a Marte es igual a la distancia de Marte a la Tierra. Entonces, la distancia de Marte a la Tierra es igual a la distancia de la Tierra a Marte.
La propiedad transitiva de la igualdad dice que $ a, b, $ y $ c $ son números reales. Si $ a = b $ y $ b = c $, entonces $ a = c $.
Tenga en cuenta que la distancia de la Tierra a Marte es 232,54 millones de millas, y la distancia de Marte a la Tierra es igual a la distancia de la Tierra a Marte. Por lo tanto, la propiedad transitiva de la igualdad establece que la distancia de Marte a la Tierra también será de 232,54 millones de millas.
Ejemplo 3
Utilice la sustitución y las propiedades reflexivas de la igualdad para derivar la propiedad simétrica de la igualdad.
Solución
La propiedad de sustitución de la igualdad dice que $ a $ y $ b $ son números reales tales que $ a = b $. Entonces $ a $ puede reemplazar $ b $ en cualquier ecuación. La propiedad reflexiva de la igualdad establece que para cualquier número real $ a $, $ a = a $.
$ a = b $ se da. La propiedad reflexiva de la igualdad establece que $ b = b $.
La propiedad de sustitución indica entonces que $ a $ puede reemplazar $ b $ en cualquier ecuación. Entonces, como $ b = b $, $ b = a $.
Pero esta es la propiedad simétrica de la igualdad. Por tanto, la propiedad simétrica de la igualdad es deducible de las propiedades de sustitución y reflexivas.
Ejemplo 4
La propiedad de la suma de igualdad dice que $ a, b, $ y $ c $ son números reales tales que $ a = b $. Entonces $ a + c = b + c $. Utilice la propiedad simétrica de la igualdad para encontrar una formulación equivalente de esta propiedad.
Solución
Recuerde que la propiedad simétrica de la igualdad dice que si $ a $ y $ b $ son números reales y $ a = b $, entonces $ b = a $.
La última parte de la propiedad de suma de igualdad indica que $ a + c = b + c $. Recuerde que la propiedad simétrica de la igualdad permite invertir los lados izquierdo y derecho de la ecuación. Entonces, si $ a + c = b + c $, entonces $ b + c = a + c $.
Entonces, otra expresión es $ a, b, $ y $ c $ números reales como $ a = b $. Entonces $ b + c = a + c $.
Ejemplo 5
Sea $ x $ un número real tal que $ 7 = x $. Utilice las propiedades simétricas y de sustitución de la igualdad para demostrar que $ 35 = 5x $.
Solución
Se da que $ 7 = x $. Por la propiedad de sustitución de la igualdad, $ 7 $ puede reemplazar $ x $ en cualquier ecuación.
Pero, de acuerdo con la propiedad simétrica de la igualdad, si $ 7 = x $, entonces $ x = 7 $. La combinación de este hecho con la propiedad de sustitución significa que $ x $ también puede reemplazar $ 7 $ en cualquier ecuación.
Sabemos que $ 5 times7 = $ 35. Simétricamente, $ 35 = 5 times7 $. Dado que $ x $ puede reemplazar $ 7 $ en cualquier ecuación, $ 35 $ también es igual a $ 5 times x $.
Entonces, $ 35 = 5 x $ según sea necesario.
Problemas de práctica
- Sean $ a, b, c, $ y $ d $ números reales tales que $ a = b $. ¿Cuáles de los siguientes enunciados condicionales son verdaderos? ¿Por qué?
A. Si $ c = d $, entonces $ d + a = c + a $.
B. Si $ b = c $, entonces $ c = b $.
C.Si $ c = d $ y $ c = b $, entonces $ a = d $ - El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier número puede escribirse como el producto de uno o más números primos. Sean $ p_1, p_2, p_3 $ números primos tales que $ p_1 times p_2 times p_3 = k $. Demuestre que es posible escribir $ k $ como un producto de números primos.
- Encuentre otra formulación de la propiedad de igualdad de la multiplicación usando la propiedad de igualdad simétrica.
- $ x = 5x-2 $, ¿es $ z = x $? Usa las propiedades operacionales de la igualdad (suma, resta, multiplicación y división) para resolver $ x $ para ambos lados de la ecuación. ¿Qué propiedad de la igualdad ilustra esto?
- Utilice la propiedad simétrica de la igualdad para escribir una declaración equivalente a $ 4x + 10y = $ 37-14z.
Clave de respuesta
- Las tres afirmaciones son verdaderas. La primera es cierta debido a las propiedades simétricas y de suma de la igualdad. El segundo es cierto debido a la propiedad simétrica de la igualdad. Finalmente, lo último es cierto por las propiedades transitivas y simétricas de la igualdad.
- Dado que $ p_1 times p_2 times p_3 = k $, la propiedad simétrica de la igualdad indica que $ k = p_1 times p_2 times p_3 $. Por tanto, es posible escribir $ k $ como un producto de números primos.
- La propiedad de multiplicación de la igualdad establece que si $ a, b, $ y $ c $ son números reales tales que $ a = b $, entonces $ ac = bc $. La propiedad simétrica concluye que $ bc $ también es igual a $ ac $. Es decir, si $ a, b, $ y $ c $ son números reales tales que $ a = b $, entonces $ bc = ac $.
- Primero, mueva todos los valores de $ x $ al lado izquierdo de la ecuación. $ x-5x = 5x-2-5x $. Esto es $ -4x = -2 $. Dividiendo ambos lados por $ -4 $, obtenemos $ x = frac {1} {2} $.
También puede mover todos los términos $ x $ a la derecha y todos los términos numéricos a la izquierda. Entonces $ x-x + 2 = 5x-2-x + $ 2. Esto es $ 2 = 4x $. Luego, dividir ambos lados por $ 4 $ da $ frac {1} {2} = x $.
Dado que $ x = frac {1} {2} $ y $ frac {1} {2} = x $, esto ilustra la propiedad simétrica de la igualdad. - $ 37-14z = 4x + 10y $
