Ley del silogismo: explicación y ejemplos

Ley del silogismo: explicación y ejemplos

La ley del silogismo establece que si un primer evento involucra un segundo y el segundo involucra un tercero, entonces el primer evento involucra el tercer evento.

Esta ley es muy similar a la propiedad transitiva de la igualdad. Puede usarse con más de tres eventos y es importante para dar sentido a los argumentos lógicos en cualquier rama de las matemáticas.

Antes de continuar, asegúrese de revisar las declaraciones condicionales.

Esta sección cubre:

  • ¿Cuál es la ley del silogismo?
  • Razonamiento deductivo
  • Ejemplos de la ley del silogismo

¿Cuál es la ley del silogismo?

La ley del silogismo establece que es posible cortar etapas intermedias en el razonamiento deductivo. Es decir, si una primera cosa implica una segunda cosa y esta cosa implica una tercera, entonces se puede decir que la primera implica la tercera.

La Ley del Silogismo se puede usar con solo dos declaraciones con tres eventos, o se puede usar para cadenas de cientos de declaraciones. Solo requiere que todos los enunciados condicionales intermedios sean verdaderos para que el enunciado corto sea verdadero.

Recuerde que un antecedente es la parte de una declaración condicional que sigue a la palabra “si”. La consecuencia es la parte que sigue a la palabra “eso”. En un silogismo, la consecuencia de un enunciado es el antecedente de otro.

Dado que la verdad de un antecedente implica la verdad de una consecuencia en un enunciado condicional verdadero, tiene sentido encadenar los enunciados y cortar las partes intermedias.

Para dos declaraciones, en lógica formal, es:

Si $ P rightarrow Q $ y $ Q rightarrow R $, entonces $ P rightarrow R $.

Para las instrucciones $ n $ (donde $ n $ es un número entero mayor o igual a $ 2 $), esto es:

Si $ P_0 rightarrow P_1 $, $ P_1 rightarrow P_2 $,… y $ P_ {n-1} rightarrow P_n $, entonces $ P_0 rightarrow P_n $.

Si esto le suena familiar, debería hacerlo. Esto es muy similar a la propiedad transitiva de la igualdad, que establece que si una cosa es igual a una segunda y la segunda es igual a una tercera, entonces la primera es igual a la tercera.

Validez y fuerza de la evidencia

El razonamiento deductivo, el razonamiento que utiliza silogismos, se basa en la validez y la corrección. La evidencia sólida será necesariamente válida, pero no al revés. Idealmente, toda la evidencia será sólida.

Validez significa que la estructura lógica del argumento funciona. Es decir, es imposible que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. Pero aún puede suceder cuando las premisas no son correctas.

Aquí es donde entra la solidez. Un argumento fuerte es aquel con una estructura válida y premisas reales.

Ejemplos de la ley del silogismo

La ley del silogismo está presente en todos los ámbitos de la vida.

Por ejemplo, los políticos lo usan para obtener su voto. Dicen:

  • “Si me votan por un segundo mandato, tomaré decisiones como lo hice en mi primer mandato. “
  • “Si tomo decisiones como lo hice en mi primer mandato, ayudaré a las personas sin hogar. “
  • “Por lo tanto, si me votan, ayudaré a las personas sin hogar. “

También aparecen en la literatura infantil para mostrar causa y efecto. Un ejemplo particularmente famoso de esto sigue a un argumento circular. Es decir, sigue un argumento donde el evento final es el mismo que el primer evento.

Este ejemplo se llama “Si le das una cookie a un mouse”. Se trata de un niño que le da a un ratón una galleta que luego necesita leche. Luego, a través de una serie de otros eventos, termina teniendo sed, necesitando leche y, por lo tanto, necesitando otra galleta.

Los anunciantes también utilizan la ley del silogismo. Por ejemplo, pueden decir:

  • “Si usa nuestro producto, su cabello estará brillante”.
  • “Si tu cabello es brillante, tendrás muchos amigos”.
  • “Por lo tanto, si usa nuestro producto, tendrá muchos amigos”.

Así es como las marcas se asocian con los mensajes y sentimientos positivos, incluso cuando puede parecer exagerado.

Ejemplos de

Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas relacionados con la Ley del Silogismo y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

¿Puedes pensar en un argumento silogístico que sea válido pero no fuerte? Es decir, un argumento donde es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa pero donde las premisas no son verdaderas.

Solución

Hay un sinfín de ejemplos de esto. Esta solución analizará uno con taxonomía animal.

Considere las siguientes declaraciones:

1. Si es un pez, entonces es un reptil.

2. Si es un reptil, entonces es un mamífero.

3. Por tanto, si es un pez, entonces es un mamífero.

Esta estructura de argumento es válida porque la estructura de argumento no tiene fallas. En otras palabras, si $ P $ es “es un pez”, $ Q $ es “es un reptil” y $ R $ es “es un mamífero”, entonces esta estructura sigue la ley del silogismo. Es decir, $ P rightarrow Q $ y $ Q rightarrow R $ significan que $ P rightarrow R $.

Sin embargo, el problema aquí es que el argumento no es sólido. Esto se debe a que las premisas son incorrectas. Si algo es un pez, no es un reptil. Por ejemplo, considere un pez payaso. Asimismo, si algo es un reptil, no es un mamífero. Considere una pitón, por ejemplo.

Por tanto, la estructura es válida, pero el argumento no es fuerte.

Ejemplo 2

¿Puedes pensar en un argumento con una conclusión verdadera pero con una estructura inválida?

Solución

Esta vez se trata de encontrar una conclusión verdadera pero una forma inválida de llegar a ella. Considere otro argumento del reino animal.

  1. Si sabe nadar, es más pequeño que un gato.
  2. Si es más pequeño que un gato, entonces es un pez.
  3. Si es un pez, entonces puede nadar.

La conclusión aquí es cierta. El pez puede nadar.

Sin embargo, siguiendo el razonamiento, la Ley del Silogismo establece que la conclusión válida es “si sabe nadar, entonces es un pez”.

Esta afirmación es, por supuesto, falsa. Por ejemplo, las personas pueden nadar y las personas no son peces.

Entonces, el argumento válido no es sólido, pero el argumento inválido da una conclusión verdadera.

¿Porque es esto importante? En un argumento matemático, el proceso es tan importante como la conclusión. Usar un razonamiento correcto es la única forma de confiar en cualquier conclusión extraída.

Ejemplo 3

Utilice la ley del silogismo para llegar a una conclusión basada en las declaraciones dadas.

R. Todos los widgets son gadgets.

B. Si es una cosa, entonces es un widget.

Solución

En primer lugar, es necesario convertir la primera instrucción en una instrucción condicional. Se convierte en “Si es un widget, entonces es un gadget”.

Si bien A y B ahora tienen un evento común (widget), no están en el orden correcto usado para la ley del silogismo. Entonces, cámbielos. Las nuevas declaraciones son:

R. Si es una cosa, entonces es un widget.

B. Si es un widget, entonces es un gadget.

Ahora, usando la ley del silogismo, la conclusión es “si es una cosa, entonces es un truco”.

Estas declaraciones condicionales no tienen sentido, por lo que es imposible determinar si son verdaderas o falsas.

Ejemplo 4

Usa la Ley del Silogismo para sacar conclusiones basadas en las siguientes declaraciones.

R. Si es un elefante volador, entonces tiene rayas.

B. Si tiene rayas, entonces es una cebra.

C. Si es una cebra, no es un caballo.

D. Si no es un caballo, solo come galletas.

Solución

Hay una conclusión principal que se puede extraer de estas declaraciones, pero también hay varias otras.

La conclusión principal combina el primer evento con el último. Es decir, “si es un elefante volador, solo come galletas”.

Pero también es posible seleccionar otros eventos y concluir eventos posteriores. Estos son:

  • “Si es un elefante volador, entonces es una cebra”.
  • “Si es un elefante volador, entonces no es un caballo”.
  • “Si tiene rayas, entonces no es un caballo”.
  • “Si tiene rayas, entonces solo come galletas”.
  • “Si es una cebra, entonces solo come galletas”.

Tenga en cuenta que esto es en su mayoría absurdo. Hay algunas conclusiones reales (los elefantes voladores no son caballos y las cosas con rayas no son caballos). Pero las falsas premisas anteriores impiden que el argumento sea sólido a pesar de una estructura válida y conclusiones reales.

Ejemplo 5

¿Es válido este argumento? ¿Por qué o por qué no?

  1. Si es Kentucky, entonces es un estado estadounidense.
  2. Si es un estado estadounidense, entonces es América del Norte.
  3. Si está en América del Norte, entonces está en el hemisferio norte.
  4. Si bien se encuentra en el hemisferio norte, limita con al menos otros dos estados.
  5. Por lo tanto, si es Kentucky, limita con al menos otros dos estados.

Solución

Aquí, nuevamente, el argumento tiene una estructura válida y una conclusión verdadera. Todavía; no es sólido porque algunos de sus argumentos intermedios son falsos.

Esta estructura es válida porque $ P_0 rightarrow P_1 $, $ P_1 rightarrow P_2 $, $ P_2 rightarrow P_3 $, $ P_3 rightarrow P_4 $. Por lo tanto, $ P_0 rightarrow P_4 $. Esta es una aplicación básica de la ley del silogismo.

Sin embargo, la cuarta afirmación no es cierta. Hay estados en el hemisferio norte que limitan con menos de otros dos estados. Por ejemplo, Hawái no tiene fronteras terrestres.

Entonces el argumento es válido pero no fuerte.

Problemas de práctica

  1. Utilice la ley del silogismo para hacer lo siguiente en una declaración:
    R. Si hace buen tiempo, entonces está lloviendo.
    B. Si llueve, traeré mi paraguas.
  2. Utilice la ley del silogismo para hacer lo siguiente en una declaración:
    R. Si es un número primo mayor que dos, entonces es impar.
    B. Si es impar, entonces no es divisible por $ 2 $.
    C. Si no es divisible por $ 2 $, entonces es uno menos que un número par.
  3. Usa los opuestos de estas declaraciones y la ley del silogismo para hacer una nueva declaración condicional.
    R. Si es un cuadrado, entonces no es un triángulo.
    B. Si no es un triángulo, entonces no tiene tres lados.
  4. Jayla lee lo siguiente y dice que el argumento no es válido. Cual es su error?
    R. Si es un planeta del sistema solar, entonces tiene al menos seis lunas.
    B. Si tiene al menos seis lunas, no es la Tierra.
  5. Explique por qué esto es cierto pero no válido.
    R. Si es un mamífero, entonces no es un pez.
    B. Si no es un pez, entonces es un gato.
    C. Por lo tanto, si es un gato, entonces es un mamífero.

Clave de respuesta

  1. “Si hace buen tiempo, traeré mi paraguas”.
  2. “Si es un número primo mayor que dos, entonces es uno menos que un número par”.
  3. “Si es un triángulo, entonces no es un cuadrado” y “Si tiene tres lados, entonces es un triángulo. Por lo tanto, “si tiene tres lados, entonces no es un cuadrado”.
  4. El argumento es válido en la estructura, pero la primera afirmación no es verdadera. Por tanto, no es saludable.
  5. La conclusión es verdadera, pero no se sigue si se supone que las declaraciones anteriores son verdaderas.