Logaritmos de condensación: propiedades, explicación y ejemplos

Logaritmos de condensación: propiedades, explicación y ejemplos

Los logaritmos de condensación son útiles cuando se nos da una expresión logarítmica larga que se basa en bases similares. Esto nos ayuda a simplificar las expresiones en términos de tamaño y ahorrar espacio al combinar expresiones que comparten bases comunes.

La condensación de expresiones logarítmicas es el uso de diferentes propiedades logarítmicas para combinar diferentes términos logarítmicos en una sola cantidad.

Este artículo utiliza varios conceptos que hemos aprendido en el pasado, así que asegúrese de revisar esos temas sobre los logaritmos antes de sumergirse directamente en nuestro tema principal: los logaritmos condensados.

La siguiente sección te mostrará cómo los logaritmos de condensación son lo opuesto a los logaritmos de expansión.

¿Cómo condensar logaritmos?

Al condensar logaritmos, nuestro objetivo es comprimir las expresiones usando diferentes propiedades logarítmicas.

begin{alineado}color{azul} log_4 6 + 3log_4 x – 3log_4 y &Leftrightarrow color{verde} log_2 left(dfrac{6x^3}{y^3} right ) \ phantom{xxxxx} color{azul}text{Expandido} &Leftrightarrow color{verde} boldsymbol{text{Condensado}}end{alineado}

Por eso también la condensación de los logaritmos es la inversa de la expansión de las expresiones logarítmicas. El ejemplo anterior muestra cómo los dos procesos son opuestos entre sí.

Estas son algunas de las reglas útiles que podríamos necesitar para comprimir o condensar expresiones logarítmicas.

Nombre de la regla

expresión algebraica

Regla del producto

$log_b({color{azul} A}{color{verde} B}) = log_b {color{azul} A} + log_b {color{verde} B}$

Regla del cociente

$log_bleft(dfrac{color{azul} A}{color{verde} B}right) = log_b {color{azul} A} – log_b {color{verde} B}$

Regla del producto

$log_b {color{azul}A}^n = nlog_b {color{azul}A}$

regla de identidad

$log_b b = 1$

regla cero

$registro_b 1 = 0$

Para evitar sentirse abrumado con las diferentes propiedades logarítmicas, aquí hay algunos consejos útiles para buscar:

  • Cada vez que un factor esté fuera del logaritmo, vea si puede aplicar la regla de la potencia de inmediato.
  • Cuando combina los términos entre una operación de resta o suma, se aplica la regla de registro del cociente o del producto.
  • Simplifique $log_1$ o $log_b b$ usando cero o reglas de identidad.
  • La respuesta final es normalmente en términos de una expresión regular, así que verifique dos veces cuando le queden términos logarítmicos adicionales.

Los ejemplos a continuación le mostrarán tipos comunes de problemas que involucran la condensación de logaritmos.

Ejemplo 1

Empaqueta la expresión logarítmica $log_3 x + log_3y – log_3 z$ en un solo logaritmo.

Solución

Primero agrupemos los términos a sumar, luego condensemos usando la regla del producto de logaritmos.

begin{alineado}log_3 x + log_3y – log_3 z&= (log_3 x + log_3y )- log_3 z\&= log_3 xy – log_3 z color{verde} text{Regla del producto} end{alineado}

Para condensar aún más la expresión en un solo logaritmo, apliquemos la regla del cociente para los logaritmos.

begin{alineado}log_3 xy – log_3 z &= log_3 dfrac{xy}{z} color{verde} text{Regla del cociente}end{alineado}

Esto significa que $log_3 x + log_3y – log_3 z$ se puede condensar en $log_3 dfrac{xy}{z}$.

Ejemplo 2

Empaqueta la expresión logarítmica $2ln x – dfrac{1}{2} ln y$ en un solo logaritmo.

Solución

Podemos ver que hay coeficientes fuera de $ln$ – $2$ y $dfrac{1}{2}$, por lo que podemos usar la regla de la potencia para reescribir la expresión. También expresa $y^{frac{1}{2}} como $sqrt{y}$.

begin{alineado}2ln x – dfrac{1}{2} ln y&=ln x^2 – ln y^{frac{1}{2}} color{verde} text{ Regla de la potencia}\&=ln x^2 – ln sqrt{y} end{alineado}

Ahora nos quedamos con la diferencia entre los dos términos para condensar aún más esto aplicando la regla del cociente.

begin{alineado}ln x^2 – ln sqrt{y} &=ln dfrac{x^2}{sqrt{y}} color{verde} text{Regla del cociente}\ & =ln left(dfrac{x^2}{sqrt{y}} cdot dfrac{sqrt{y}}{sqrt{y}}right)\&= ln dfrac { x^2sqrt{y}}{y}end{alineado}

Los últimos pasos no son necesarios, pero solo le mostramos cómo se vería la expresión empaquetada una vez que se optimizara la expresión regular.

Esto significa que $2ln x – dfrac{1}{2} ln y$ es igual a $ln dfrac{x^2}{sqrt{y}}$ o $ln dfrac{x^ 2sqrt{y}}{y}$.

Ejemplo 3

Condensar la expresión logarítmica $dfrac{1}{4} log_4 x – 6log_4 y – 5log_4 z$ en un solo logaritmo.

Solución

Como cada término tiene coeficientes antes de $log$, podemos aplicar la regla de la potencia para condensar la expresión logarítmica. Luego podemos agrupar los dos últimos términos y aplicar la regla del producto para combinar los dos.

begin{alineado}dfrac{1}{4} log_4 x – 6 log_4 y – 5log_4 z &=log_4 x^{frac{1}{4}} – log_4 y^6 – log_4 z^5 color{vert} text{Regla de la potencia}\&=log_4 x^{frac{1}{4}} – (log_4 y^6 + log_4 z^5)\ & =log_4 x^{frac{1}{4}} – log_4 y^6z^5 color{verde} text{Regla del producto}end{alineado}

Podemos condensar aún más la expresión aplicando la regla del cociente. Tenga en cuenta que $x^{frac{1}{4}} = sqrt[4]{x}$ también.

begin{alineado}log_4 x^{frac{1}{4}} – log_4 y^6z^5 &= log_4 dfrac{x^{frac{1}{4}} }{y^ 6z^5}color{vert} text{Regla del cociente}\&= log_4 dfrac{sqrt[4]{x} {y^6z^5}end{alineado}

Entonces tenemos $dfrac{1}{4} log_4 x – 6 log_4 y – 5log_4 z = log_4 dfrac{sqrt[4]{x} }{y^6z^5}$.

Ejemplo 4

Empaqueta la expresión logarítmica $ln x- 3[ln (4x + 1)- ln (3x -2)]$ en un solo logaritmo.

Solución

Primero condensemos los términos entre paréntesis aplicando la regla del cociente. Luego aplicamos la regla de la potencia para que $3$ se convierta en una potencia de la nueva expresión empaquetada.

begin{alineado}ln x – 3[ln (4x + 1) – ln(3x -2)] &= ln x – 3lnleft(dfrac{4x + 1}{3x – 2}right)color{vert} text{Regla del cociente}\&=ln x – ln left (dfrac{4x + 1}{3x – 2}right)^3color{verde} text{Regla de potencia}end{alineada}

Podemos condensar aún más la expresión aplicando de nuevo la regla del cociente. Simplifique la expresión regular del interior para devolver la forma condensada final de la expresión logarítmica.

begin{alineado}ln x – lnleft(dfrac{4x + 1}{3x – 2}right)^3 &= ln dfrac{x}{left(dfrac{4x + 1 {3x – 2}right)^3} color{verde} text{Regla del cociente}\&= ln x cdot dfrac{(3x – 2)^3}{(4x + 1) ^ 3}\&= ln dfrac{x(3x – 2)^3}{(4x + 1)^3} end{alineado}

Esto significa que $ln x – 3[ln (4x + 1) – ln(3x -2)] =ln dfrac{x(3x – 2)^3}{(4x + 1)^3} $.

Ejemplo 5

Empaqueta la expresión logarítmica $dfrac{1}{3}[3log(x + 4) + log(x – 1) – log (x^2 -1)]$ en un solo logaritmo.

Solución

Avancemos y condensemos primero las expresiones entre paréntesis. Comencemos aplicando la regla de la potencia al primer término. Usa las reglas del cociente y del producto para comprimir los tres grupos de expresiones como se muestra a continuación.

begin{alineado}dfrac{1}{3}[3log (x + 4) + log(x – 1) – log (x^2 -1)] &= dfrac{1}{3}[log (x + 4)^3 + log(x – 1) – log (x^2 -1)] color{verde} text{regla de poder}\&= dfrac{1}{3}[log (x + 4)^3 (x – 1) – log (x^2 -1)] color{verde} text{Regla del producto}\&= dfrac{1}{3}left[log dfrac{(x + 4)^3 (x – 1)}{(x^2 – 1)}right] color{verde} text{Regla del cociente} end{alineada}

Podemos factorizar $x^2 -1$ usando la propiedad de la diferencia de dos cuadrados, $a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$. Cancela los factores comunes compartidos por el numerador y el denominador.

begin{alineado}dfrac{1}{3}izquierda[log dfrac{(x + 4)^3 (x – 1)}{(x^2 – 1)}right] &= dfrac{1}{3}izquierda[log dfrac{(x + 4)^3 (x – 1)}{(x – 1)(x + 1)}right]\&= dfrac{1}{3}izquierda[log dfrac{(x + 4)^3 cancel{(x – 1)}}{cancel{(x – 1)}(x + 1)}right] \&=dfrac{1}{3}registroizquierda[ dfrac{(x + 4)^3}{x + 1}right ]end{alineado}

Aplique la regla de la potencia para condensar aún más la expresión logarítmica. Usa la propiedad de la raíz, $x^{frac{1}{n}} = sqrt[n]{x}$.

begin{alineado}dfrac{1}{3}logleft[ dfrac{(x + 4)^3}{x + 1}right ] &= registro izquierda[ dfrac{(x + 4)^3}{x + 1}right ]^{frac{1}{3}} color{vert} text{regla de potencia}\&= log sqrt[3]{dfrac{(x + 4)^3}{x + 1}} end{alineado}

Podemos multiplicar el numerador y el denominador por $(x + 1)^2$ para simplificar la expresión dentro de $log$.

begin{alineado} log sqrt[3]{dfrac{(x + 4)^3}{x + 1}} &= log sqrt[3]{dfrac{(x + 4)^3}{x + 1} cdot dfrac{(x + 1)^2}{(x + 1)^2}}\&=log sqrt[3]{dfrac{(x + 4)^3(x + 1)^2}{(x + 1)^3}}\&= log dfrac{sqrt[3]{(x + 4)^3(x + 1)^2}}{x + 1} end{alineado}

Esto significa que $dfrac{1}{3}[3log (x + 4) + log(x – 1) – log (x^2 -1)]$ es igual a $log sqrt[3]{dfrac{(x + 4)^3}{x + 1}}$ o $log dfrac{sqrt[3]{(x + 4)^3(x + 1)^2}}{x + 1}$.

Ejemplo 6

Condensa la expresión logarítmica $2log_{9} 3 – 6log_{9} 3 + log_{9} left(dfrac{1}{243}right)$ en un solo logaritmo y luego encuentra su valor exacto .

Solución

Podemos aplicar la regla de la potencia para transferir los coeficientes a la expresión logarítmica. Reorganiza los términos para que luego podamos aplicar la regla del producto.

begin{alineado} 2log_9 3 – 6log_9 3 + log_9 left(dfrac{1}{243}right)&= log_9 3^2 – log_9 3^6 + log left( dfrac{1}{243}right) color{vert}text{Regla de la potencia}\&= log_9 3^2 + log left(dfrac{1}{243}right)- log_9 3^6\&= log_9 dfrac{3^2}{243} – log_9 3^6color{verde}text{Regla del producto}end{alineado}

Podemos condensar aún más la expresión aplicando la regla del cociente. Exprese $243$ como una potencia de $3$ y luego simplifique la expresión racional dentro del logaritmo.

begin{alineado} log_9 dfrac{3^2}{243} – log_9 3^6 &= log_9 dfrac{3^2}{(243)(3^6)} color{verde} text{Regla del cociente}\&=log_9 dfrac{3^2}{(3^5)(3^6)}\&=log_9 dfrac{3^2}{3^{11} } end{alineado}

Simplifica $dfrac{3^2}{3^{11}}$ restando los exponentes, $2$ de $11$. Usa la propiedad $dfrac{1}{x^m} = x^{-m}$ para simplificar aún más la expresión.

Para encontrar el valor exacto de la expresión, será mejor cambiar la base de la expresión a $3$. Usa la fórmula de cambio de base, $log_a x = dfrac{log_b x}{log_b a}$ y la propiedad, $log_b b^x = x$, para evaluar la expresión.

begin{alineado} log_9 3^{-9} &= dfrac{log_3 3^{-9}}{log_3 9}\&=dfrac{log_3 3^{-9}}{ log_3 3^2} \&= dfrac{-9}{2}\&= -dfrac{9}{2}end{alineado}

Por lo tanto, $2log_9 3 – 6log_9 3 + log_9 left(dfrac{1}{243}right)$, cuando se condensa, es igual a $log_9 dfrac{3^2}{3^{ 11} }$ que equivale a $-dfrac{9}{2}$.