Matemáticas Conjugadas – Explicación y Ejemplos

Matemáticas Conjugadas – Explicación y Ejemplos

¿Alguna vez has visto dos pares de expresiones que difieren solo en el signo del medio? Es posible que haya encontrado un par de conjugados. Los conjugados en matemáticas son extremadamente útiles cuando queremos racionalizar expresiones radicales y números complejos.

Dos binomios se conjugan cuando tienen los mismos términos pero signos opuestos en el medio.

Este artículo mostrará cómo encontrar conjugados, comprender por qué los necesitamos y aplicarlos al racionalizar expresiones. Comencemos con lo más básico: entender qué representan los conjugados.

¿Qué es un conjugado en matemáticas?

Un ejemplo de un par de conjugados son los números complejos a + bi y a – bi. Observe cómo los términos son los mismos? Solo difieren los signos que se encuentran en el medio de cada par. Esto es exactamente lo que representan los conjugados en matemáticas.

Definición matemática conjugada

Conjugados en Matemáticas son dos pares de binomios con términos idénticos pero que comparten operaciones opuestas en el medio. Aquí hay algunos ejemplos más de pares conjugados:

  • x – y y x + y
  • 2√2 – 1 y 2√2 + 1
  • 3 – 2i y 3 + 2i

Según la definición de conjugados, cada par tiene términos idénticos, y cada uno difiere solo en el signo del medio.

¿Cómo encontrar el conjugado?

¿Qué pasa si nos dan un binomio y necesitamos encontrar su conjugado? Siempre podemos determinar el conjugado de un binomio dado identificando primero los términos y el signo del término original.

Una vez que los tengamos, su conjugado contendrá los mismos términos, pero se cambia el signo del medio (de + a – o de – a +). Aquí hay una tabla que muestra cómo se determinan los conjugados de cuatro binomios:

Dado el binomio condiciones Cambio de signo Conjugado
2x–y 2x, y – + 2x + y
√3+1 √3.1 + – √3 – 1
a2b-ab2 a2segundo, un segundo2 – + a2b+ab2
5 + 2i 5.2i + – √3 – 1

¿Cómo multiplicar por el conjugado?

¿Qué pasa si multiplicamos un binomio por conjugados? Hay dos casos posibles, y en cada caso aplicaremos un método diferente.

Caso 1: Multiplicación de un binomio por su conjugado

Si tenemos un binomio, m + n, su conjugado será m – n. ¿Notas algo sobre los dos? Estos dos, cuando se multiplican, devolverán la diferencia de sus cuadrados. Si necesita un repaso de esta propiedad algebraica, eche un vistazo a este artículo. Para nuestro ejemplo, tenemos:

(m – n)(m + n) = metro2 – no2

Esto significa que cuando se multiplica un binomio y su conjugado, el resultado será la diferencia de los cuadrados de sus términos. Aquí hay algunos ejemplos más que puedes probar:

Binomio Conjugado Producto
2x – 1 2x + 1 4x2 – 1
3ab+c 3ab-c 9a2B2 -vs2
√3 – 4 √3+4 3 – 16 = -13

Caso 2: multiplicar el conjugado de un binomio por una expresión diferente

En algunos casos (como la racionalización de expresiones de raíz), es posible que necesitemos multiplicar el conjugado de un binomio con una expresión diferente. Al tratar con estos problemas, asegúrese de revisar su conocimiento de:

Digamos que queremos multiplicar √3 + 1 por el conjugado de √2 – 1. Primero necesitamos encontrar el conjugado de √2 – 1. Tenemos √2 + 1. Dado que √3 + 1 y √2 + 1 son binomios, podemos aplicar el método FOIL para encontrar y simplificar el producto de dos binomios.

(√3 + 1)( √2 + 1) = (√3)( √2) + (√3)(1) + (1)( √2) + (1)(1)

= √6 + √3 + √2 + 1

Es hora de que aprendamos las aplicaciones comunes de los conjugados en matemáticas.

¿Cómo racionalizar expresiones de raíz usando conjugados?

Una de las aplicaciones más comunes de los conjugados ocurre cuando queremos racionalizar una expresión que contiene binomios radicales en el denominador.

Cuando racionalizamos una expresión regular, nuestro objetivo es tener un denominador que no contenga ningún término radical. Los conjugados son útiles cuando tenemos una expresión binomial en el denominador.

Podemos multiplicar el numerador y el denominador por los conjugados del denominador. ¿Por qué no probar un ejemplo y ver qué sucede con la expresión?

(√2 – 1) / (√2 + 1)

Si queremos simplificar la expresión anterior, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.

(√2 – 1) / (√2 + 1) (√2 – 1) / (√2 -1)

= [(√2 – 1) ·(√2 – 1)]/ [(√2 + 1)(√2 – 1)]

Simplifica el denominador usando la diferencia de dos cuadrados y simplifica el numerador elevando al cuadrado la expresión (√2 – 1).

= [(√2)2 – 2(√2)(1) + (1)2]/[ (√2)2 – (1)2]

= [2 – 2√2 + 1]/[2 – 1]

= 3 – 2√2

La expresión resultante no tiene más expresiones radicales en su denominador para confirme que ha sido racionalizado usando el conjugado del denominador. Por lo tanto, hemos visto cómo se usan los conjugados para racionalizar expresiones.

Ejemplo 1

Encuentra los conjugados de los siguientes binomios.

una. 2xy-y

B. min2 +m2no

contra a B C D

Solución

Volvamos a la definición fundamental de los conjugados: comparten términos idénticos pero signos diferentes.

una. Para 2xy – y, su conjugado siempre tendrá los mismos términos excepto que tiene + como su operación. Por lo tanto, su conjugado es 2xy+y.

B. De manera similar, usamos los mismos términos pero la operación inversa, por lo que el conjugado de mn2 +m2n es min2 -metro2no.

contra Finalmente, si usamos el mismo proceso, encontraremos que el conjugado de ab – cd es b+cd.

Ejemplo 2

Cuando se le dé una expresión lineal, ax + b, describa el resultado cuando:

una. se suma la expresión lineal y su conjugado.
B. se resta el conjugado de la expresión lineal.

Solución

Avancemos y primero encontremos el conjugado de la expresión lineal. Usando los mismos términos pero la operación inversa, el conjugado de ax + b es ax – b.

Sumando los dos binomios, tenemos ax + b + ax – b = 2ax. La suma es en realidad el doble del valor del término.

una. En general, el la suma de una expresión lineal y su conjugada es igual al doble del valor del primer término del binomio.

Hagamos lo mismo por su diferencia. Se tiene:

(ax + b) – (ax – b) = hacha + b – hacha + b

= 2b

La diferencia es el doble del segundo término del binomio.

B. Esto significa que cuando el conjugado de un binomio se resta del binomio, el resultado es el doble del segundo término del binomio.

Ejemplo 3

Usa tu conocimiento de las conjugaciones para responder las siguientes preguntas.

una. ¿Cuál es el conjugado de (1000 – 1)?
B. ¿Cuál es el resultado cuando multiplicas (1000 – 1) por su conjugado?
contra Usando lo que has observado, describe cómo puedes encontrar el producto de 81 y 79.

Solución

una. Usando los mismos términos pero la operación inversa, el conjugado de (1000 – 1) es (1000 + 1).

B. Cuando multiplicamos un binomio por su conjugado, elevamos al cuadrado ambos términos y restamos el resultado. Entonces tenemos (1000)2 – 12 = 999 999.

contra Esto significa que podemos expresar 81 y 79 como conjugados entre sí: 81 = 80 + 1 y 79 = 80 – 1. Usando los dos binomios, el el producto de 81 y 79 es 802 – 12 = 6399.

Ejemplo 4

Encuentra el conjugado del denominador, luego racionaliza la expresión (-2 + √3) / (6 – 3√3).

Solución

Usando los mismos términos pero operaciones opuestas, la conjugado de 6 – 3√3 es 6 + 3√3. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado.

(-1 + √3) / (6 – 3√3) (6 + 3√3)/ (6 +3√3)

= [(-1 + √3) (6 + 3√3)] / [(6 – 3√3) (6 + 3√3)]

Usa el método FOIL para simplificar el numerador y la diferencia de dos cuadrados al denominador.

= [(-1)(6) + (-1) (3√3) + (√3)(6) + (√3)(3√3)]/ [(6)2 – (3√3)2]

= [-6 – 3√3 + 6√3 + 9]/ [36 – 27]

= (3√3 + 3)/ 9

= 3(√3 +1)/ 9

= 1/3 (√3 + 1)

Acabamos de simplificar la expresión dada y ahora tenemos 1/3 (3+1).