Una serie divergente es un grupo importante de series que estudiamos en nuestros cursos de precálculo e incluso de cálculo. En algoritmos y cálculos donde necesitamos la precisión es fundamental; saber si una serie dada es divergente o no puede ayudarnos a obtener el mejor resultado.
La serie divergente es un tipo de serie que contiene términos que no se aproximan a cero. Esto significa que la suma de esta serie tiende a infinito.
La creatividad necesaria para manipular series divergentes (y convergentes) ha inspirado a los matemáticos contemporáneos. También nos ayudará a aprender más sobre series divergentes para apreciar nuestro conocimiento de manipulación algebraica y evaluación de límites.
En este artículo, vamos a descubrir los componentes especiales de las series divergentes, lo que hace que una serie sea divergente y predecir la suma de una serie divergente dada. Con estos temas básicos, asegúrese de repasar sus conocimientos sobre:
Avancemos y comencemos a visualizar el comportamiento de una serie divergente y comprendamos qué hace que esta serie sea única.
¿Qué es una serie divergente?
La idea más básica de una serie divergente es que los valores del término aumentan a medida que avanzamos en el orden de los términos.
Así es como aparecerían los primeros cinco términos de la serie divergente, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{2} (2^{n-1})$, cuando graficamos $ a_n $ comparado con $n$. Esto muestra que a medida que avanzamos en la serie, el valor de los términos no se aproxima a un valor fijo. En cambio, los valores se expanden y se acercan al infinito.
Esta es una excelente visualización de cómo los términos de una serie divergente dada acercarse al infinito. Otro posible resultado de la suma de una serie divergente es una suma que sube y baja.
Aquí hay un ejemplo de una serie divergente donde los valores de sus sumas parciales suben y bajan. Muchos ejemplos de series alternas también son divergentes, por lo que es fundamental saber cómo se comportan.
Ahora que entendemos el concepto de divergencia, ¿por qué no definimos qué hace que una serie divergente sea única a través de las fronteras?
Definición de serie divergente
Una serie divergente es una serie que contiene términos cuya suma parcial, $S_n$, no tiende a cierto límite.
Volvamos a nuestro ejemplo, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{2} (2^{n-1})$, y veamos cómo se comporta $a_n$ a medida que se acerca al infinito .
begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{2} (2^{n-1}) &= dfrac{1}{2} + 1 + 2+ 4 + 8 + …end{alineado}
|
Número de términos |
sumas parciales |
|
$1$ |
$1$ |
|
$2$ |
$1 + 2 = $3 |
|
$3$ |
$1 + 2 + 4 = $7 |
|
$4$ |
$1 + 2 + 4 + 8 = $15 |
|
$5$ |
$1 + 2 + 4 + 8 + 16 = $31 |
De esto podemos ver que a medida que agregamos más términos, la suma parcial explota y no se acercará a ningún valor. Este comportamiento es lo que hace que una serie divergente sea única y es la base de su definición.
¿Cómo saber si una serie es divergente?
Ahora que entendemos qué hace que una serie sea divergente, centrémonos en cómo podemos identificar series divergentes en función de sus términos y formas de suma.
Digamos que nos dan una serie en forma de suma, $sum_{n=1}^{infty} a_n$, podemos determinar si es divergente o no usando el prueba del enésimo término.
Podemos saber si la serie es divergente tomando el límite de $a_n$ cuando $n$ tiende a infinito. cuando el resultado es no es igual a cero Donde no existe, el la serie diverge.
begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} a_n\lim_{n rightarrow infty} a_n &neq 0\lim_{n rightarrow infty} a_n &= text {DNE} \Flecha derecha boldsymbol{text{Divergente}}end{alineado}
¿Y si nos dieran los términos de la serie? Asegúrese de expresar la serie en términos de $n$, luego realice la prueba del n-ésimo término.
Por ejemplo, si queremos probar la divergencia de $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …$, primero tendríamos que expresar esto como una suma observando primero cómo progresa cada término.
begin{alineado}2 &= 2(1)\4&= 2(2)\ 6 &= 2(3) \8 &= 2(4)\.\.\.\a_n &= 2nend{alineado}
Esto significa que la serie es equivalente a $sum_{n=1}^{infty} 2n$. Ahora podemos aplicar la prueba del enésimo término tomando el límite de $a_n$.
begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} a_n &= lim_{n rightarrow infty} 2n\&= infty\&neq 0 end{alineado}
Esto demuestra que la serie es ciertamente divergente. Además, podemos determinar intuitivamente cómo se comportan las sumas parciales y podemos ver que, para nuestro ejemplo, las sumas parciales seguirán aumentando a medida que se consideren más términos.
Ahora que conocemos los componentes y condiciones importantes de la serie divergente, familiaricémonos con el proceso respondiendo los problemas que se presentan a continuación.
Ejemplo 1
Digamos que tenemos la serie, $S_n = 3 + 6 + 9 + 12 + …$, encuentre los siguientes dos términos de esta serie. Asegúrese de responder las preguntas de seguimiento que se presentan a continuación.
una. Completa la tabla de abajo.
|
Número de términos |
sumas parciales |
|
$1$ |
|
|
$2$ |
|
|
$3$ |
|
|
$4$ |
|
|
$5$ |
|
|
$6$ |
B. ¿Qué puedes decir sobre la serie en base a sus sumas parciales?
contra Expresar la serie como sumatoria.
D. Usa la expresión de 1c para confirmar si la serie es divergente o no.
Solución
Podemos ver esto para encontrar el siguiente término, y necesitaremos agregar $3 al término anterior. Esto significa que los siguientes dos términos son $12 + 3 = $15 y $15 + 3 = $18.
Usando estos términos, veamos cómo se comportan sus sumas parciales.
|
Número de términos |
sumas parciales |
|
$1$ |
$3$ |
|
$2$ |
$3 + 6 = $9 |
|
$3$ |
$3 + 6 + 9= $18 |
|
$4$ |
$3 + 6 + 9 + 12= $30 |
|
$5$ |
$3 + 6 + 9 + 12 + 15 = $45 |
|
$6$ |
$3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = $63 |
De esto podemos ver que a medida que agregamos más términos, las sumas parciales seguirán aumentando. Esto nos dice que la serie puede ser divergente.
En términos de $n$, podemos ver que para encontrar el término $n$th; multiplicamos $n$ por $3$.
begin{alineado}3&= 3(1)\6&= 3(2)\9 &= 3(3)\ 12&=3(4)\.\.\.\ a_n &= 3nend{alineado}
Por lo tanto, en forma de suma, la serie es igual a $sum_{n=1}^{infty} 3n$.
Observa lo que sucede si tomamos el límite de $a_n$ cuando $n$ tiende a infinito.
begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} a_n &= lim_{n rightarrow infty} 3n \&= infty \&neq 0end{alineado}
Dado que $lim_{n rightarrow infty} a_n neq 0$, podemos confirmar que la serie es efectivamente divergente.
Ejemplo 2
Reescribe la siguiente serie en notación sumativa, luego determina si la serie dada es divergente.
una. $-3+ 6 -9 + 12- …$
B. $dfrac{1}{3} + dfrac{1}{6} + dfrac{1}{9} + …$
contra $dfrac{2}{6} + dfrac{3}{7}+ dfrac{4}{8} + dfrac{5}{9}…$
D. $dfrac{1}{2} + dfrac{4}{5} + dfrac{9}{10} + …$
Solución
Veamos los primeros términos de la primera serie en la que estamos trabajando. Una vez que vemos un patrón, podemos encontrar una expresión para el término $n$ésimo.
begin{alineado}-3 &= (-1)^1(3cdot 1)\6 &= (-1)^2(3cdot 2)\-9 &= (-1)^3 (3cdot 3)\12 &= (-1)^4(3cdot 4)\.\.\.\a_n &= (-1)^n(3n)end{alineado }
Esto significa que $-3+ 6 -9 + 12- … = sum_{n=1}^{infty} (-1)^n(3n)$ .
Ahora que tenemos la expresión para $a_n$, podemos probar la divergencia de la serie tomando el límite de $a_n$ cuando $n$ tiende a infinito.
begin{alineado}lim_{nrightarrow infty} a_n &= lim_{nrightarrow infty} (-1)^{n} 3n \ &= text{DNE}\ &neq 0 end{alineado}
Como el límite no existe para esta serie (lo cual tiene sentido ya que los valores subirían y bajarían para series alternas), la serie es divergente.
Aplicaremos un enfoque similar para la próxima serie: observe los primeros términos para encontrar $a_n$.
begin{alineado}dfrac{1}{3} &= dfrac{1}{3 cdot 1}\dfrac{1}{6} &= dfrac{1}{3cdot 2} \dfrac{1}{9} &= dfrac{1}{3cdot 3} \.\.\.\a_n &= dfrac{1}{3n}end{alineado}
De esto podemos ver que la serie es equivalente a $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{3n}$ y por lo tanto $a_n = dfrac{1}{3n }$. Avancemos y encontremos el límite de $a_n$ cuando $n$ se acerca al infinito para ver si la serie es divergente.
begin{alineado}lim_{nrightarrow infty} a_n &= lim_{nrightarrow infty} dfrac{1}{3n} \&= 0end{alineado}
Dado que el valor de $lim_{nrightarrow infty} a_n = 0$ , la serie no es divergente. Podemos usar otras pruebas para ver si la serie es convergente, pero eso está más allá del alcance de este artículo. Si está interesado, consulte el artículo que escribimos sobre el Varias pruebas de convergencia.
Pasando a la tercera serie, observaremos de nuevo los primeros cuatro términos. Esto puede ser un poco complicado porque el numerador y el denominador cambian para cada término.
begin{alineado}dfrac{2}{6} &= dfrac{1+1}{1+5}\dfrac{3}{7} &= dfrac{2+1}{2+5 }\dfrac{4}{8} &= dfrac{3+1}{3+5}\dfrac{5}{9} &= dfrac{4+1}{4+5} .\.\.\a_n &= dfrac{n + 1}{n + 5}end{alineado}
Esto significa que la forma de suma de la serie es equivalente a $sum_{n=1}^{infty} dfrac{n + 1}{n + 5}$. Podemos usar $a_n = dfrac{n + 1}{n + 5}$ para determinar si la serie es divergente o no.
begin{alineado}lim_{nrightarrow infty} a_n &=lim_{nrightarrow infty} dfrac{n +1}{n +5} \&=lim_{nrightarrow infty }dfrac{n+1}{n+5} cdot dfrac{dfrac{1}{n}}{dfrac{1}{n}}\&=lim_{nrightarrow infty} dfrac{1 + dfrac{1}{n}}{1 + dfrac{5}{n}}\&= dfrac{1+0}{1+0}\&= 1\& neq 0 end{alineado}
Como $lim_{nrightarrow infty} a_n neq 0$, podemos ver la confirmación de que la serie es divergente.
¿Quieres trabajar en un conjunto más difícil? Probemos el cuarto y encontremos la expresión para $a_n$.
begin{alineado}dfrac{1}{2} &= dfrac{1^2}{1^2+1}\dfrac{4}{5} &= dfrac{2^2}{2 ^2 +1}\dfrac{9}{10} &= dfrac{3^2}{3^2 +1}\.\.\.\a_n &= dfrac{n^ 2}{n^2 + 1}end{alineado}
Esto significa que en notación sumativa, la cuarta serie es igual a $sum_{n=1}^{infty} dfrac{n^2}{n^2 + 1}$. Ahora que tenemos la expresión para $a_n$, podemos evaluar $lim_{nrightarrow infty} a_n$ para verificar si la serie es divergente o no.
begin{alineado}lim_{nrightarrow infty} a_n &=lim_{nrightarrow infty} dfrac{n^2}{n^2 + 1} \&=lim_{nrightarrow infty}dfrac{n^2}{n^2 + 1} cdot dfrac{dfrac{1}{n^2}}{dfrac{1}{n^2}}\&= lim_{nrightarrow infty} dfrac{1}{1 + dfrac{1}{n^2}}\&= dfrac{1}{1 + 0}\&= 1\& neq 0 end{alineado}
Dado que el límite de $a_n$ cuando $n$ tiende a infinito, la serie es divergente.
Ejemplo 3
Demuestre que la serie, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{14 + 9n + n^2}{1 + 2n + n^2}$, es divergente.
Solución
Ya se nos da la forma de suma de la serie, por lo que podemos aplicar la prueba del término n-ésimo para confirmar la divergencia de la serie. Como recordatorio, cuando tenemos $sum_{n=1}^{infty} a_n$, podemos comprobar la divergencia de la serie encontrando $lim_{nrightarrow infty} a_n$.
begin{alineado}lim_{nrightarrow infty} a_n &=lim_{nrightarrow infty} dfrac{14 + 9n + n^2}{1 + 2n + n^2}\&= lim_{nrightarrow infty}dfrac{14 + 9n + n^2}{1 + 2n + n^2} cdot dfrac{dfrac{1}{n^2}}{dfrac{1 {n^2}}\&=lim_{nrightarrow infty} dfrac{dfrac{14}{n^2} + dfrac{9}{n} + 1}{dfrac{1 {n^2} + dfrac{2}{n} + 1}\&= dfrac{0 + 0+ 1}{0 + 0 + 1}\&= 1\&neq 0 fin {alineado}
Cuando el límite de $a_n$ no existe o no es igual a $0$, la serie será divergente. A partir de nuestro resultado, podemos ver que $lim_{nrightarrow infty} neq 0$, por lo que la serie es divergente.
