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Números herodianos griegos antiguos |
Como el imperio griego comenzó a expandir su esfera de influencia en Asia Menor, Mesopotamia y más allá, los griegos fueron lo suficientemente inteligentes como para adoptar y adaptar elementos útiles de las sociedades que conquistaron. Esto era tan cierto de sus matemáticas como de cualquier otra cosa, y adoptaron elementos de las matemáticas de los babilonios y los egipcios. Pero pronto comenzaron a hacer contribuciones significativas por derecho propio, y por primera vez podemos reconocer las contribuciones de los individuos. En la época helenística, los griegos presidieron uno de los acontecimientos más dramáticos e importantes revoluciones en el pensamiento matemático de todos los tiempos.
Números áticos o herodianos
Él antiguo sistema de numeración griegoconocido como Números áticos o herodianosfue completamente desarrollado por aprox. 450 a., y en uso regular quizás desde el siglo VII a. Era un sistema de base 10 similar al sistema egipcio anterior (e incluso más similar al sistema romano posterior), con símbolos para 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1000 repetidos tantas veces como sea necesario para representar el número deseado. . La suma se hacía sumando por separado los símbolos (1, 10, 100, etc.) en los números a sumar, y la multiplicación era un proceso laborioso basado en duplicaciones sucesivas (la división se basaba en el inverso de este proceso).
Teorema del intercepto de Thales
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Teorema del intercepto de Thales |
pero la mayoría de matemáticas griegas se basó en la geometría. Talesun morir Siete sabios de la antigua Greciaque vivió en la costa jónica de Asia Menor en la primera mitad del siglo VI a. C., generalmente se considera que fue el primero en establecer pautas para el desarrollo abstracto de la geometría, aunque lo que sabemos de su trabajo (como sobre triángulos y rectángulos similares ) ahora parece bastante elemental.
Tales creó lo que se conoció como el teorema de Tales, donde si se dibuja un triángulo dentro de un círculo con el lado mayor como el diámetro del círculo, entonces el ángulo opuesto siempre será un ángulo recto (junto con algunas otras propiedades relacionadas derivadas de esto). También se le atribuye otro teorema, también conocido como el teorema de Thales o el teorema de intercepciónsobre las proporciones de los segmentos de línea que se crean si dos líneas que se cruzan son interceptadas por un par de paralelas (y, por extensión, las proporciones de los lados de triángulos similares).
Sin embargo, hasta cierto punto, la leyenda del matemático Pitágoras de Samos del siglo VI a. C. se ha convertido en sinónimo del nacimiento de las matemáticas griegas. De hecho, se cree que acuñó las dos palabras “filosofía” (“amor a la sabiduria“) y “Matemáticas” (“lo que se aprende“). Pitágoras fue quizás el primero en darse cuenta de que se podía construir un sistema completo de matemáticas, donde los elementos geométricos correspondían a números. El teorema de Pitágoras (o teorema de Pitágoras) es uno de los más conocidos de todos los teoremas matemáticos. Pero sigue siendo un figura controvertida, como veremos, y las matemáticas griegas no estaban limitadas a un solo hombre.
Tres problemas geométricos
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Los tres problemas clásicos |
Tres problemas geométricos en particular, a menudo denominados los tres problemas clásicos, y todos para ser resueltos por medios puramente geométricos utilizando solo una regla y un compás, se remontan a los primeros días de la geometría griega:la cuadratura (o cuadratura) del círculo”, “la duplicación (o duplicación) del cuboy “la trisección de un ángulo”. Estos problemas intransigentes influyeron profundamente en la geometría futura y condujeron a muchos descubrimientos fructíferos, aunque sus soluciones reales (o, de hecho, las pruebas de su imposibilidad) tuvieron que esperar hasta el siglo XIX.
Hipócrates de Quíos (que no debe confundirse con el gran médico griego Hipócrates de Kos. Una biografía detallada aquí) fue uno de esos matemáticos griegos que se aplicó a estos problemas durante el siglo V a. círculo” se conoce como la Luna de Hipócrates). Su influyente libro “Los elementos”, que data de aproximadamente 440 a. C., fue la primera compilación de los Elementos de la geometría, y su trabajo fue una fuente importante para los trabajos posteriores de Euclides.
La paradoja de Aquiles y la tortuga de Zenón
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La paradoja de Aquiles y la tortuga de Zenón |
Fueron los griegos quienes primero se enfrentaron a la idea de infinito, tal como se describe en las conocidas paradojas atribuidas al filósofo Zenón de Elea en el siglo V a.C.. La más famosa de sus paradojas es la de Aquiles y la tortuga, que describe una carrera teórica entre Aquiles y una tortuga. Aquiles le da a la tortuga mucho más lenta una ventaja, pero cuando Aquiles llega al punto de partida de la tortuga, la tortuga ya se ha movido hacia adelante. Para cuando Aquiles llega a este punto, la tortuga se ha movido, etc., etc., de modo que, en principio, el veloz Aquiles nunca podrá alcanzar a la lenta tortuga.
Paradojas como ésta y La llamada paradoja de la dicotomía de Zenón sont basés sur la divisibilité infinie de l’espace et du temps, et reposent sur l’idée qu’un demi plus un quart plus un huitième plus un seizième, etc, etc, à l’infini n’égalera jamais tout à fait un todo. Surge la paradoja, sin embargo, de la falsa suposición de que es imposible completar un número infinito de guiones discretos en un tiempo finito, aunque es extremadamente difícil demostrar definitivamente el error. El antiguo griego Aristóteles fue el primero de una larga lista en intentar refutar las paradojas, especialmente porque creía firmemente que el infinito solo podía ser potencial y no real.
Demócritomás famoso por sus ideas proféticas de que toda la materia está formada por átomos diminutos, también fue un pionero de las matemáticas y la geometría entre los siglos V y IV a. C., y produjo obras con títulos como “en los numeros“, “Sobre la geometría“, “en las tangentes“, “Sobre la cartografía” y “sobre lo irracional”, aunque estas obras no han sobrevivido. Sabemos que fue uno de los primeros en observar que un cono (o pirámide) tiene un tercio del volumen de un cilindro (o prisma) de la misma base y altura, y es quizás el primero en haber considerado seriamente la división de objetos. en un número infinito de secciones.
Sin embargo, es cierto que Pitágoras en particular influyó mucho en quienes lo siguieron, incluido Platón, quien estableció su famosa Academia en Atenas en el 387 a. C., y su protegido Aristóteles, cuyo trabajo sobre lógica se consideró definitivo durante más de dos mil años. . Platón, el matemático, es más conocido por su descripción de los cinco sólidos platónicos, pero no se puede subestimar el valor de su trabajo como maestro y divulgador de las matemáticas.
Al alumno de Platón, Eudoxo de Cnido, generalmente se le atribuye la primera implementación del “método del agotamiento” (más tarde desarrollado por Arquímedes), un método temprano de integración por aproximaciones sucesivas que utilizó para el cálculo del volumen de la pirámide y el cono. . También desarrolló una teoría general de la proporción, aplicable a magnitudes inconmensurables (irracionales) que no pueden expresarse como razón de dos números enteros, así como a magnitudes conmensurables (racionales), extendiendo así las ideas incompletas de Pitágoras.
Sin embargo, la contribución más importante de los griegos, y Pitágoras, Platón y Aristóteles fueron influyentes en este sentido, fue la idea de prueba y el método deductivo de usar pasos lógicos para probar o refutar teoremas a partir de axiomas asumidos inicialmente. Las culturas más antiguas, como la egipcia y la babilónica, se habían basado en el razonamiento inductivo, es decir, el uso de observaciones repetidas para establecer reglas generales. Es este concepto de prueba el que le da a las matemáticas su poder y asegura que las teorías probadas sean tan verdaderas hoy como lo fueron hace dos mil años, y que sentó las bases para el enfoque sistemático de las matemáticas de Euclides y sus seguidores.
