Medición indirecta – Explicación y ejemplos

La medición indirecta es un método para medir una cosa u objeto utilizando métodos de medición alternativos en lugar de medirlo directamente.

Las mediciones indirectas son diferentes de las mediciones directas y se aplican o utilizan principalmente cuando la medición directa no es posible. Esto se puede hacer usando el teorema de Pitágoras, triángulos semejantes y proporciones.

este tema te ayudara entender el concepto de medición indirecta y cómo usarlo, además de cubrir varios ejemplos numéricos para que pueda comprender el concepto rápidamente.

¿Qué es la medición indirecta?

La medida indirecta es un método que se utiliza en escenarios donde la medición directa no es posible. Estos métodos se pueden usar para medir el ancho del río y la altura de un objeto usando su sombra u otras medidas disponibles.

Otro ejemplo es la medición indirecta en topografía. Básicamente, modelaremos el escenario dado como triángulos y luego calcularemos el valor deseado usando proporciones, triángulos semejantes y el teorema de Pitágoras.

Por ejemplo, desea medir la altura de un árbol pero no tiene las herramientas para medir directamente la altura del árbol. En tal escenario, deberá medir la altura del árbol indirectamente.

Podemos medir la altura del árbol parándonos junto a él mientras usamos métodos de medición indirectos como un espejo o la sombra del árbol. Ambos métodos requieren la presencia de luz solar, de lo contrario, estos dos métodos no funcionarán. Analicemos estos dos métodos. en detalle.

Supongamos que una persona se para frente al árbol mientras se coloca un espejo en el suelo entre ellos.

Espejo de muestra final

La persona se pone de pie de manera que se pueda ver fácilmente la punta del árbol. Si la persona está mirando al espejo, entonces usando la propiedad de reflexión de la luz y un espejo, podemos crear un ángulo competitivo a cada lado del espejo.

Si asumimos que la persona está erguida y el árbol también es recto como una flecha, entonces podemos suponer que los dos están parados en un ángulo de $90^{o}$. Podemos crear triángulos semejantes para este caso, entonces resolver la altura del arbol.

Sigamos con el mismo ejemplo, pero esta vez usaremos la sombra de la persona y el árbol para generar triángulos similares.

Método Shawdow

Supongamos que una persona está parada frente al árbol cuando sale el sol y si asumimos que el ángulo del sol permanece constante, entonces la sombra proyectada por la persona y el árbol se puede utilizar para dibujar triángulos similares.

Si asumimos que la persona y el árbol están erguidos en un ángulo de $90^{o}$ y trazamos una línea entre la copa del árbol y la persona hasta el final de sus sombras, entonces nos da dos triángulos semejantes.

Técnicas de medición indirecta

Hay varias técnicas que se pueden utilizar para resolver problemas donde la medición directa no es posible.

teorema de pitagoras

El teorema de Pitágoras o Pitágoras es un teorema utilizado para establecer una relación entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Según el teorema de Pitágoras, si se da un triángulo rectángulo, entonces la relación para los tres lados del triángulo se puede dar como:

$c^{2}= a^{2}+ b^{2}$

El teorema de Pitágoras se puede utilizar como técnica de medición indirecta.

Por ejemplo, queremos estimar la longitud del puente que se construirá sobre un río. Si conocemos la distancia a través del río y la altura del terreno en la parte superior del río, entonces el puente será como una hipotenusa en un triángulo rectángulo. Si la distancia a través del río es de $20 metros y la altura de la orilla (en la parte superior del río) es de $5 metros, entonces la longitud del puente se puede calcular de la siguiente manera:

$c^{2} = b^{2} + c^{2}$

$c^{2} = 20^{2} + 5^{2}$

$c^2 = 400 + 25 = $425

$c = sqrt {425} cong 20,62$ metros.

Triángulos semejantes y proporcionalidad

Las propiedades de los triángulos semejantes se usan mucho para resolver problemas por medición indirecta. Se dice que dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son similares o concurrentes.

Las formas de los dos triángulos son similares, mientras que el tamaño de los triángulos puede variar. Si podemos dibujar dos triángulos similares para un problema dado, entonces podemos encontrar los datos faltantes de los triángulos por usando el metodo de las proporciones.

Los triángulos similares y la proporcionalidad pueden llamarse simplemente teorema de proporcionalidad de triángulos. Veamos un ejemplo simple de proporcionalidad triangular.

proporción

$dfrac{AD}{DB} = dfrac{AE}{EC}$

$dfrac{10}{15} = dfrac{x}{20}$

$x = dfrac{2times 20}{3}$

$x = dfrac{40}{3}$cm

Estudiemos ahora varios ejemplos de mediciones directas e indirectas.

Ejemplo 1:

Allan tiene un árbol fuera de su casa, pero no puede medir su altura directamente porque el árbol es bastante alto, por lo que debes ayudar a Allan a determinar la altura del árbol. A esta hora del día, la sombra del árbol es de $150 pies mientras que la sombra de Allan (si está parado frente al árbol) es de $5 pies. Si Allan mide $4 pies de altura, ¿qué altura tiene el árbol?

La solución:

Tomamos la longitud de ambas sombras al mismo tiempo para que el ángulo del sol permanezca constante y si el árbol y Allan están en un ángulo de $ 90^{o}$, es decir, están verticalmente rectos, entonces podemos suponer que Allan es paralelo al eje y tendremos dos triángulos semejantes.

Sea “$x$” la altura del árbol, luego usando el teorema de proporcionalidad del triángulo podemos escribir:

$dfrac{4 pies}{x} = dfrac{5}{150}$

$dfrac{4 pies}{x} = dfrac{1}{30}$

$x = 4 veces 30 = 120$ pi

Ejemplo 2:

Sana tiene un poste afuera de su casa del que quiere medir la longitud, pero no puede medirlo directamente. Debes ayudar a Sana a calcular la altura del poste usando el método del espejo.

Sana mide 1,8 metros de altura y puede ver la parte superior del poste si coloca el espejo en el suelo mientras se encuentra a 5 metros de distancia del espejo. El espejo está a 35$ metros del poste. ¿Cuál es la altura del poste?

La solución:

Si asumimos que el poste y Sana están en un ángulo de $90^{o}$, entonces el reflejo del espejo creará triángulos con ángulos congruentes. Por lo tanto, se crean dos triángulos semejantes y podemos usar el teorema de proporcionalidad del triángulo para determinar la altura del poste.

Sea “$x$” la altura del poste, luego usando el teorema de proporcionalidad del triángulo podemos escribir:

$dfrac{35m}{5m} = dfrac{x}{1.8m}$

$7 = dfrac{x}{1,8 millones}$

$x = 1.8 times 7 = 12.6$ metro

Ejemplo 3:

Un edificio proyecta una sombra de 35$ metros de largo mientras que un hombre parado paralelo al edificio proyecta una sombra de 4.5$ metros de largo. Si el hombre mide $4 metros de altura, ¿cuánto mide el edificio?

La solución:

$dfrac{35m}{4,5m} = dfrac{x}{4m}$

$7.7 = dfrac{x}{4m}$

$x = 4 times 7.7 = 31$ metro aprox.

Ejemplo 4:

Nancy está jugando baloncesto en la cancha de baloncesto frente a su casa. Nancy sabe que mide $5 pies y proyecta una sombra de $5.5 pies mientras que el aro de baloncesto mide $10 pies. ¿Cuánto mide la sombra del aro de baloncesto?

La solución:

Sea “x” la longitud de la sombra del aro, luego por utilizando el teorema de proporcionalidad del triángulo podemos escribir:

$dfrac{5 pies}{5,5 pies} = dfrac{10 pies}{x}$

$0,909 = dfrac{10}{x}$

$x = dfrac{10}{0.909} = aproximadamente 11$ pi.

Cuestiones prácticas:

1. Para la imagen de abajo, ¿el $triangle ABC cong triangle EDC$ ? ¿Cómo es $AB$ paralelo a $DE$? Si los dos triángulos son semejantes, calcula el ancho del río si $AB = 25$ pies, $BC = 30$ pies y $DE = 60$ pies.

ejemplo de un rio

2. Un árbol proyecta una sombra de 40 pies de largo, mientras que al mismo tiempo un hombre parado paralelo al árbol proyecta una sombra de 5 pies de largo. Si el hombre mide $4.5 pies de altura, ¿cuál es la altura del árbol?

clave de respuesta:

1.

$triángulo ABC$ es concurrente con $triángulo EDC$. Al igual que el ángulo B y el ángulo D, ambos son ángulos rectos mientras que $angle ABC cong angle ECD$ porque ambos son ángulos verticales y, por lo tanto, por A. Una similitud postula que estos dos triángulos se llaman triángulos semejantes.

Dado que los dos triángulos son similares y por A. Un postulado $angle ABC cong angle ECD$, si los ángulos interiores alternos son congruentes entre sí, entonces los segmentos de línea correspondientes son paralelos entre sí. Entonces, $AB || DE$.

El ancho del río se puede determinar calculando la longitud del CD. Podemos hacer esto usando teorema de proporcionalidad del triángulo.

$dfrac{30ft}{CD} = dfrac{25}{60}$

$CD = 72$ pies.

2.

$dfrac{40 pies}{5 pies} = dfrac{x}{4,5 pies}$

$8 = dfrac{x}{4.5 pies}$

$x = 4,5 times 8 = 36$ pi.