Multiplicación

Tamiz de Eratóstenes – Algoritmo de números primos

Tamiz de Eratóstenes – Algoritmo de números primos

La criba de Eratóstenes es una técnica formulada por un brillante matemático griego, Eratóstenes, cuyos esfuerzos contribuyeron en gran medida a la identificación de los números primos.

Hizo una gran contribución a las matemáticas, y el descubrimiento de la criba fue lo mejor que había hecho en este campo. Es un patrón o algoritmo que funciona eliminando números que no encajan en un escenario.

¿Qué es el Tamiz de Eratóstenes?

La criba de Eratóstenes es un algoritmo matemático para encontrar números primos entre dos conjuntos de números.

Los patrones de tamiz de Eratóstenes funcionan tamizando o eliminando números dados que no cumplen con un criterio determinado. En este caso, el modelo elimina múltiplos de números primos conocidos.

Algoritmo de números primos

Un número primo es un número entero positivo o un número entero mayor que 1, que solo es divisible por 1 y por sí mismo. El algoritmo de números primos es un programa que se utiliza para encontrar números primos tamizando o eliminando números compuestos. El algoritmo facilita el trabajo al eliminar complejas divisiones o multiplicaciones en bucle.

Estos son los pasos que se usan para encontrar números primos iguales o menores que un número entero η.

  • Haz una lista de todos los números consecutivos del 2 al η, es decir (2, 3, 4, 5, ……, η).
  • Asignar la primera letra del número primo pags.
  • Empezando con pags2hacer un incremento de pags y marcar enteros iguales o mayores que pags2 en el algoritmo. Estos números enteros serán pags(pags +1), pags(pag + 2), pags(pags +3), pags(pags + 4)…
  • El primer número sin marcar mayor que pags se identifica en la lista. Si el número no existe en la lista, el procedimiento se interrumpe. pags es igual al número y se repite el paso 3.
  • El tamiz de Eratóstenes se detiene cuando el cuadrado del número probado excede el último número de la lista.
  • Todos los números en la lista sin marcar al final del algoritmo se llaman números primos.

Ejemplo 1

Escribe todos los números primos menores o iguales a 30.

Solución

  • Paso 1: El primer paso es hacer una lista de todos los números.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 y 30.

  • Paso 2: escribir audaz todos los múltiplos de 2, excepto el propio 2.

2, 3, 45, 6 siete , 89, diez,11, 1213, 1415, dieciséis17 años, 1819 años, 2021, 2223, 2425, 2627, 2829, y 30.

  • Paso 3: El siguiente número sin sombrear es 3. Escribe su cuadrado (32 = 9) en negrita.

2, 3, 45, 6 siete , 8, 9, diez,11, 1213, 14, 15, dieciséis17 años, 1819 años, 20, 21, 2223, 2425, 26, 27, 2829, y 30.

  • Paso 4: Ahora el tercer número sin sombrear es 5. Escribe su cuadrado 52=25 en negrita.

2, 3, 45, 6 siete , 8, 9, diez,11, 1213, 14, 15, dieciséis17 años, 1819 años, 20, 21, 2223, 24, 25, 26, 27, 2829, y 30.

  • Paso 5: El cuarto número sin sombrear es 7 y mayor que la raíz cuadrada de 30.
    Por lo tanto, ya no quedan múltiplos de 7 ya que fueron eliminados por 2 y 3 como 14, 28 y 21 respectivamente. Los números restantes 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29 son primos.

Ejemplo 2

Encuentra números primos entre 1 y 100 usando el algoritmo de Eratóstenes.

Solución

  1. Paso 1: Los números entre 1 y 100 se enumeran en la siguiente tabla.
1 2 3 4 5 6 siete 8 9 diez
11 12 13 14 15 dieciséis 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 sesenta y cinco 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
  • Paso 2: El siguiente paso es escribir audaz todos los múltiplos de 2, excepto el propio 2.
1 2 3 4 5 6 siete 8 9 diez
11 12 13 14 15 dieciséis 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 sesenta y cinco 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
  • Paso 3: Ahora audaz todos los múltiplos de 3, 5 y 7 y dejar sólo esos números.
1 2 3 4 5 6 siete 8 9 diez
11 12 13 14 15 dieciséis 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 sesenta y cinco 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
  • Paso 4: Dado que los múltiplos de 11, 13, 17 y 19 no están presentes en la lista, el 1 finalmente se sombrea porque no es primo.
1 2 3 4 5 6 siete 8 9 diez
11 12 13 14 15 dieciséis 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 sesenta y cinco 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
  • Paso 5: Los números sin sombrear son primos. Incluyen:

2, 3, 5.7, 11, 13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

febrero 12, 2022 por Blog División Multiplicación Resta

números pares e impares

números pares e impares

¿Qué son los números pares e impares?

Un número entero que se puede dividir por 2 es un número par, mientras que un número entero que no se puede dividir por 2 es un número impar. Pueden ser positivos o negativos. Los números impares siempre están entre números pares y viceversa.

Para diferenciar entre números pares e impares, siempre buscas su dígito final. El último dígito de un número par siempre es 0, 2, 4, 6 u 8, mientras que el último dígito de un número impar siempre es 1, 3, 5, 7 o 9.

Ejemplos

Estos son algunos ejemplos de números pares:

-22, -10, 0, 6, 18, 234.

Los números anteriores son pares porque terminan en 0, 2, 4, 6 u 8.

Estos son algunos ejemplos de números impares:

-101, -17, 1, 9, 23, 985.

Los números anteriores son impares porque terminan en 1, 3, 5, 7 o 9.

Propiedades

Los números pares e impares tienen propiedades especiales con respecto a las operaciones algebraicas (suma, resta y multiplicación). Siempre que aplicamos operaciones algebraicas a dos números pares o impares, siempre obtenemos un número par o impar. Excluimos la división aquí porque la división a veces te da el resultado en fracciones al hablar de propiedades particulares.

  • Cuando sumamos o restamos dos números pares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 6 + 4 = 10

    6 – 4 = 2

  • Cuando sumamos o restamos un número par y un número impar, el resultado siempre es impar.Por ejemplo, 7 + 4 = 11

    7 – 4 = 3

  • Cuando sumamos o restamos dos números impares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 7 + 3 = 10

    7 – 3 = 4

  • Cuando multiplicamos dos números pares, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo,
    6 × 4 = 24
  • Cuando multiplicamos un número par y un número impar, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo,
    7 × 4 = 28
  • Cuando multiplicamos dos números impares, el resultado siempre es un número impar. Por ejemplo,
    7 × 3 = 21

Generalización de números pares e impares

También podemos generalizar números pares e impares. Por ejemplo, si ‘n’ es un número par, entonces el siguiente número impar es ‘n+1’, y el siguiente número par es ‘n+2’, y así sucesivamente. De manera similar, si ‘n’ es un número impar, entonces el siguiente número par es ‘n + 1’, y el siguiente número impar es ‘n + 2’, y así sucesivamente.

Por ejemplo, si queremos escribir una secuencia de cinco números impares a partir del 73, podemos escribirla así:

73, 73+2, 73+4, 73+6, 73+7

73, 75, 77, 79, 81

tabla de numeros

La siguiente tabla es la tabla de números del 1 al 100, donde el los números impares están resaltados en amarillo y el los números pares se resaltan en verde.

Odd and Even numbers Chart

febrero 12, 2022 por Blog División Ejemplos Fracciones Impares Multiplicación Operaciones Pares Resta Suma

Propiedad conmutativa

Propiedad conmutativa

La palabra ‘conmutativo‘está tomado de la palabra francesa’viajar diariamente,‘ que significa moverse. Para que los números o las variables tengan la propiedad conmutativa, pueden moverse (dentro de una expresión) como un viajero y dar el mismo resultado cuando se les aplica una operación particular. Desde la antigüedad se conocía la propiedad conmutativa, pero los matemáticos empezaron a utilizarla a finales del siglo XVIII.y siglo.

el la propiedad conmutativa está relacionada con las operaciones binarias y funciones Si ambos elementos siguen la propiedad conmutativa bajo una operación, se dice que están conmutados bajo esa operación en particular.

¿Qué es la propiedad conmutativa?

Si cambiar el orden de los números no cambia el resultado de una determinada expresión matemática, entonces la operación es conmutativa. Solo la suma y la multiplicación son conmutativas, mientras que la resta y la división no son conmutativas.

Propiedad conmutativa de la suma

De acuerdo con la propiedad conmutativa de la suma, si los números se suman en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se suma al número b y el resultado es igual a algún número pagsentonces si intercambiamos las posiciones de a y b, el resultado siempre es igual a pags es decir

un + segundo = segundo + un = pag

Los números a y b se llaman sumandos.

Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir

un + segundo + c + re = re + c + segundo + un

Ejemplo 1

Demostrar que los siguientes números cumplen la propiedad conmutativa de la suma:

2, 4, 6 y 9

2 + 4 + 6 + 9 = 21

9 + 6 + 4 + 2 = 21

El resultado es el mismo en ambos casos. De donde,

2 + 4 + 6 + 9 = 9 + 6 + 4 + 2

El ejemplo concreto es que si desea realizar una encuesta en su sociedad sobre la cantidad de niños en cada casa, puede comenzar desde cualquier casa y contar la cantidad de niños en cada casa y sumarlos. El orden de la casa no es importante aquí.

Los otros ejemplos reales usan un par de guantes, un par de zapatos y un par de calcetines son ejemplos de la propiedad conmutativa.

Propiedad conmutativa de la multiplicación

De acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, si los números se multiplican en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se multiplica por el número b y el resultado es igual a algún número qentonces si intercambiamos las posiciones de a y b, el resultado siempre es igual a q es decir

un × segundo = segundo × un = q

Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir

un × segundo × c × re = re × c × segundo × un

Las composiciones de funciones y la multiplicación de matrices tampoco son conmutativas.

Ejemplo 2

Demuestre que los siguientes números obedecen la propiedad conmutativa de la multiplicación:

2, 4, 6 y 9

2×4×6×9 = 432

9 × 6 × 4 × 2 = 432

El resultado es el mismo en ambos casos. De donde,

2×4×6×9 = 9×6×4×2

¿Por qué la resta y la división no son conmutativas?

Para entender por qué la resta y la división no siguen la regla conmutativa, sigue los ejemplos a continuación.

Ejemplo 3

Indica si la siguiente expresión es verdadera.

un – segundo = segundo – un

  • Paso 1: ¿Qué debes mostrar?

un – segundo = segundo – un

  • Paso 2: Toma el lado izquierdo y trata de probar que es igual al lado derecho.

una B

–1 (– a + b) = – (– a + b)

  • Paso 4: Invertir los sumandos.

– (b – a)

  • Paso 5: Vea si obtiene el resultado deseado.

a – b = – (b – a)

  • Paso 6: Exponga sus conclusiones.

Ya que,

a – b = – (b – a)

De donde,

un – segundo ≠ segundo – un

Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.

Ejemplo 4

Indica si la siguiente expresión es verdadera.

2a ÷ a = a ÷ 2a

  • Paso 1: ¿Qué debes mostrar?

2a ÷ a = a ÷ 2a

  • Paso 2: Tome el lado izquierdo.

2a ÷ un

2a ÷ uno = 2

  • Paso 4: Resuelve el lado derecho ahora.

uno ÷ 2a = 1/2

  • Paso 5: Exponga sus conclusiones.

Ya que,

2a ÷ uno = 2

uno ÷ 2a = 1/2

De donde,

2a ÷ un ≠ un ÷ 2a

Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.

febrero 11, 2022 por Blog División Ejemplos Multiplicación Operaciones Resta Suma

Propiedad Distributiva – Definición y Ejemplos

Propiedad Distributiva – Definición y Ejemplos

De todas las propiedades en matemáticas, la Propiedad distributiva se usa bastante a menudo. De hecho, cualquier método para multiplicar números por otro número utiliza la propiedad distributiva. Esta propiedad fue introducida a principios del s.y siglo cuando los matemáticos comenzaron a analizar resúmenes y propiedades de los números.

La palabra distributiva se toma de la palabra “distribuirlo que significa que rompes algo en varias partes. Esta propiedad distribuye o descompone expresiones en la suma o resta de dos números.

¿Qué es la propiedad distributiva?

La propiedad distributiva es una propiedad de multiplicación que se usa en sumas y restas. Esta propiedad indica que dos o más términos de suma o resta con un número son iguales a la suma o resta del producto de cada uno de los términos con este número.

Propiedad distributiva de la multiplicación

Según la propiedad distributiva de la multiplicación, el producto de un número por suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos. La propiedad de distribución de la multiplicación también es cierta para la resta, donde puedes restar números primero y multiplicar o multiplicar números primero y luego restar.

Considere tres números a, B y contrala suma de a y B multiplicado por contra es igual a la suma de cada suma multiplicada por contraes decir

(a + B) × contra = corriente alterna + antes de Cristo

De manera similar, puedes escribir la propiedad de distribución de la multiplicación para la resta,

(a – B) × contra = corriente alterna – antes de Cristo

Propiedad distributiva con variables

Como se indicó anteriormente, la propiedad distributiva se usa con bastante frecuencia en matemáticas. Por lo tanto, también es muy útil para simplificar ecuaciones algebraicas.

Para encontrar el valor desconocido en la ecuación, podemos seguir los siguientes pasos:

  • Encuentra el producto de un número con los otros números entre paréntesis.
  • Ordena los términos de modo que los términos constantes y variables estén en lados opuestos de la ecuación.
  • Resuelve la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Propiedad distributiva con exponentes

La propiedad distributiva también es útil en ecuaciones con exponentes. Un exponente significa el número de veces que un número se multiplica por sí mismo. Si hay una ecuación en lugar de un número, la propiedad también es verdadera.

Debe seguir los pasos a continuación para resolver un problema de exponente usando la propiedad distributiva:

  • Expande la ecuación dada.
  • Encuentra todos los productos.
  • Sumar o restar términos similares.
  • Resuelve o simplifica la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Propiedad distributiva con fracciones

Aplicar la propiedad distributiva a ecuaciones con fracciones es un poco más difícil que aplicar esta propiedad a cualquier otra forma de ecuación.

Usa los siguientes pasos para resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad distributiva:

  • Identifica las fracciones.
  • Convierte la fracción a números enteros usando la propiedad distributiva. Para hacer esto, multiplique ambos lados de las ecuaciones por el MCM.
  • Encuentre los productos.
  • Aislar términos con variables y términos con constantes.
  • Resuelve o simplifica la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Ejemplos

Para resolver problemas verbales distributivos, siempre tienes que encontrar una expresión numérica en lugar de encontrar respuestas. Repasaremos algunos temas básicos antes de abordar los problemas de palabras.

Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

9 (X – 5) = 81

Solución

  • Paso 1: Encuentra el producto de un número con los otros números entre paréntesis.

9 (X) – 9 (5) = 81

9x – 45 = 81

  • Paso 2: Ordena los términos de modo que los términos constantes y variables estén en el lado opuesto de la ecuación.

9X – 45 + 45 = 81 + 45

9X = 126

  • Paso 3: Resuelve la ecuación.

9X = 126

X = 126/9

X = 14

Ejemplo 2

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

(sieteX + 4)2

Solución

  • Paso 1: Expande la ecuación.

(sieteX + 4)2 = (7X + 4) (7X + 4)

  • Paso 2: Encuentra todos los productos.

(sieteX + 4) (7X + 4) = 49X2 + 28X + 28X + 16

  • Paso 3: Agregue términos similares.

49X2 + 56X + 16

Ejemplo 3

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

X – 5 = X/5 + 1/10

Solución

  • Paso 1: Identifica las fracciones.

Hay dos fracciones en el lado derecho.

  • Paso 2: encuentra el MCM de 5, 10, que es 10.

Multiplica con MCM en ambos lados.

diez (X – 5) = 10 (X/5 + 1/10)

diezX – 50 = 2X + 1

  • Paso 4: Aislar términos con variables y términos con constantes.

diezX – 2X = 1 + 50

8X = 51

X = 51/8

Ejemplo 4

Tienes dos amigos, Mike y Sam, nacidos el mismo día. Tienes que regalarles el mismo conjunto de camisas y pantalones para su cumpleaños. Si la camisa vale $12 y los pantalones $20, ¿cuál es el gasto total para comprar los regalos?

Solución

Hay dos formas de resolver este problema.

Método 1:

  • Paso 1: Encuentra el costo total de cada juego.

$12 + $20 = $32

  • Paso 2: Como hay dos amigos, multiplique por 2 para obtener el costo total.

$32 × 2

  • Paso 3: Encuentra el costo total.

$32 × 2 = $64

Método 2:

  • Paso 1: Como hay 2 amigos, duplica el precio de la camiseta.

$12 × 2 = $24

  • Paso 2: Como hay 2 amigos, duplica el precio de los pantalones.

$20 × 2 = $40

  • Paso 3: Encuentra el costo total.

$24 + $40 = $64

Ejemplo 5

Tres amigos tienen cada uno dos centavos, tres centavos y diez centavos. ¿Cuánto dinero tienen en total?

Solución

Una vez más, hay dos formas de resolver este problema.

Método 1:

  • Paso 1: encuentre el costo total de cada tipo de habitación.

Diez centavos:

2 × 10 ¢ = 20 ¢

Níquel:

3 × 5¢ = 15¢

Centavos:

10 × 1 ¢ = 10 ¢

  • Paso 2: Hay tres amigos, así que multiplica cada tipo de moneda por 3.

Diez centavos:

3 × 20¢ = 60¢

Níquel:

3 × 15 ¢ = 45 ¢

Centavos:

3 × 10¢ = 30¢

  • Paso 3: Encuentra la cantidad total de dinero.

60¢ + 45¢ + 30¢ = 135¢

Paso 4: Convierte a dólares.

135/100 = $1,35

Método 2:

  • Paso 1: Cada persona tiene dos centavos, tres centavos y diez centavos.

2 × 10 ¢ + 3 × 5 ¢ + 1 × 10 ¢

  • Paso 2: Total de dinero que tiene cada persona.

2 × 10¢ + 3 × 5¢ + 1 × 10¢ = 45¢

  • Paso 3: Dinero total que tienen tres personas.

45¢ + 45¢ + 45¢ = 135¢

  • Paso 4: Convierte a dólares.

135/100 = $1,35

Ejemplo 6

El largo de un rectángulo es 3 más que el ancho del rectángulo. Si el área del rectángulo es de 18 unidades cuadradas, encuentra el largo y el ancho del rectángulo.

Solución

  • Paso 1: Defina la longitud y el ancho de un rectángulo.

La longitud está representada por X.

Entonces ancho = X + 3

  • Paso 2: El área del rectángulo es de 18 unidades cuadradas.

área = largo × ancho

X(X + 3) = 18

  • Paso 3: Usa la propiedad distributiva.

X2 + 3X = 18

  • Paso 4: reescribir como una ecuación cuadrática.

X2 + 3X – 18 = 0

  • Paso 5: factoriza y resuelve.

X2 + 6X – 3X – 18 = 0

X(X + 6) – 3(X + 6) = 0

(X – 3)(X + 6) = 0

x = 3, −6

  • Paso 6: Indique la respuesta.

La longitud no puede ser negativa. Entonces longitud = X = 3, y ancho = X + 3 = 6

febrero 11, 2022 por Blog Ejemplos Fracciones Multiplicación Resta Suma Unidades

Orden de operaciones – PEDMAS

Orden de operaciones – PEDMAS

El orden de las operaciones se puede definir como un procedimiento estándar que lo guía sobre qué cálculos comenzar en una expresión con múltiples operaciones aritméticas. Sin un orden de operación coherente, se pueden cometer grandes errores durante el cálculo.

Por ejemplo, una expresión que implica más de una operación, como resta, suma, multiplicación o división, requiere una forma estándar de saber qué operación realizar primero.

Por ejemplo, si desea resolver un problema como; 5 + 2 x 3, el problema es ¿qué operación comienza primero?

Debido a que este problema tiene dos opciones para resolverlo, entonces, ¿cuál es la respuesta correcta?

Si hacemos primero la suma y luego la multiplicación, el resultado es:

5 + 2 x 3 = (5 + 2) x 3 = 10 x 3 = 30

Si primero hacemos la multiplicación seguida de la suma, el resultado es:

5 + 2×3 = 5 + (2×3) = 5 + 6 = 11

Para ver cuál es la respuesta correcta, existe un mnemotécnico “PEMDAS”, que es útil porque nos recuerda el orden correcto de las operaciones.

PEMDAS

PEMDAS es un acrónimo que significa paréntesis, exponentes, multiplicación, suma y resta. El orden de las operaciones es:

  • P es para paréntesis: (), corchetes []llaves {} y barras de fracción.
  • E es para exponente incluyendo raíces.
  • M es para multiplicación.
  • D es para División.
  • A es para la adición.
  • S es para Resta.

Reglas PEMDAS

  • Comience siempre calculando todas las expresiones entre paréntesis
  • Simplifique todos los exponentes, como raíces cuadradas, cuadrados, cubos y raíces cúbicas.
  • Multiplica y divide de izquierda a derecha
  • Finalmente, suma y resta de la misma manera, trabajando de izquierda a derecha.

Una forma de dominar este orden de operación es recordar una de las siguientes tres frases; Elige el que recordarás más fácilmente.

  • “PAGSalquiler miexcusa METROallí Descuchar Aunt S”
  • “Grandes elefantes destruyen ratones y caracoles”.
  • “Los elefantes rosas destruyen ratones y caracoles”.

Ejemplo 1

Resolver

30 ÷ 5×2+1

Solución

Debido a que no hay paréntesis ni exponentes, comience con la multiplicación y luego con la división, trabajando de izquierda a derecha. Completa la operación por adición.

30 ÷ 5 = 6

6×2=12

12 + 1 = 13

NOTA: Cabe señalar que, aunque la multiplicación en PEMDAS viene antes de la división, sin embargo, la operación de ambas aún se realiza de izquierda a derecha.

Multiplicar antes de dividir da la respuesta incorrecta:

5 × 2 = 10

30 ÷ 10 = 3

3 + 1 = 4

Ejemplo 2

Resuelve la siguiente expresión: 5 + (4 – 2 ) 2 x3 ÷ 6 – 1

Solución

  • Comience con los paréntesis;

(4 – 2) = 2

  • Proceda con la operación exponencial.

2 2 = 4

  • Ahora nos quedamos con; 5 + 4×3 ÷ 6 – 1 = ?
  • Realiza multiplicaciones y divisiones, comenzando de izquierda a derecha.

4×3=12

5 + 12 ÷ 6 – 1

Comenzando desde la derecha;

12 ÷ 6 = 2

5 + 2 – 1 = ?

5 + 2 = 7

7 – 1 = ?

7 – 1 = 6

Ejemplo 3

simplificar 3 2 + [6 (11 + 1 – 4)] ÷ 8×2

Solución

Para resolver este problema, PEMDAS se aplica de la siguiente manera;

  • Comience la operación acercándose al paréntesis.
  • Comience dentro de los paréntesis hasta que se eliminen todas las agrupaciones. Se hace la adición;

11 + 1 = 12

  • Realiza la resta; 12 – 4 = 8
  • Entrena con apoyos como; 6×8 = 48
  • Ejecutar exponentes como; 32 = 9

9 + 48 ÷ 8 x 2 = ?

  • Calcula multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha;

48÷8=6

6×2=12

Ejemplo 4

Evalúa la expresión; 10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3

Solución

Al aplicar la regla PEMDAS, la multiplicación y la división se evalúan de izquierda a derecha. Es recomendable insertar paréntesis para recordar el orden de operación

10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3

= (10÷2) + (12÷2 × 3)

= 23

Ejemplo 5

Tarifa 20 – [3 x (2 + 4)]

Solución

Primer trabajo sobre las expresiones entre paréntesis.

= 20 – [3 x 6]

Calcula los paréntesis restantes.
= 20 – 18

Finalmente, realice una resta para obtener 2 como respuesta.

Ejemplo 6

Práctica (6 – 3) 2 – 2×4

Solución

  • Comienza abriendo los paréntesis

= (3)2 – 2×4

= 9 – 2×4

  • ahora haz la multiplicacion

= 9 – 8

  • Completa la operación por resta para obtener 1 como respuesta correcta.

Ejemplo 7

Resolver la ecuación 2 2 – 3 × (10 – 6)

Solución

  • Calcula dentro de los paréntesis.
    = 2 2– 3×4
  • Calcula el exponente.
    = 4 – 3×4
  • Haz la multiplicación.
    = 4 – 12
  • Completa la operación por resta.
    = -8

Ejemplo 8

Simplifica la expresión 9 – 5 ÷ (8 – 3) x 2 + 6 usando el orden de las operaciones.

Solución

  • Practica entre paréntesis

= 9 – 5 ÷ 5×2+6

= 9 – 1×2 + 6

  • Realiza la multiplicación

= 9 – 2 + 3

  • Suma y luego resta

= 7 + 6 = 13

Conclusión

En conclusión, a veces una expresión puede contener dos operaciones al mismo nivel.

Por ejemplo, si una expresión contiene tanto un cuadrado como un cubo, se puede calcular primero uno u otro. Realice siempre la operación de izquierda a derecha siguiendo la regla PEMDAS. Si encuentra una expresión sin símbolos de agrupación como llaves, corchetes y paréntesis, puede hacerlo más fácil agregando sus propios símbolos de agrupación.

El trabajo con expresiones que tienen fracciones se resuelve simplificando primero el numerador seguido del denominador. El siguiente paso es simplificar el numerador y el denominador si es posible.

febrero 11, 2022 por Agrupación Aritmetica Blog División Fracciones Multiplicación Operaciones Resta Suma

Propiedad de identidad: explicación con ejemplos

Propiedad de identidad: explicación con ejemplos

¿Qué es la propiedad de identidad?

Los números reales son un conjunto ordenado de números que tienen propiedades únicas. Las propiedades básicas son conmutativa, asociativa, distributiva e identidad. Una propiedad de identidad es una propiedad que se aplica a un grupo de números como un conjunto. No se puede aplicar a un número individual solamente.

Se llama propiedad de identidad porque cuando se aplica a un número, el número conserva su “identidad”. La propiedad de identidad es verdadera para todas las operaciones aritméticas.

Propiedad de identidad de la suma

La propiedad de identidad de la suma es que cuando un número Nos sumado a cero, el resultado es el número en sí, es decir

norte + 0 = norte

El cero se llama identidad aditiva y se puede sumar a cualquier número real sin cambiar su valor. Estos son algunos ejemplos de propiedad de identidad de suma,

3 + 0 = 3 (enteros positivos)

-3 + 0 = -3 (Enteros negativos)

4/5 + 0 = 4/5 (Fracciones)

0,5 + 0 = 0,5 (decimales)

x + 0 = x (notación algebraica)

Esta propiedad también es válida para la resta, porque restar 0 a cualquier número es igual al número mismo. Por lo tanto, 0 también se llama identidad sustractiva.

Propiedad de identidad de la multiplicación

La propiedad de identidad de la multiplicación es que cuando un número Nos multiplicado por uno, el resultado es el número mismo, es decir

norte × 1 = norte

Uno se llama identidad multiplicativa y puede multiplicarse por cualquier número real sin cambiar su valor. Aquí hay algunos ejemplos de la propiedad de identidad de la multiplicación,

3 × 1 = 3 (Enteros positivos)

-3 × 1 = -3 (Enteros negativos)

4/5 × 1 = 4/5 (Fracciones)

0,5 × 1 = 0,5 (decimales)

x × 1 = x (notación algebraica)

Esta propiedad también es válida para la división, porque dividir un número por 1 es equivalente al número mismo. Por lo tanto, 1 también se llama identidad de división.

febrero 11, 2022 por Aritmetica Blog Decimales División Ejemplos Fracciones Multiplicación Operaciones Resta Suma

Matemáticas Conjugadas – Explicación y Ejemplos

Matemáticas Conjugadas – Explicación y Ejemplos

¿Alguna vez has visto dos pares de expresiones que difieren solo en el signo del medio? Es posible que haya encontrado un par de conjugados. Los conjugados en matemáticas son extremadamente útiles cuando queremos racionalizar expresiones radicales y números complejos.

Dos binomios se conjugan cuando tienen los mismos términos pero signos opuestos en el medio.

Este artículo mostrará cómo encontrar conjugados, comprender por qué los necesitamos y aplicarlos al racionalizar expresiones. Comencemos con lo más básico: entender qué representan los conjugados.

¿Qué es un conjugado en matemáticas?

Un ejemplo de un par de conjugados son los números complejos a + bi y a – bi. Observe cómo los términos son los mismos? Solo difieren los signos que se encuentran en el medio de cada par. Esto es exactamente lo que representan los conjugados en matemáticas.

Definición matemática conjugada

Conjugados en Matemáticas son dos pares de binomios con términos idénticos pero que comparten operaciones opuestas en el medio. Aquí hay algunos ejemplos más de pares conjugados:

  • x – y y x + y
  • 2√2 – 1 y 2√2 + 1
  • 3 – 2i y 3 + 2i

Según la definición de conjugados, cada par tiene términos idénticos, y cada uno difiere solo en el signo del medio.

¿Cómo encontrar el conjugado?

¿Qué pasa si nos dan un binomio y necesitamos encontrar su conjugado? Siempre podemos determinar el conjugado de un binomio dado identificando primero los términos y el signo del término original.

Una vez que los tengamos, su conjugado contendrá los mismos términos, pero se cambia el signo del medio (de + a – o de – a +). Aquí hay una tabla que muestra cómo se determinan los conjugados de cuatro binomios:

Dado el binomio condiciones Cambio de signo Conjugado
2x–y 2x, y – + 2x + y
√3+1 √3.1 + – √3 – 1
a2b-ab2 a2segundo, un segundo2 – + a2b+ab2
5 + 2i 5.2i + – √3 – 1

¿Cómo multiplicar por el conjugado?

¿Qué pasa si multiplicamos un binomio por conjugados? Hay dos casos posibles, y en cada caso aplicaremos un método diferente.

Caso 1: Multiplicación de un binomio por su conjugado

Si tenemos un binomio, m + n, su conjugado será m – n. ¿Notas algo sobre los dos? Estos dos, cuando se multiplican, devolverán la diferencia de sus cuadrados. Si necesita un repaso de esta propiedad algebraica, eche un vistazo a este artículo. Para nuestro ejemplo, tenemos:

(m – n)(m + n) = metro2 – no2

Esto significa que cuando se multiplica un binomio y su conjugado, el resultado será la diferencia de los cuadrados de sus términos. Aquí hay algunos ejemplos más que puedes probar:

Binomio Conjugado Producto
2x – 1 2x + 1 4x2 – 1
3ab+c 3ab-c 9a2B2 -vs2
√3 – 4 √3+4 3 – 16 = -13

Caso 2: multiplicar el conjugado de un binomio por una expresión diferente

En algunos casos (como la racionalización de expresiones de raíz), es posible que necesitemos multiplicar el conjugado de un binomio con una expresión diferente. Al tratar con estos problemas, asegúrese de revisar su conocimiento de:

Digamos que queremos multiplicar √3 + 1 por el conjugado de √2 – 1. Primero necesitamos encontrar el conjugado de √2 – 1. Tenemos √2 + 1. Dado que √3 + 1 y √2 + 1 son binomios, podemos aplicar el método FOIL para encontrar y simplificar el producto de dos binomios.

(√3 + 1)( √2 + 1) = (√3)( √2) + (√3)(1) + (1)( √2) + (1)(1)

= √6 + √3 + √2 + 1

Es hora de que aprendamos las aplicaciones comunes de los conjugados en matemáticas.

¿Cómo racionalizar expresiones de raíz usando conjugados?

Una de las aplicaciones más comunes de los conjugados ocurre cuando queremos racionalizar una expresión que contiene binomios radicales en el denominador.

Cuando racionalizamos una expresión regular, nuestro objetivo es tener un denominador que no contenga ningún término radical. Los conjugados son útiles cuando tenemos una expresión binomial en el denominador.

Podemos multiplicar el numerador y el denominador por los conjugados del denominador. ¿Por qué no probar un ejemplo y ver qué sucede con la expresión?

(√2 – 1) / (√2 + 1)

Si queremos simplificar la expresión anterior, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.

(√2 – 1) / (√2 + 1) (√2 – 1) / (√2 -1)

= [(√2 – 1) ·(√2 – 1)]/ [(√2 + 1)(√2 – 1)]

Simplifica el denominador usando la diferencia de dos cuadrados y simplifica el numerador elevando al cuadrado la expresión (√2 – 1).

= [(√2)2 – 2(√2)(1) + (1)2]/[ (√2)2 – (1)2]

= [2 – 2√2 + 1]/[2 – 1]

= 3 – 2√2

La expresión resultante no tiene más expresiones radicales en su denominador para confirme que ha sido racionalizado usando el conjugado del denominador. Por lo tanto, hemos visto cómo se usan los conjugados para racionalizar expresiones.

Ejemplo 1

Encuentra los conjugados de los siguientes binomios.

una. 2xy-y

B. min2 +m2no

contra a B C D

Solución

Volvamos a la definición fundamental de los conjugados: comparten términos idénticos pero signos diferentes.

una. Para 2xy – y, su conjugado siempre tendrá los mismos términos excepto que tiene + como su operación. Por lo tanto, su conjugado es 2xy+y.

B. De manera similar, usamos los mismos términos pero la operación inversa, por lo que el conjugado de mn2 +m2n es min2 -metro2no.

contra Finalmente, si usamos el mismo proceso, encontraremos que el conjugado de ab – cd es b+cd.

Ejemplo 2

Cuando se le dé una expresión lineal, ax + b, describa el resultado cuando:

una. se suma la expresión lineal y su conjugado.
B. se resta el conjugado de la expresión lineal.

Solución

Avancemos y primero encontremos el conjugado de la expresión lineal. Usando los mismos términos pero la operación inversa, el conjugado de ax + b es ax – b.

Sumando los dos binomios, tenemos ax + b + ax – b = 2ax. La suma es en realidad el doble del valor del término.

una. En general, el la suma de una expresión lineal y su conjugada es igual al doble del valor del primer término del binomio.

Hagamos lo mismo por su diferencia. Se tiene:

(ax + b) – (ax – b) = hacha + b – hacha + b

= 2b

La diferencia es el doble del segundo término del binomio.

B. Esto significa que cuando el conjugado de un binomio se resta del binomio, el resultado es el doble del segundo término del binomio.

Ejemplo 3

Usa tu conocimiento de las conjugaciones para responder las siguientes preguntas.

una. ¿Cuál es el conjugado de (1000 – 1)?
B. ¿Cuál es el resultado cuando multiplicas (1000 – 1) por su conjugado?
contra Usando lo que has observado, describe cómo puedes encontrar el producto de 81 y 79.

Solución

una. Usando los mismos términos pero la operación inversa, el conjugado de (1000 – 1) es (1000 + 1).

B. Cuando multiplicamos un binomio por su conjugado, elevamos al cuadrado ambos términos y restamos el resultado. Entonces tenemos (1000)2 – 12 = 999 999.

contra Esto significa que podemos expresar 81 y 79 como conjugados entre sí: 81 = 80 + 1 y 79 = 80 – 1. Usando los dos binomios, el el producto de 81 y 79 es 802 – 12 = 6399.

Ejemplo 4

Encuentra el conjugado del denominador, luego racionaliza la expresión (-2 + √3) / (6 – 3√3).

Solución

Usando los mismos términos pero operaciones opuestas, la conjugado de 6 – 3√3 es 6 + 3√3. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado.

(-1 + √3) / (6 – 3√3) (6 + 3√3)/ (6 +3√3)

= [(-1 + √3) (6 + 3√3)] / [(6 – 3√3) (6 + 3√3)]

Usa el método FOIL para simplificar el numerador y la diferencia de dos cuadrados al denominador.

= [(-1)(6) + (-1) (3√3) + (√3)(6) + (√3)(3√3)]/ [(6)2 – (3√3)2]

= [-6 – 3√3 + 6√3 + 9]/ [36 – 27]

= (3√3 + 3)/ 9

= 3(√3 +1)/ 9

= 1/3 (√3 + 1)

Acabamos de simplificar la expresión dada y ahora tenemos 1/3 (√3+1).

enero 21, 2022 por Blog Multiplicación Operaciones Pares Preguntas Resta

MATEMÁTICAS EGIPCIAS – NÚMEROS Y CIFRAS

MATEMÁTICAS EGIPCIAS – NÚMEROS Y CIFRAS
Figuras jeroglíficas del Antiguo Egipto

Figuras jeroglíficas del Antiguo Egipto

Los primeros egipcios se establecieron a lo largo del fértil valle del Nilo ya alrededor del 6000 a. C., y comenzaron a registrar patrones de fases y estaciones lunares, tanto por razones agrícolas como religiosas.

Los topógrafos del faraón usaron medidas basadas en partes del cuerpo (una palma era el ancho de la mano, un codo la medida desde el codo hasta la punta de los dedos) para medir tierras y edificios muy temprano en la historia de Egipto, y se ha desarrollado un sistema numérico decimal basado en nuestros diez dedos. Sin embargo, el texto matemático egipcio más antiguo descubierto hasta la fecha es el Papiro de Moscú, que data del Reino Medio de Egipto alrededor de 2000 – 1800 a. C.

Sistema numérico del antiguo Egipto

Se cree que los egipcios introdujeron el primer sistema de numeración Base 10 completamente desarrollado al menos ya en el 2700 a. C. (y probablemente mucho antes). Los números escritos usaban un trazo para las unidades, un símbolo del hueso del talón para las decenas, una bobina de cuerda para cientos y una planta de loto para miles, así como otros símbolos jeroglíficos para poderes superiores que iban desde diez hasta un millón. Sin embargo, no existía el concepto de valor posicional, por lo que los números más grandes eran bastante difíciles de manejar (aunque un millón solo requería un carácter, un millón menos uno requería cincuenta y cuatro caracteres).

Método de multiplicación del Antiguo Egipto

Método de multiplicación del Antiguo Egipto

El papiro de Rhind, que data de alrededor del 1650 a. C. También contiene evidencia de otros conocimientos matemáticos, incluidas fracciones unitarias, números primos y compuestos, medias aritméticas, geométricas y armónicas, y cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden, así como series geométricas y aritméticas. El papiro de Berlín, que data de alrededor del 1300 a. C., muestra que los antiguos egipcios podían resolver ecuaciones algebraicas (cuadráticas) de segundo orden.

La multiplicación, por ejemplo, se logró mediante un proceso de duplicar repetidamente el número a multiplicar en un lado y en el otro, esencialmente una especie de multiplicación de factores binarios similar a la utilizada por las computadoras modernas (ver el ejemplo a la derecha). Estos bloques contadores correspondientes podrían usarse luego como una especie de tabla de referencia de multiplicación: primero, se aisló la combinación de potencias de dos que suman el número por multiplicar, luego los bloques contadores correspondientes del otro lado dieron la respuesta. Hizo un uso eficaz del concepto de números binarios, más de 3.000 años antes de que Leibniz lo introdujera en Occidente, y muchos años más antes de que el desarrollo de la computadora explorara plenamente su potencial.

Los problemas prácticos del comercio y el mercado llevaron al desarrollo de una notación para fracciones. Los papiros que nos han llegado demuestran el uso de fracciones unitarias basadas en el símbolo del ojo de Horus, donde cada parte del ojo representaba una fracción diferente, cada mitad de la anterior (es decir, mitad, cuarto, octavo, decimosexto, treinta -segundo, sesenta y cuatro), de modo que el total era un sesenta y cuatro menos que un todo, el primer ejemplo conocido de una serie geométrica.

Método de división del Antiguo Egipto

Método de división del Antiguo Egipto

Las fracciones unitarias también se pueden usar para sumas de división simple. Por ejemplo, si dividieran 3 panes entre 5 personas, primero dividirían dos de los panes en tercios y el tercero en quintos, luego dividirían el tercio restante del segundo pan en cinco partes. De modo que cada persona recibiría un tercio más un quinto más un quinceavo (que son tres quintos, como cabría esperar).

Los egipcios aproximaron el área de un círculo usando formas cuya área conocían. Observaron que el área de un círculo con un diámetro de 9 unidades, por ejemplo, estaba muy cerca del área de un cuadrado con un lado de 8 unidades, por lo que el área de círculos de otros diámetros podría ser obtenido multiplicando el diámetro por 8??9 luego cuadrándolo. Esto da una aproximación eficiente de ?? con una precisión del uno por ciento.

Las pirámides mismas son otro indicio de la sofisticación de las matemáticas egipcias. Aparte de las afirmaciones de que las pirámides son las primeras estructuras conocidas que observan la proporción áurea de 1: 1.618 (lo que puede haber sucedido por razones puramente estéticas, no matemáticas), ciertamente hay alguna evidencia de que conocían la fórmula del volumen de una pirámide. – 1??3 multiplicado por la altura multiplicada por el largo multiplicado por el ancho, así como una pirámide truncada o cortada.

También eran conscientes, mucho antes de Pitágoras, de la regla de que un triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades da un ángulo recto perfecto, y los constructores egipcios usaban cuerdas atadas a intervalos de 3, 4 y 5 unidades para ‘ asegurar ángulos correctos para su mampostería (de hecho, el triángulo rectángulo 3-4-5 a menudo se llama “egipcio”).

diciembre 4, 2021 por Ángulos Aritmetica Blog División Fracciones Multiplicación Resta Suma Unidades

LEONARDO FIBONACCI – MATEMÁTICO ITALIANO (ESCRITO LEBER ABACI)

LEONARDO FIBONACCI – MATEMÁTICO ITALIANO (ESCRITO LEBER ABACI)
Leonardo de Pisa (Fibonacci)

Leonardo de Pisa (Fibonacci) (c.1170-1250)

Italiano del siglo XIII Leonardo de Pisa, más conocido por su sobrenombre de Fibonacci, fue quizás el matemático occidental más talentoso de la Edad Media. Poco se sabe de su vida, excepto que era hijo de un oficial de aduanas y de niño viajó al norte de África con su padre, donde aprendió matemáticas árabes. A su regreso a Italia, ayudó a difundir este conocimiento en toda Europa, iniciando así un rejuvenecimiento de las matemáticas europeas, que habían permanecido en gran parte inactivas durante siglos durante la Edad Media.

En particular, en 1202 escribió un libro enormemente influyente titulado “Liber Abaci” (“Libro de cálculo”), en el que promovió el uso del sistema numérico hindú-árabe, describiendo sus muchos beneficios para los comerciantes y matemáticos sobre los incómodos romanos. sistema de numeración entonces en uso en Europa. A pesar de sus obvias ventajas, la adopción del sistema en Europa fue lenta (después de todo, durante la época de las Cruzadas contra el Islam, una época en la que todo lo árabe era visto con gran sospecha), e incluso los números arábigos fueron prohibidos en la ciudad de Florencia en 1299 con el pretexto de que eran más fáciles de falsificar que los números romanos. Sin embargo, el sentido común finalmente prevaleció y el nuevo sistema se adoptó en toda Europa en el siglo XV, volviendo obsoleto el sistema romano. La notación de barra horizontal para fracciones también se utilizó por primera vez en este trabajo (aunque siguiendo la práctica árabe de colocar la fracción a la izquierda del número entero).

secuencia Fibonacci

El descubrimiento de la famosa secuencia de Fibonacci

El descubrimiento de la famosa secuencia de Fibonacci

Fibonacci es más conocido, sin embargo, por su introducción en Europa de un secuencia de números especiales, que desde entonces se conoce como los números de Fibonacci o la secuencia de Fibonacci. Descubrió la secuencia, la primera secuencia numérica recursiva conocida en Europa, mientras consideraba un problema práctico en el “Liber Abaci” que implicaba el crecimiento de una población hipotética de conejos basada en supuestos idealizados. Señala que después de cada generación mensual el número de parejas de conejos aumenta de 1 a 2 a 3 a 5 a 8 a 13, etc., e identifica cómo progresa la secuencia sumando los dos términos anteriores (en términos matemáticos, Fmetro = Fmetro-1 + Fmetro-2), una secuencia que teóricamente podría extenderse indefinidamente.

La secuencia, que de hecho era conocida por los matemáticos indios desde el siglo VI, tiene muchas propiedades matemáticas interesantes, y muchas de las implicaciones y relaciones de la secuencia no se descubrieron hasta varios siglos después de la muerte de Fibonacci. Por ejemplo, la secuencia se regenera a sí misma de una manera sorprendente: un número F de cada tres es divisible por 2 (F3 = 2), uno de cada cuatro números F es divisible por 3 (F4 = 3), cada quinto número F es divisible por 5 (F5 = 5), cada sexto número F es divisible por 8 (F6 = 8), cada séptimo número F es divisible por 13 (F7 = 13), etc. También se ha demostrado que los números en la secuencia son de naturaleza ubicua: entre otras, muchas especies de plantas con flores tienen números de pétalos en la secuencia de Fibonacci; los arreglos en espiral de las piñas aparecen en 5 y 8, los de piñas en 8 y 13, y las semillas de cabezas de girasol aparecen en 21, 34, 55 o incluso más en la secuencia; etc.

La proporción áurea φ

La proporción áurea se puede derivar de la secuencia de Fibonacci

La proporción áurea se puede derivar de la secuencia de Fibonacci

En la década de 1750, Robert Simson observó que la relación de cada término en la secuencia de Fibonacci con el término anterior se aproxima, con mayor precisión cuanto más altos son los términos, una relación de aproximadamente 1: 1,6180339887 (c ‘es de hecho un número irracional igual a (1 + √5)??2 que desde entonces se ha calculado con miles de decimales). Este valor se conoce como proporción áurea, también conocida como proporción áurea, sección áurea, proporción divina, etc., y generalmente se la conoce como la letra griega phi (o, a veces, la letra mayúscula Phi Φ). Esencialmente, dos cantidades están en la proporción áurea si la proporción de la suma de las cantidades a la mayor cantidad es igual a la proporción de la mayor cantidad a la más pequeña. La proporción áurea en sí tiene muchas propiedades únicas, como 1???? = φ – 1 (0,618…) y2 = φ + 1 (2.618…), y hay innumerables ejemplos de esto tanto en la naturaleza como en el mundo humano.

Un rectángulo con lados en una proporción de 1: φ se conoce como el rectángulo áureo, y muchos artistas y arquitectos a lo largo de la historia (que se remontan al antiguo Egipto y Grecia, pero particularmente popular en el arte renacentista de Leonardo da Vinci y sus contemporáneos) proporcionaron sus funciona aproximadamente utilizando la proporción áurea y los rectángulos áureos, que se consideran ampliamente estéticos por naturaleza. Un arco que conecta puntos opuestos de rectángulos dorados anidados cada vez más pequeños forma una espiral logarítmica, conocida como la espiral dorada. La proporción áurea y la espiral áurea también se pueden encontrar en un sorprendente número de casos de la naturaleza, desde conchas marinas y flores hasta cuernos de animales, cuerpos humanos, sistemas de tormentas y galaxias.

Debe recordarse, sin embargo, que la secuencia de Fibonacci era, de hecho, solo un elemento muy menor en “Liber Abaci”; de hecho, a la secuencia solo se le dio el nombre de Fibonacci en 1877 cuando Eduouard Lucas decidió rendirle homenaje dándole su nombre. a la serie, y que el propio Fibonacci no fue responsable de identificar ninguna de las propiedades matemáticas interesantes de la secuencia, su relación con la proporción áurea y los rectángulos y espirales áureos, etc.

Multiplicación de redes

Fibonacci introdujo la multiplicación de redes en Europa

Fibonacci introdujo la multiplicación de redes en Europa

Sin embargo, la influencia del libro en las matemáticas medievales es innegable, y también incluye discusiones de una serie de otros problemas matemáticos, como el teorema chino del resto, números primos y perfectos, fórmulas para aritmética en serie y números de pirámides cuadradas, demostraciones geométricas euclidianas y un estudio de ecuaciones lineales simultáneas a lo largo de las líneas de Diofanto y Al-Karaji. También describió el método de multiplicación de celosía (o tamiz) para multiplicar números grandes, un método, desarrollado originalmente por matemáticos islámicos como Al-Khwarizmi, algorítmicamente equivalente a una multiplicación larga.

Tampoco fue el único libro de “Liber Abaci” Fibonacci, aunque fue el más importante. Su “Liber Quadratorum” (“El libro de los cuadrados”), por ejemplo, es un libro de álgebra, publicado en 1225 en el que aparece una declaración de lo que ahora se llama identidad de Fibonacci, a veces también conocido como el nombre de identidad de Brahmagupta después del pozo anterior. -conocido matemático indio que también llegó a las mismas conclusiones- que el producto de dos sumas de dos cuadrados es en sí mismo una suma de dos cuadrados, por ejemplo (12 + 42) (22 + 72) = 262 + 152 = 302 +12.

diciembre 3, 2021 por Ángulos Aritmetica Blog Decimales Fracciones Multiplicación

Evariste Galois – matemático y activista político francés

Evariste Galois – matemático y activista político francés

Biografía

Évariste Galois

Évariste Galois (1811-1832)

Évariste Galois era un republicano radical y una figura algo romántica en la historia matemática francesa. Murió en duelo a los 20 años, pero las obras que publicó poco antes de su muerte se hicieron un nombre en los círculos matemáticos y continuarían permitiendo a los matemáticos posteriores probar problemas que habían sido imposibles durante muchos siglos. También sentó las bases para muchos desarrollos posteriores en matemáticas, especialmente los comienzos de las áreas importantes del álgebra abstracta y la teoría de grupos.

A pesar de su pobre desempeño en la escuela (aprueba dos veces los exámenes de acceso a la École Polytechnique), el joven Galois devora la obra de Legendre y Lagrange en su tiempo libre. A la edad de 17 años, comenzó a hacer descubrimientos fundamentales en la teoría de ecuaciones polinomiales (ecuaciones construidas a partir de variables y constantes, utilizando solo las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros no negativos, como X2 – 4X + 7 = 0). Demostró efectivamente que no puede haber una fórmula general para resolver ecuaciones quínticas (polinomios que incluyen un término de X5), tal como lo había hecho el joven noruego Niels Henrik Abel unos años antes, aunque con un método diferente. Pero también pudo demostrar la idea más general y poderosa de que no existe un método algebraico general para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro.

Un ejemplo de las notas bastante rebeldes de Galois

Un ejemplo de las notas bastante rebeldes de Galois

Galois logró esta prueba general al examinar si el “grupo de permutación” de sus raíces (ahora conocido como el grupo de Galois) tenía alguna estructura. Fue el primero en utilizar el término “grupo” en su sentido matemático moderno de un grupo de permutaciones (presagiando el campo moderno de la teoría de grupos), y su enfoque fértil, ahora conocido como teoría de Galois, ha sido adaptado por matemáticos posteriores a muchos otras áreas de las matemáticas además de la teoría de ecuaciones.

El avance de Galois, a su vez, condujo a pruebas definitivas (o más bien refutaciones) más adelante en el siglo de los llamados “Tres problemas clásicos“Problemas que fueron formulados por primera vez por Platón y otros en la antigua Grecia: la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo (ambas resultaron imposibles en 1837), y la cuadratura del círculo (también resultó imposible en 1882).

Galois era un exaltado político (fue arrestado varias veces por actos políticos), y sus afiliaciones políticas y actividades como un republicano acérrimo durante el reinado de Luis Felipe lo distrajeron continuamente de su trabajo matemático. Murió en duelo en 1832, en circunstancias bastante turbias, pero había pasado toda la noche anterior exponiendo sus ideas matemáticas en una detallada carta a su amigo Auguste Chevalier, convencido de su inminente muerte.

Paradójicamente, su joven contemporáneo Abel también tuvo una carrera prometedora acortada. Murió en pobreza de tuberculosis a la edad de 26 años, aunque su legado perdura en el término “abeliano” (generalmente escrito con una “a” minúscula), que desde entonces se ha convertido en un lugar común en las discusiones sobre conceptos como grupo abeliano, categoría abeliana. y variedad abeliana.

noviembre 30, 2021 por Blog Multiplicación Operaciones Resta Suma

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Carlos Huertas

Carlos Huertas

Matemático

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