La frase “cerrado bajo adiciónse menciona a menudo cuando se estudian las propiedades y características de diferentes tipos de números. La propiedad de cierre de la suma destaca una característica particular de los números racionales (entre otros grupos de números). Saber qué conjunto de números está cerrado por adición también ayudará a predecir la naturaleza de las sumas de cantidades complejas.
Cuando un conjunto de números o cantidades se cierra por adición, su suma siempre procederá del mismo conjunto de números. También use contraejemplos para refutar la propiedad de cierre de los números.
Este artículo cubre la base de la propiedad de cierre por adición y tiene como objetivo hacerle sentirse seguro identificando un grupo de números que están cerrados por sumaasí como saber ubicar un grupo de números no cerrados por medio de la suma.
¡Hay muchos ejercicios en esta discusión para ayudarlo a comprender la propiedad de cierre de la suma!
¿Qué significa cerrado bajo suma?
Cerrado bajo suma significa que tlas cantidades añadidas satisfacen la propiedad de cierre de la adición, que establece que la suma de dos o más miembros del conjunto siempre será un miembro del conjunto. Los números enteros, por ejemplo, se cierran por suma.
Esto significa que cuando se suman dos números enteros, la suma resultante también es un número entero.
Eche un vistazo a la ilustración de arriba para comprender mejor el concepto de suma cerrada. Cuando se agregan dos pastelitos a otros ocho pastelitos, se espera que haya diez pastelitos. no tiene sentido que la combinación resultante devolverá nueve pastelitos y un pastel.
Extienda esto a un conjunto de números y expresiones que satisfagan la propiedad de cierre. Cuando se dice que un grupo de cantidades o miembros de un conjunto es cerrado por adición, su suma siempre devolverá otro miembro del conjunto. Eche un vistazo a los diferentes conjuntos (y subconjuntos) de números reales:
- Los números irracionales son todos los números reales que no se pueden escribir como una razón de dos números enteros.
- Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como la razón de dos números enteros.
- Los números enteros son números enteros positivos y negativos.
- Los números enteros son números naturales o contados más cero.
- Por supuesto, los números naturales son los números que usamos para contar.
En general, todos los números racionales son cerrados por suma. Esto significa que agregar una combinación de estos tipos de números también devolverá números reales. Además, cada subconjunto de números también se cierra por adición.
Aquí hay algunos ejemplos y diferentes tipos de números racionales cerrados por adición:
tipo de numeros |
Adición |
Tipo de número resultante |
Racional |
begin{alineado}dfrac{1}{2} + dfrac{3}{4} = dfrac{5}{4}end{alineado} |
Racional |
Entero |
begin{alineado} -4 + 12 = 8end{alineado} |
Entero |
Nombre completo |
begin{alineado} 0+ 1200 = 1200end{alineado} |
Nombre completo |
Todo natural |
begin{alineado} 100 + 500 = 600end{alineado} |
Todo natural |
Estos son solo algunos ejemplos que muestran cómo los números racionales se cierran mediante la suma. Prueba formal de cierre de propiedad de la factura requiere conocimientos más avanzadospor lo que es más importante centrarse en una pregunta que sea fácil de responder: ¿Los números irracionales también son cerrados por adición?
¿Por qué los números irracionales no son cerrados bajo la suma?
Los números irracionales no se consideran cerrados por adición porque cuando se suma un número irracional y su inverso aditivo, el resultado es cero. Como se estableció, el cero es un número racional y, de hecho, un número entero. Esto va en contra de la definición de la propiedad de cierre: todos los miembros del conjunto deben satisfacer la condición.
begin{alineado}sqrt{3} + sqrt{4} &= sqrt{3} + sqrt{4}\ sqrt{5} + 3sqrt{5} &= 4sqrt{5 }\2pi + 3pi &= 5pi\dfrac{e}{3} + dfrac{sqrt{2}}{3} &= dfrac{e + sqrt{2} {3}end{alineado}
A primera vista, los números irracionales parecen cerrados por adición. Eche un vistazo a los cuatro ejemplos que se muestran: cada uno de estos pares de números irracionales también devuelve un número irracional para una suma. Sin embargo, la propiedad de cierre debe aplicarse a todos los números irracionales para que se consideren cerrados por adición.
begin{alineado} sqrt{7} + (-sqrt{7}) &= 0\ pi + -pi&= 0\2e + (-2e) &= 0\4sqrt{5 } + (-4sqrt{5})&= 0end{alineado}
Dado que cada par devuelve una suma de cero y cero no es un número irracional, los números irracionales no se cierran por adición. Cuando se le pida que pruebe esta afirmación nuevamente, ¡solo piense en contraejemplos!
En la siguiente sección, explorar subconjuntos más particulares de números que se cierran mediante la suma. Además, aprenda a identificar un conjunto de números que no satisfagan la propiedad de cierre de la suma. Cuando esté listo, pase a problemas de muestra y preguntas de práctica.
Ejemplo 1
¿Los enteros pares son cerrados por suma?
Solución
enteros pares son números divisibles por dos, como ${2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …}$. Cuando se suman dos números pares, su suma también será siempre par. Ahora primero prueba con diferentes pares de números pares para entender esta afirmación y luego trata de probarla usando formas generales.
primer numero par |
segundo numero par |
Suma de números pares |
begin{alineado}12end{alineado} |
begin{alineado}14end{alineado} |
begin{alineado}12 + 14 &= 26 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado} |
begin{alineado}200end{alineado} |
begin{alineado}48end{alineado} |
begin{alineado}200 + 48&= 248 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado} |
begin{alineado}580end{alineado} |
begin{alineado}124end{alineado} |
begin{alineado}580+124&= 704 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado} |
Claro, no es suficiente predicar simplemente con el ejemplos (como aprendimos de los números irracionales) confirmar que un grupo de números es cerrado por adición. Ahora, ¿Cómo probar que los números pares son cerrados por suma?
Tenga en cuenta que todos los números pares son múltiplos de $2$, por lo que los números pares se pueden escribir como el producto de un factor y $2$.
- Sea el primer número par igual a $2 cdot k = 2k$.
- Sea el segundo número par igual a $2 cdot l = 2l$.
suma los dos numeros pares$2k$ y $2l$, para observar la naturaleza de la suma resultante.
begin{alineado}2k + 2l &= 2k + 2l\&= 2(k + l)end{alineado}
Esto significa que la suma de los dos números se puede expresar como $2(k + l)$, que también es múltiplo de $2$ y por lo tanto un número par.
¿Qué pasa si hay tres o más números pares?
begin{alineado}2k_1 + 2k_2 + 2k_3 + …+ 2k_{n- 1} + 2k_n &= 2(k_1 + k_2+k_3+ …+ k_{n -1}+k_n)end{alineado}
Esto confirma que la suma de tres o más números pares también es un número par. Por lo tanto, es seguro concluir que incluso los números enteros se cierran mediante la suma.
Ejemplo 2
¿Los enteros impares son cerrados por suma?
Solución
los enteros impares son números enteros que terminan en $1$, $3$, $5$, $7$, Donde $9$ y se ha establecido que la suma de dos números impares siempre será par.
primer numero impar |
segundo numero impar |
Suma de números impares |
begin{alineado}21end{alineado} |
begin{alineado}45end{alineado} |
begin{alineado}21 + 45 &= 66 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado} |
begin{alineado}157end{alineado} |
begin{alineado}123end{alineado} |
begin{alineado}157+123&= 280 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado} |
begin{alineado}571end{alineado} |
begin{alineado}109end{alineado} |
begin{alineado}579 + 109&= 680 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado} |
Estos tres ejemplos son ejemplos excelentes que muestran que los enteros impares no se cierran mediante la suma. También para generalizar, recuerda que los números impares se pueden escribir $2,000 + $1, así que observe lo que sucede cuando se suman dos enteros impares.
begin{alineado}(2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) &= 2k_1 + 2k_2 + 2\&= 2(k_ 1+ k_2 + 1)\&Rightarrow textbf{Par}end{alineado }
Hay no hay necesidad de generalizar más — para refutar la propiedad de clausura de un conjunto dado de números, ¡todo lo que necesitamos son contraejemplos! Esto concluye que los enteros impares no se cierran mediante la suma.
Aplique un proceso similar cuando intente determinar si un grupo de números es cerrado por suma o no. Usa sus propiedades para generalizar la propiedad de cierre para todos los números y encontrar contraejemplos para refutar las afirmaciones. Cuando esté listo para probar su comprensión de la propiedad de cierre que se agrega, diríjase a la sección a continuación.
Preguntas prácticas
1. ¿Cuáles de los siguientes números están cerrados por suma?
A. Enteros impares
B. Números irracionales
C. Cuadrados perfectos
D. Números pares enteros
2. ¿Cuáles de los siguientes números no son cerrados por suma?
A. Números naturales
B. Fracciones
C. Números impares
D. Números pares
3. Verdadero o falso: La suma de dos números irracionales siempre serán números racionales.
4. Verdadero o falso: La suma de dos números divisibles por $5$ siempre será un número entero.
5. Verdadero o falso: los decimales positivos se cierran bajo la suma.
6. ¿Cuál de los siguientes números irracionales devolverá un número racional cuando se suma a $2sqrt{3}$?
A.$-4sqrt{3}$
B. $-2sqrt{3}$
C.$2sqrt{3}$
D.$4sqrt{3}$
7. ¿Los múltiplos de $4 se cierran con sumas?
R. Sí
B No
8. ¿Los números primos son cerrados por adición?
R. Sí
B No
9. Complete el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera:
La oración de suma $4 + 109 = $113 muestra que __________.
A. los números impares se cierran mediante la suma.
B. los números enteros no se cierran por suma.
C. los enteros se cierran por suma.
D. los números impares no se cierran mediante la suma.
10. Complete el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera:
La oración de suma $dfrac{1}{2} + dfrac{1}{2} = 1$ muestra que __________.
A. los números racionales se cierran por adición.
B. los números irracionales no se cierran por adición.
C. los números irracionales se cierran por adición.
D. los números racionales no se cierran por adición.
corregido
1.D
2.C
3. Falso
4. Cierto
5. Cierto
6.B
7. Sí
8. No
9.C
10. uno