Un número entero que se puede dividir por 2 es un número par, mientras que un número entero que no se puede dividir por 2 es un número impar. Pueden ser positivos o negativos. Los números impares siempre están entre números pares y viceversa.
Para diferenciar entre números pares e impares, siempre buscas su dígito final. El último dígito de un número par siempre es 0, 2, 4, 6 u 8, mientras que el último dígito de un número impar siempre es 1, 3, 5, 7 o 9.
Ejemplos
Estos son algunos ejemplos de números pares:
-22, -10, 0, 6, 18, 234.
Los números anteriores son pares porque terminan en 0, 2, 4, 6 u 8.
Estos son algunos ejemplos de números impares:
-101, -17, 1, 9, 23, 985.
Los números anteriores son impares porque terminan en 1, 3, 5, 7 o 9.
Propiedades
Los números pares e impares tienen propiedades especiales con respecto a las operaciones algebraicas (suma, resta y multiplicación). Siempre que aplicamos operaciones algebraicas a dos números pares o impares, siempre obtenemos un número par o impar. Excluimos la división aquí porque la división a veces te da el resultado en fracciones al hablar de propiedades particulares.
Cuando sumamos o restamos dos números pares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 6 + 4 = 10
6 – 4 = 2
Cuando sumamos o restamos un número par y un número impar, el resultado siempre es impar.Por ejemplo, 7 + 4 = 11
7 – 4 = 3
Cuando sumamos o restamos dos números impares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 7 + 3 = 10
7 – 3 = 4
Cuando multiplicamos dos números pares, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo, 6 × 4 = 24
Cuando multiplicamos un número par y un número impar, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo, 7 × 4 = 28
Cuando multiplicamos dos números impares, el resultado siempre es un número impar. Por ejemplo, 7 × 3 = 21
Generalización de números pares e impares
También podemos generalizar números pares e impares. Por ejemplo, si ‘n’ es un número par, entonces el siguiente número impar es ‘n+1’, y el siguiente número par es ‘n+2’, y así sucesivamente. De manera similar, si ‘n’ es un número impar, entonces el siguiente número par es ‘n + 1’, y el siguiente número impar es ‘n + 2’, y así sucesivamente.
Por ejemplo, si queremos escribir una secuencia de cinco números impares a partir del 73, podemos escribirla así:
73, 73+2, 73+4, 73+6, 73+7
73, 75, 77, 79, 81
tabla de numeros
La siguiente tabla es la tabla de números del 1 al 100, donde el los números impares están resaltados en amarillo y el los números pares se resaltan en verde.
La palabra ‘conmutativo‘está tomado de la palabra francesa’viajar diariamente,‘ que significa moverse. Para que los números o las variables tengan la propiedad conmutativa, pueden moverse (dentro de una expresión) como un viajero y dar el mismo resultado cuando se les aplica una operación particular. Desde la antigüedad se conocía la propiedad conmutativa, pero los matemáticos empezaron a utilizarla a finales del siglo XVIII.y siglo.
el la propiedad conmutativa está relacionada con las operaciones binarias y funciones Si ambos elementos siguen la propiedad conmutativa bajo una operación, se dice que están conmutados bajo esa operación en particular.
¿Qué es la propiedad conmutativa?
Si cambiar el orden de los números no cambia el resultado de una determinada expresión matemática, entonces la operación es conmutativa. Solo la suma y la multiplicación son conmutativas, mientras que la resta y la división no son conmutativas.
Propiedad conmutativa de la suma
De acuerdo con la propiedad conmutativa de la suma, si los números se suman en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se suma al número b y el resultado es igual a algún número pagsentonces si intercambiamos las posiciones de a y b, el resultado siempre es igual a pags es decir
un + segundo = segundo + un = pag
Los números a y b se llaman sumandos.
Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir
un + segundo + c + re = re + c + segundo + un
Ejemplo 1
Demostrar que los siguientes números cumplen la propiedad conmutativa de la suma:
2, 4, 6 y 9
2 + 4 + 6 + 9 = 21
9 + 6 + 4 + 2 = 21
El resultado es el mismo en ambos casos. De donde,
2 + 4 + 6 + 9 = 9 + 6 + 4 + 2
El ejemplo concreto es que si desea realizar una encuesta en su sociedad sobre la cantidad de niños en cada casa, puede comenzar desde cualquier casa y contar la cantidad de niños en cada casa y sumarlos. El orden de la casa no es importante aquí.
Los otros ejemplos reales usan un par de guantes, un par de zapatos y un par de calcetines son ejemplos de la propiedad conmutativa.
Propiedad conmutativa de la multiplicación
De acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, si los números se multiplican en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se multiplica por el número b y el resultado es igual a algún número qentonces si intercambiamos las posiciones de a y b, el resultado siempre es igual a q es decir
un × segundo = segundo × un = q
Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir
un × segundo × c × re = re × c × segundo × un
Las composiciones de funciones y la multiplicación de matrices tampoco son conmutativas.
Ejemplo 2
Demuestre que los siguientes números obedecen la propiedad conmutativa de la multiplicación:
2, 4, 6 y 9
2×4×6×9 = 432
9 × 6 × 4 × 2 = 432
El resultado es el mismo en ambos casos. De donde,
2×4×6×9 = 9×6×4×2
¿Por qué la resta y la división no son conmutativas?
Para entender por qué la resta y la división no siguen la regla conmutativa, sigue los ejemplos a continuación.
Ejemplo 3
Indica si la siguiente expresión es verdadera.
un – segundo = segundo – un
Paso 1: ¿Qué debes mostrar?
un – segundo = segundo – un
Paso 2: Toma el lado izquierdo y trata de probar que es igual al lado derecho.
una B
–1 (– a + b) = – (– a + b)
Paso 4: Invertir los sumandos.
– (b – a)
Paso 5: Vea si obtiene el resultado deseado.
a – b = – (b – a)
Paso 6: Exponga sus conclusiones.
Ya que,
a – b = – (b – a)
De donde,
un – segundo ≠ segundo – un
Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.
Ejemplo 4
Indica si la siguiente expresión es verdadera.
2a ÷ a = a ÷ 2a
Paso 1: ¿Qué debes mostrar?
2a ÷ a = a ÷ 2a
Paso 2: Tome el lado izquierdo.
2a ÷ un
2a ÷ uno = 2
Paso 4: Resuelve el lado derecho ahora.
uno ÷ 2a = 1/2
Paso 5: Exponga sus conclusiones.
Ya que,
2a ÷ uno = 2
uno ÷ 2a = 1/2
De donde,
2a ÷ un ≠ un ÷ 2a
Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.
El orden de las operaciones se puede definir como un procedimiento estándar que lo guía sobre qué cálculos comenzar en una expresión con múltiples operaciones aritméticas. Sin un orden de operación coherente, se pueden cometer grandes errores durante el cálculo.
Por ejemplo, una expresión que implica más de una operación, como resta, suma, multiplicación o división, requiere una forma estándar de saber qué operación realizar primero.
Por ejemplo, si desea resolver un problema como; 5 + 2 x 3, el problema es ¿qué operación comienza primero?
Debido a que este problema tiene dos opciones para resolverlo, entonces, ¿cuál es la respuesta correcta?
Si hacemos primero la suma y luego la multiplicación, el resultado es:
5 + 2 x 3 = (5 + 2) x 3 = 10 x 3 = 30
Si primero hacemos la multiplicación seguida de la suma, el resultado es:
5 + 2×3 = 5 + (2×3) = 5 + 6 = 11
Para ver cuál es la respuesta correcta, existe un mnemotécnico “PEMDAS”, que es útil porque nos recuerda el orden correcto de las operaciones.
PEMDAS
PEMDAS es un acrónimo que significa paréntesis, exponentes, multiplicación, suma y resta. El orden de las operaciones es:
P es para paréntesis: (), corchetes []llaves {} y barras de fracción.
E es para exponente incluyendo raíces.
M es para multiplicación.
D es para División.
A es para la adición.
S es para Resta.
Reglas PEMDAS
Comience siempre calculando todas las expresiones entre paréntesis
Simplifique todos los exponentes, como raíces cuadradas, cuadrados, cubos y raíces cúbicas.
Multiplica y divide de izquierda a derecha
Finalmente, suma y resta de la misma manera, trabajando de izquierda a derecha.
Una forma de dominar este orden de operación es recordar una de las siguientes tres frases; Elige el que recordarás más fácilmente.
“Grandes elefantes destruyen ratones y caracoles”.
“Los elefantes rosas destruyen ratones y caracoles”.
Ejemplo 1
Resolver
30 ÷ 5×2+1
Solución
Debido a que no hay paréntesis ni exponentes, comience con la multiplicación y luego con la división, trabajando de izquierda a derecha. Completa la operación por adición.
30 ÷ 5 = 6
6×2=12
12 + 1 = 13
NOTA: Cabe señalar que, aunque la multiplicación en PEMDAS viene antes de la división, sin embargo, la operación de ambas aún se realiza de izquierda a derecha.
Multiplicar antes de dividir da la respuesta incorrecta:
Realiza multiplicaciones y divisiones, comenzando de izquierda a derecha.
4×3=12
5 + 12 ÷ 6 – 1
Comenzando desde la derecha;
12 ÷ 6 = 2
5 + 2 – 1 = ?
5 + 2 = 7
7 – 1 = ?
7 – 1 = 6
Ejemplo 3
simplificar 3 2 + [6 (11 + 1 – 4)] ÷ 8×2
Solución
Para resolver este problema, PEMDAS se aplica de la siguiente manera;
Comience la operación acercándose al paréntesis.
Comience dentro de los paréntesis hasta que se eliminen todas las agrupaciones. Se hace la adición;
11 + 1 = 12
Realiza la resta; 12 – 4 = 8
Entrena con apoyos como; 6×8 = 48
Ejecutar exponentes como; 32 = 9
9 + 48 ÷ 8 x 2 = ?
Calcula multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha;
48÷8=6
6×2=12
Ejemplo 4
Evalúa la expresión; 10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3
Solución
Al aplicar la regla PEMDAS, la multiplicación y la división se evalúan de izquierda a derecha. Es recomendable insertar paréntesis para recordar el orden de operación
10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3
= (10÷2) + (12÷2 × 3)
= 23
Ejemplo 5
Tarifa 20 – [3 x (2 + 4)]
Solución
Primer trabajo sobre las expresiones entre paréntesis.
= 20 – [3 x 6]
Calcula los paréntesis restantes. = 20 – 18
Finalmente, realice una resta para obtener 2 como respuesta.
Ejemplo 6
Práctica (6 – 3) 2 – 2×4
Solución
Comienza abriendo los paréntesis
= (3)2 – 2×4
= 9 – 2×4
ahora haz la multiplicacion
= 9 – 8
Completa la operación por resta para obtener 1 como respuesta correcta.
Ejemplo 7
Resolver la ecuación 2 2 – 3 × (10 – 6)
Solución
Calcula dentro de los paréntesis. = 2 2– 3×4
Calcula el exponente. = 4 – 3×4
Haz la multiplicación. = 4 – 12
Completa la operación por resta. = -8
Ejemplo 8
Simplifica la expresión 9 – 5 ÷ (8 – 3) x 2 + 6 usando el orden de las operaciones.
Solución
Practica entre paréntesis
= 9 – 5 ÷ 5×2+6
= 9 – 1×2 + 6
Realiza la multiplicación
= 9 – 2 + 3
Suma y luego resta
= 7 + 6 = 13
Conclusión
En conclusión, a veces una expresión puede contener dos operaciones al mismo nivel.
Por ejemplo, si una expresión contiene tanto un cuadrado como un cubo, se puede calcular primero uno u otro. Realice siempre la operación de izquierda a derecha siguiendo la regla PEMDAS. Si encuentra una expresión sin símbolos de agrupación como llaves, corchetes y paréntesis, puede hacerlo más fácil agregando sus propios símbolos de agrupación.
El trabajo con expresiones que tienen fracciones se resuelve simplificando primero el numerador seguido del denominador. El siguiente paso es simplificar el numerador y el denominador si es posible.
Los números reales son un conjunto ordenado de números que tienen propiedades únicas. Las propiedades básicas son conmutativa, asociativa, distributiva e identidad. Una propiedad de identidad es una propiedad que se aplica a un grupo de números como un conjunto. No se puede aplicar a un número individual solamente.
Se llama propiedad de identidad porque cuando se aplica a un número, el número conserva su “identidad”. La propiedad de identidad es verdadera para todas las operaciones aritméticas.
Propiedad de identidad de la suma
La propiedad de identidad de la suma es que cuando un número Nos sumado a cero, el resultado es el número en sí, es decir
norte + 0 = norte
El cero se llama identidad aditiva y se puede sumar a cualquier número real sin cambiar su valor. Estos son algunos ejemplos de propiedad de identidad de suma,
3 + 0 = 3 (enteros positivos)
-3 + 0 = -3 (Enteros negativos)
4/5 + 0 = 4/5 (Fracciones)
0,5 + 0 = 0,5 (decimales)
x + 0 = x (notación algebraica)
Esta propiedad también es válida para la resta, porque restar 0 a cualquier número es igual al número mismo. Por lo tanto, 0 también se llama identidad sustractiva.
Propiedad de identidad de la multiplicación
La propiedad de identidad de la multiplicación es que cuando un número Nos multiplicado por uno, el resultado es el número mismo, es decir
norte × 1 = norte
Uno se llama identidad multiplicativa y puede multiplicarse por cualquier número real sin cambiar su valor. Aquí hay algunos ejemplos de la propiedad de identidad de la multiplicación,
3 × 1 = 3 (Enteros positivos)
-3 × 1 = -3 (Enteros negativos)
4/5 × 1 = 4/5 (Fracciones)
0,5 × 1 = 0,5 (decimales)
x × 1 = x (notación algebraica)
Esta propiedad también es válida para la división, porque dividir un número por 1 es equivalente al número mismo. Por lo tanto, 1 también se llama identidad de división.
Podemos escribir números complejos en términos de $r$ y $theta$. Esta forma se llama forma trigonométrica y es una forma esencial de los números complejos porque es mucho más fácil encontrar las raíces y las potencias de los números complejos cuando están en sus formas trigonométricas.
La forma trigonométrica de los números complejos contiene la distancia desde la coordenada del número complejo al origen y el ángulo formado por el eje real, y el segmento que conecta el número complejo y el origen.
A menudo usamos la forma trigonométrica de números complejos para ilustrarlos como cantidades con distancia y dirección. Cuando uno quiere encontrar las potencias y raíces de números complejos, también es más fácil encontrarlas cuando los números complejos están en forma trigonométrica.
En este artículo, aprenderemos lo siguiente:
Los dos componentes importantes de los números complejos en forma trigonométrica o polar.
Conversión de números complejos de forma estándar a forma trigonométrica.
Encuentra el cociente y el producto de dos números complejos en forma trigonométrica.
Avancemos y profundicemos en la definición de números complejos en formas trigonométricas.
¿Qué es la forma trigonométrica?
La forma trigonométrica de los números complejos también se llama forma polar de los números complejos. Por esta razón, asegúrese de repasar su conocimiento de las formas polares.
La forma trigonométrica de un número complejo contiene el módulo, $r$, y el argumento, $theta$, que representan el número complejo. La forma trigonométrica general de los números complejos es $r(cos theta + isin theta)$.
Del gráfico podemos ver cómo se derivaron las formas trigonométricas o polares de los números complejos. Como $a = r costheta$ y $b = r sin theta$, $a + bi = r(cos theta + isin theta)$.
A partir de ahí, $r$ representa el módulo y $theta$ muestra el ángulo (o argumento) formado por $r$ y el eje real.
Ambos son importantes cuando se presentan números complejos en forma trigonométrica.
¿Cómo escribir números complejos en forma trigonométrica?
Como recordatorio, la distancia entre el origen y el número complejo es igual a $|a + bi| = sqrt{a^2 + b^2}$. Esto se llama el valor absoluto del número complejo o su módulo.
También lo usamos para escribir números complejos en forma trigonométrica. Esto devuelve el valor de $r$. Por lo tanto, tenemos $r = sqrt{a^2 + b^2}$.
El gráfico anterior muestra que también podemos encontrar $theta$ usando los valores de $a$ y $b$. Podemos usar el hecho de que $tan theta = dfrac{b}{a}$, entonces $theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}$.
Usa estos dos valores para escribir $a + bi$ en forma trigonométrica: $r(cos theta + isin theta)$.
¿Por qué no aplicamos lo que acabamos de aprender para convertir $3 + 3sqrt{3}i$ a la forma polar?
Dado que $3$ y $3sqrt{3}$ son positivos, esperamos que el argumento o $theta$ esté en el primer cuadrante, por lo que $theta$ debe ser $60^{circ} $.
Esto significa que $3 + 3sqrt{3}i = 6(cos 60^{circ} + sin 60^{circ})$ en forma polar o trigonométrica.
Podemos usar un proceso similar al escribir otros números complejos en sus respectivas formas trigonométricas, así que asegúrese de probar el ejemplo anterior usted mismo.
¿Cómo multiplicar y dividir números complejos en forma trigonométrica?
También podemos multiplicar y dividir números complejos en forma trigonométrica. Digamos que tenemos dos números complejos, $z_1 = r_1(cos theta_1 + isin theta_1)$ y $z_2 = r_2(cos theta_2 + isin theta_2)$, podemos encontrar su producto por:
Multiplicando los módulos, $r_1$ y $r_2$.
Encuentra el coseno y el seno de $theta_1 + theta_2$.
Combinando los dos resultados multiplicando $r_1r_2$ por $[cos(theta_1 + theta_2) + isin (theta_1 + theta_2) ].
¿Por qué no derivar esto multiplicando los dos números complejos y usando técnicas algebraicas y trigonométricas?
Desarrollar el producto utilizando el método FOIL.
Reescribe $i^2$ como $-1$.
Usa las propiedades de suma de coseno y seno, $cos (A +B) = cos A cos B – sin A sin B$ y $sin (A+B) = sin A cos B + cos A sen B$.
$ begin{alineado} [r_1(cos theta_ 1 + isin theta_1)][r_2(cos theta_2 + isin theta_2) ] &= (r_1r_2)[(cos theta_1 + i sin theta_1)(cos theta_2 + i sin theta_2)] \&= (r_1r_2)[(cos theta_1cos theta_2) + (cos theta_1isintheta_2) + (isintheta_1cos theta_2)+ (isin theta_1 i sin theta_2)]\&= (r_1r_2)[(cos theta_1cos theta_2) + (cos theta_1isintheta_2) + (isintheta_1cos theta_2)+ (i^2sin theta_1 sin theta_2)]\&= (r_1r_2)[(cos theta_1cos theta_2) + (cos theta_1isintheta_2) + (isintheta_1cos theta_2)+ -sin theta_1 sin theta_2] \&=(r_1r_2)[(cos theta_1cos theta_2-sin theta_1 sin theta_2) + i(cos theta_1sintheta_2 + sintheta_1cos theta_2) ]\&=(r_1r_2)[cos(theta_1 + theta_2) + i(cos theta_1sintheta_2 + sintheta_1cos theta_2) \&=(r_1r_2)[(cos theta_1cos theta_2-sin theta_1 sin theta_2) + i sin (theta_1 + theta_2) ] end{alineado}$
Podemos aplicar un proceso similar para derivar la fórmula del cociente de $z_1$ y $z_2$. Pero, dejaremos eso para que lo pruebes por ti mismo. (Pista: utilice el método FOIL y las propiedades diferenciales de seno y coseno).
Esto significa que no es necesario convertir un número complejo en forma trigonométrica a forma estándar para que podamos encontrar su producto o cociente.
Resumen de la definición y propiedades de la forma trigonométrica
¿Por qué no resumir lo que hemos aprendido hasta ahora sobre los números complejos en forma trigonométrica?
Primero recordemos cómo podemos escribir $a + bi$ y sus componentes en forma trigonométrica.
forma estándar
forma trigonométrica
$begin{alineado}phantom{xxxx} a + bi\ |a+bi| &= sqrt{a^2 + b^2}end{alineado}$
$begin{alineado}r(cos theta + i sin theta)\r=sqrt{a^2 + b^2}\theta= tan^{-1} dfrac{b {a}fantasma{x}end{alineado}$
También aprendimos cómo multiplicar y dividir dos números complejos en forma trigonométrica. Dados dos números complejos, $z_1 = r_1(cos theta_1 + isin theta_1)$ y $z_2 = r_2(cos theta_2+ isin theta_2)$, el producto y el cociente son los siguientes: debajo:
Usemos estas propiedades para resolver algunos de los ejemplos que se muestran a continuación. ¡Asegúrate de consultar nuestra sección de resumen cada vez que te sientas atrapado en un artículo!
Ejemplo 1
Grafica los siguientes números complejos en un plano complejo, luego encuentra sus respectivos módulos y argumentos.
una. $-4 + $4i B. $6i$ contra $4sqrt{3} – $4i
Solución
Grafiquemos los tres números complejos en un plano complejo.
Para $-4 + 4i$, trace el gráfico de coordenadas $(-4, 4)$ o $4$ a la izquierda y arriba de los ejes imaginario y real, respectivamente.
Como $6i = 0 + 6i$, grafica la coordenada $(0, 6)$ en el eje imaginario.
Mientras tanto, $4sqrt{3} – 4i$ se puede trazar como una coordenada $(4sqrt{3}, 4)$ en el plano complejo.
Por tanto, tenemos los tres números complejos representados gráficamente en un plano complejo.
Podemos encontrar cada uno de sus módulos usando la fórmula, $r= sqrt{a^2 + b^2}$, donde $a$ es la parte real y $b$ es la parte imaginaria.
$boldsymbol{a + bi}$
$boldsymbol{r = sqrt{a^2 + b^2}}$
$-4 + $4i
$sqrt{(-4)^2 + 4^2} = 4sqrt{2}$
$6i$
$sqrt{0^2 + 6^2} = 6$
$4sqrt{3} – $4i
$cuadrado{(4cuadrado{3})^2 + (-4)^2} =8$
Luego podemos encontrar los argumentos (o $theta$) para los tres números complejos y podemos usar el gráfico anterior para determinar el valor correcto de $theta$ a elegir.
Sin embargo, para $6i$, podemos inspeccionar su posición ya que está en la parte superior del eje imaginario, $theta = dfrac{pi}{2}$.
Ejemplo 2
Tres números complejos se representan gráficamente en un plano complejo como se muestra a continuación.
Escribe cada número complejo en forma trigonométrica.
Solución
Podemos encontrar los módulos, $r$, de cada uno de los números complejos usando $r = sqrt{a^2 + b^2}$. Mientras tanto, el argumento o $theta$ se puede determinar tomando la tangente inversa de $dfrac{b}{a}$.
Normalmente terminamos con dos valores para $theta$, por lo que la posición de los números complejos determinará el $theta$ correcto para lo dado.
¿Por qué no seguir adelante y calcular los módulos para cada número complejo?
$boldsymbol{a + bi}$
$boldsymbol{r = sqrt{a^2 + b^2}}$
$-6 – $6i
$sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = 6sqrt{2}$
$-4i$
$sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4$
$6sqrt{3} – $6i
$cuadrado{(6cuadrado{3})^2 + (-6)^2} =12$
Ahora determinamos el argumento o $theta$ para cada número complejo. Asegúrese de verificar la posición desde el plano complejo para elegir los cuadrantes correctos.
Para $-4i$, solo a partir de la inspección, podemos ver que $theta = 270^{circ}$.
Ahora podemos usarlos para escribir cada número complejo en forma trigonométrica. Simplemente reemplazamos los valores designados de $r$ y $theta$ con $r(cos theta + isin theta)$.
Por lo tanto, tenemos los siguientes números complejos en forma trigonométrica.
una. $-6 – 6i = 6sqrt{2} (cos 225^{circ} + i sin 225^{circ})$ B. $- 4i = -4(cos 270^{circ} + i sin 270^{circ})$ contra $6sqrt{3} – 6i = 12 (cos 300^{circ} + i sin 300^{circ})$
Ejemplo 3
Evalúa las siguientes operaciones que involucran $z_1 = -3(cos 50^{circ} + isin 50^{circ})$ y $z_2 = 6 (cos 30^{circ} + isin 30 ^{circ})$.
una. $z_1 cpunto z_2$ B. $ dfrac{z_1}{z_2}$
Solución
Para encontrar el producto de $z_1$ y $z_2$, multiplicamos sus respectivos módulos y encontramos el coseno y el seno de la suma de sus argumentos.
Los módulos $-3$ y $6$ tendrán un producto de $-18$.
También tenemos $cos (50^{circ} + 30^{circ})$ y $sin (50^{circ} + 30^{circ})$.
Por lo tanto, $z_1z_2 = -18(cos 80^{circ} + i sin 80^{circ})$.
Aplicamos un proceso similar para encontrar el cociente de $z_2$ y $z_1$. Pero esta vez necesitaremos el cociente de sus módulos y la diferencia entre sus argumentos como se muestra a continuación.
La forma rectangular de los números complejos es la primera forma que encontraremos cuando aprendamos números complejos. Esta forma depende de su coordenada cartesiana y aprenderá por qué en la siguiente sección.
Las formas rectangulares de los números complejos representan estos números resaltando las partes real e imaginaria del número complejo.
Las operaciones básicas son mucho más fáciles cuando los números complejos están en forma rectangular. Es más intuitivo para nosotros graficar números complejos en forma rectangular ya que estamos más familiarizados con el sistema de coordenadas cartesianas.
Este artículo refrescará nuestros conocimientos sobre:
Los componentes que forman un número complejo.
Graficar números complejos en un plano complejo.
Conversión de números complejos en forma rectangular a forma polar, y viceversa.
Manipulación de números complejos en forma rectangular.
Asegúrese de tomar notas y revisar estos conceptos, ya que los necesitaremos a medida que aprendamos más sobre los números complejos en forma rectangular.
¿Cuál es la forma rectangular?
La forma rectangular se basa en su nombre: un sistema de coordenadas rectangulares. Esto quiere decir que son números complejos de la forma $z = a + bi$, donde $a$ es la parte real y $bi$ representa la parte imaginaria. Aquí hay algunos ejemplos de números complejos en forma rectangular.
$-3 + 4i$: $-3$ representa la parte real mientras que $4i$ representa la parte imaginaria.
$-6i$: Este es un número imaginario que contiene solo una parte imaginaria, $-6i$.
$5$: Como $5$ es un número contable y por lo tanto un número real, $5$ es siempre un número complejo cuya parte imaginaria es igual a $0$.
Los números complejos de la forma $a + bi$ se pueden graficar en un plano complejo simplemente trazando $(a,b)$, donde $a$ es la coordenada del eje real y $b$ es la coordenada del eje imaginario .
Aquí hay un gráfico de cómo se grafica $a + bi$ en un plano complejo. Como se mencionó, $a$ representa la distancia a lo largo del eje real y $b$ representa la distancia a lo largo del eje imaginario, un enfoque similar cuando mostramos coordenadas rectangulares.
La distancia formada por $a + bi$ desde el origen es igual a $sqrt{a^2 + b^2}$ o también llamado módulo o valor absoluto del número complejo.
¿Cómo convertir una forma rectangular?
Como se mencionó, la forma rectangular es la primera forma de números complejos que veremos, pero los números complejos también se pueden reescribir en sus formas trigonométricas o polares.
Forma rectangular
Forma polar
$-3 + $3i
$3sqrt{2}(cos 135^{circ} + isin135^{circ})$
$-2sqrt{3} – 2i$
$4(cos 210^{circ} + isen 210^{circ})$
$4 – $4i
$4sqrt{2}(cos 315^{circ} + isen 315^{circ})$
$5 + $5sqrt{3}i
$10(cos 60^{circ} + isen 60^{circ})$
Estos son solo algunos ejemplos de pares de números complejos en sus dos formas: forma rectangular y forma polar. Actualicemos lo que hemos aprendido sobre escribir números complejos en estas dos formas.
¿Cómo convertir forma rectangular a forma polar?
Hemos discutido en detalle la conversión de números complejos en forma rectangular, $a + bi$, a forma trigonométrica (también conocida como forma polar). Asegúrese de revisar sus notas o consulte el enlace que adjuntamos en la primera sección.
Esta sección será un breve resumen de lo que hemos aprendido en el pasado:
Encuentra el módulo, $r = sqrt{a^2 + b^2}$, del número complejo.
Determina el argumento, $theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}$, y asegúrate de elegir el ángulo que está en el cuadrante derecho.
Usa estos valores y escribe el número complejo como $r(cos theta + isin theta)$.
¿Cómo convertir una forma polar en una forma rectangular?
Cambiar números complejos a forma polar es mucho más fácil porque nos obliga a evaluar solo el coseno y el seno en diferentes valores de $theta$.
Cuando se le da un número complejo de la forma $r(cos theta + isin theta)$, evalúe los valores de $sin theta$ y $cos theta$.
Distribuya $r$ a cada uno de los valores evaluados de $cos theta$ y $isin theta$.
Asegúrese de devolver los valores del formulario, $a + bi$.
No te preocupes. Hemos preparado algunos ejemplos para que trabajes y practiques tus conocimientos de conversión de números complejos a forma polar.
Resumen de definición y propiedades de formas rectangulares
¿Por qué no recapitular lo que hemos aprendido hasta ahora sobre los números complejos en forma rectangular antes de profundizar en los diversos problemas que hemos preparado?
La forma rectangular general (o estándar) de los números complejos es $a + bi$.
Podemos convertir números complejos a forma rectangular, encontrando $r = sqrt{a^2 + b^2}$ y $theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}$.
Recuerda que cuando trabajes con ecuaciones que involucran números complejos, las partes del número real y las partes del número imaginario deben ser iguales para que la ecuación sea válida.
También podemos hacer muchas cosas cuando se nos da un número complejo en forma rectangular, y enumeramos algunas que aprendimos en el pasado. ¿No tienes tus notas de práctica contigo? No se preocupe, también hemos agregado algunos enlaces para que los consulte.
Es más fácil sumar y restar números complejos en forma rectangular ya que combinamos las partes real e imaginaria de los números.
Sí, también podemos multiplicar y dividir números complejos en forma rectangular mediante manipulación algebraica.
El producto de a $a + bi$ y su conjugado, $a – bi$, es igual a $a^2 + b^2$, lo que puede ayudar a simplificar el cociente de dos números complejos.
Apliquemos todo lo que hemos aprendido de este artículo y probemos estos problemas de muestra.
Ejemplo 1
Grafica los siguientes números complejos en el plano complejo e incluye su valor absoluto correspondiente.
una. $6 – $6i B. $-4sqrt{3} – 4i$ contra $-5i$
Solución Dado que también necesitamos el número de valor absoluto de estos tres números complejos, ¿por qué no comenzar con eso usando el hecho de que $|a + bi| = sqrt{a^2 + b^2}$?
$boldsymbol{a + bi}$
$boldsymbol{|a + bi| PS
$6 -6i$
$sqrt{(6)^2 + (-6)^2} = 6sqrt{2}$
$-4sqrt{3} -4i$
$cuadrado{(-4cuadrado{3})^2 + (-4)^2} = 8$
$-5i$
$sqrt{(0)^2 + (-5)^2} = 5$
Ahora que tenemos el valor absoluto de los tres números complejos, representemos gráficamente los tres números complejos en un plano complejo.
Para $6 – 6i$, grafica las coordenadas $(6, -6)$ o $6$ unidades hacia la derecha ya lo largo del eje real y seis unidades hacia abajo ya lo largo del eje imaginario.
De manera similar, podemos graficar $-4sqrt{3} – 4i$ graficando $(-4sqrt{3}, -4)$ en el plano complejo.
Dado que $-5i$ contiene solo una parte numérica imaginaria, trazamos $-5i$ en el eje imaginario y deberíamos encontrar unidades de $5$ debajo del eje real.
Conecte cada número complejo al origen y etiquete el segmento con el número de valor absoluto correspondiente.
Ejemplo 2
Evalúa las siguientes operaciones con los siguientes números complejos.
Solución Recuerda que sumar y restar números complejos es similar a sumar y restar binomios. Combinamos términos con números reales y números imaginarios. Esta es la misma forma en que combinamos “términos similares”.
Primero trabajemos en el primer elemento: $(8 – 8i) + (-6 + 12i)$.
Listando los resultados para las tres operaciones, tenemos lo siguiente: una. $(8 – 8i) + (-6 + 12i) = 2 + $6i B. $(-3raíz cuadrada{3} + 5i) – (4raíz cuadrada{3} – 6i) = -7raíz cuadrada{3} + 11i $ contra $(-4 + 2i)(-2 – i) + (2- 3i) = 12 – 3i $
Ejemplo 3
Convierta los siguientes números complejos en forma polar a forma rectangular.
una. $-4(cos 90^{circ} + isen 90^{circ})$ B. $6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right)$ contra $-sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4}$
Solución Evalúe los valores de coseno y seno entre paréntesis al convertir números complejos a forma rectangular. Distribuya el módulo en cada uno de los valores de adentro para simplificar la expresión como $a +bi$.
Comenzando con $-4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ})$, $cos 90^{circ} = 0$ y $sin 90^{circ} = $1. Reemplace los términos entre paréntesis con estos valores y luego distribuya $-4$.
El segundo elemento requerirá que realicemos un proceso similar, solo que esta vez estamos trabajando con ángulos en términos de $pi$. Recuerda que $cos dfrac{pi}{3} = dfrac{1}{2}$ y $sin dfrac{pi}{3}= dfrac{sqrt{3}}{ $2} .
¿Alguna vez has visto dos pares de expresiones que difieren solo en el signo del medio? Es posible que haya encontrado un par de conjugados. Los conjugados en matemáticas son extremadamente útiles cuando queremos racionalizar expresiones radicales y números complejos.
Dos binomios se conjugan cuando tienen los mismos términos pero signos opuestos en el medio.
Este artículo mostrará cómo encontrar conjugados, comprender por qué los necesitamos y aplicarlos al racionalizar expresiones. Comencemos con lo más básico: entender qué representan los conjugados.
¿Qué es un conjugado en matemáticas?
Un ejemplo de un par de conjugados son los números complejos a + bi y a – bi. Observe cómo los términos son los mismos? Solo difieren los signos que se encuentran en el medio de cada par. Esto es exactamente lo que representan los conjugados en matemáticas.
Definición matemática conjugada
Conjugados en Matemáticas son dos pares de binomios con términos idénticos pero que comparten operaciones opuestas en el medio. Aquí hay algunos ejemplos más de pares conjugados:
x – y y x + y
2√2 – 1 y 2√2 + 1
3 – 2i y 3 + 2i
Según la definición de conjugados, cada par tiene términos idénticos, y cada uno difiere solo en el signo del medio.
¿Cómo encontrar el conjugado?
¿Qué pasa si nos dan un binomio y necesitamos encontrar su conjugado? Siempre podemos determinar el conjugado de un binomio dado identificando primero los términos y el signo del término original.
Una vez que los tengamos, su conjugado contendrá los mismos términos, pero se cambia el signo del medio (de + a – o de – a +). Aquí hay una tabla que muestra cómo se determinan los conjugados de cuatro binomios:
Dado el binomio
condiciones
Cambio de signo
Conjugado
2x–y
2x, y
– +
2x + y
√3+1
√3.1
+ –
√3 – 1
a2b-ab2
a2segundo, un segundo2
– +
a2b+ab2
5 + 2i
5.2i
+ –
√3 – 1
¿Cómo multiplicar por el conjugado?
¿Qué pasa si multiplicamos un binomio por conjugados? Hay dos casos posibles, y en cada caso aplicaremos un método diferente.
Caso 1: Multiplicación de un binomio por su conjugado
Si tenemos un binomio, m + n, su conjugado será m – n. ¿Notas algo sobre los dos? Estos dos, cuando se multiplican, devolverán la diferencia de sus cuadrados. Si necesita un repaso de esta propiedad algebraica, eche un vistazo a este artículo. Para nuestro ejemplo, tenemos:
(m – n)(m + n) = metro2 – no2
Esto significa que cuando se multiplica un binomio y su conjugado, el resultado será la diferencia de los cuadrados de sus términos. Aquí hay algunos ejemplos más que puedes probar:
Binomio
Conjugado
Producto
2x – 1
2x + 1
4x2 – 1
3ab+c
3ab-c
9a2B2 -vs2
√3 – 4
√3+4
3 – 16 = -13
Caso 2: multiplicar el conjugado de un binomio por una expresión diferente
En algunos casos (como la racionalización de expresiones de raíz), es posible que necesitemos multiplicar el conjugado de un binomio con una expresión diferente. Al tratar con estos problemas, asegúrese de revisar su conocimiento de:
Digamos que queremos multiplicar √3 + 1 por el conjugado de √2 – 1. Primero necesitamos encontrar el conjugado de √2 – 1. Tenemos √2 + 1. Dado que √3 + 1 y √2 + 1 son binomios, podemos aplicar el método FOIL para encontrar y simplificar el producto de dos binomios.
Es hora de que aprendamos las aplicaciones comunes de los conjugados en matemáticas.
¿Cómo racionalizar expresiones de raíz usando conjugados?
Una de las aplicaciones más comunes de los conjugados ocurre cuando queremos racionalizar una expresión que contiene binomios radicales en el denominador.
Cuando racionalizamos una expresión regular, nuestro objetivo es tener un denominador que no contenga ningún término radical. Los conjugados son útiles cuando tenemos una expresión binomial en el denominador.
Podemos multiplicar el numerador y el denominador por los conjugados del denominador. ¿Por qué no probar un ejemplo y ver qué sucede con la expresión?
(√2 – 1) / (√2 + 1)
Si queremos simplificar la expresión anterior, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.
(√2 – 1) / (√2 + 1) (√2 – 1) / (√2 -1)
= [(√2 – 1) ·(√2 – 1)]/ [(√2 + 1)(√2 – 1)]
Simplifica el denominador usando la diferencia de dos cuadrados y simplifica el numerador elevando al cuadrado la expresión (√2 – 1).
= [(√2)2 – 2(√2)(1) + (1)2]/[ (√2)2 – (1)2]
= [2 – 2√2 + 1]/[2 – 1]
= 3 – 2√2
La expresión resultante no tiene más expresiones radicales en su denominador para confirme que ha sido racionalizado usando el conjugado del denominador. Por lo tanto, hemos visto cómo se usan los conjugados para racionalizar expresiones.
Ejemplo 1
Encuentra los conjugados de los siguientes binomios.
una. 2xy-y
B. min2 +m2no
contra a B C D
Solución
Volvamos a la definición fundamental de los conjugados: comparten términos idénticos pero signos diferentes.
una. Para 2xy – y, su conjugado siempre tendrá los mismos términos excepto que tiene + como su operación. Por lo tanto, su conjugado es 2xy+y.
B. De manera similar, usamos los mismos términos pero la operación inversa, por lo que el conjugado de mn2 +m2n es min2 -metro2no.
contra Finalmente, si usamos el mismo proceso, encontraremos que el conjugado de ab – cd es b+cd.
Ejemplo 2
Cuando se le dé una expresión lineal, ax + b, describa el resultado cuando:
una. se suma la expresión lineal y su conjugado. B. se resta el conjugado de la expresión lineal.
Solución
Avancemos y primero encontremos el conjugado de la expresión lineal. Usando los mismos términos pero la operación inversa, el conjugado de ax + b es ax – b.
Sumando los dos binomios, tenemos ax + b + ax – b = 2ax. La suma es en realidad el doble del valor del término.
una. En general, el la suma de una expresión lineal y su conjugada es igual al doble del valor del primer término del binomio.
Hagamos lo mismo por su diferencia. Se tiene:
(ax + b) – (ax – b) = hacha + b – hacha + b
= 2b
La diferencia es el doble del segundo término del binomio.
B. Esto significa que cuando el conjugado de un binomio se resta del binomio, el resultado es el doble del segundo término del binomio.
Ejemplo 3
Usa tu conocimiento de las conjugaciones para responder las siguientes preguntas.
una. ¿Cuál es el conjugado de (1000 – 1)? B. ¿Cuál es el resultado cuando multiplicas (1000 – 1) por su conjugado? contra Usando lo que has observado, describe cómo puedes encontrar el producto de 81 y 79.
Solución
una. Usando los mismos términos pero la operación inversa, el conjugado de (1000 – 1) es (1000 + 1).
B. Cuando multiplicamos un binomio por su conjugado, elevamos al cuadrado ambos términos y restamos el resultado. Entonces tenemos (1000)2 – 12 = 999 999.
contra Esto significa que podemos expresar 81 y 79 como conjugados entre sí: 81 = 80 + 1 y 79 = 80 – 1. Usando los dos binomios, el el producto de 81 y 79 es 802 – 12 = 6399.
Ejemplo 4
Encuentra el conjugado del denominador, luego racionaliza la expresión (-2 + √3) / (6 – 3√3).
Solución
Usando los mismos términos pero operaciones opuestas, la conjugado de 6 – 3√3 es 6 + 3√3. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado.
(-1 + √3) / (6 – 3√3) (6 + 3√3)/ (6 +3√3)
= [(-1 + √3) (6 + 3√3)] / [(6 – 3√3) (6 + 3√3)]
Usa el método FOIL para simplificar el numerador y la diferencia de dos cuadrados al denominador.
Julia Robinson (1919-1985) y Youri Matiyasevich (1947-)
En un campo casi enteramente dominado por hombres, Julia Robinson fue una de las pocas mujeres que tuvo un impacto serio en las matemáticas; otras que vale la pena mencionar son Sophie Germain y Sofia Kovalevskaya en el siglo XIX y Alicia stout y Emmy Noether en el 20, y se convirtió en la primera mujer en ser elegida presidenta de la American Mathematical Society.
Biografía de Julia Robinson
Criado en los desiertos de ArizonaRobinson era un niño tímido y enfermizo, pero mostró un amor innato por los números y una facilidad con ellos desde una edad temprana. Tuvo que superar muchos obstáculos y luchar para poder seguir estudiando matemáticas, pero perseveró, se doctoró en Berkeley y se casó con un matemático, su profesor en Berkeley, Raphael Robinson.
Ha pasado la mayor parte de su carrera buscando la computabilidad y “problemas de decisión“, Preguntas en sistemas formales con”sí” Dónde “no»Responde, dependiendo de los valores de algunos parámetros de entrada. Su pasión particular era el décimo problema de Hilbert, y se dedicó obsesivamente a él. El problema era determinar si había una manera de saber si una ecuación diofántica en particular (una ecuación polinomial cuyas variables solo pueden ser números enteros) tenía soluciones enteras. La creencia creciente era que un método tan universal no era posible, pero parecía muy difícil demostrar que NUNCA sería posible idear tal método.
Durante las décadas de 1950 y 1960, Robinson, junto con sus colegas Martin Davis y Hilary Putnam, persiguió obstinadamente el problema y finalmente desarrolló lo que se convirtió en la hipótesis de Robinson, que sugería que para demostrar que tal método no existía, era suficiente construir una ecuación cuya solución era un conjunto de números muy específico, uno que crecía exponencialmente .
El problema había obsesionado a Robinson durante más de veinte años y ella confesó un deseo desesperado de ver su solución antes de su muerte, quienquiera que pudiera lograrlo.
Sin embargo, para seguir progresando, necesitaba la aportación del joven matemático ruso, Yuri Matiyasevich.
Matiyasevich, nacido y criado en Leningrado (San Petersburgo), ya se había distinguido como un prodigio matemático y había ganado numerosos premios en matemáticas. Volvió al décimo problema de Hilbert como tema de su tesis doctoral en la Universidad Estatal de Leningrado, y comenzó a mantener correspondencia con Robinson sobre su progreso y a buscar un camino a seguir.
Después de perseguir el problema a fines de la década de 1960, Matiyasevich finalmente descubrió la última pieza faltante del rompecabezas en 1970, cuando solo tenía 22 años. Vio cómo podía capturar la famosa secuencia numérica de Fibonacci usando las ecuaciones que estaban en el corazón del décimo problema de Hilbert, y así, basándose en el trabajo anterior de Robinson, finalmente se demostró que era imposible concebir un proceso mediante que se puede determinar en un número finito de operaciones si las ecuaciones diofánticas se pueden resolver en números enteros racionales.
Tamiz visual Matiyasevich-Stechkin para números primos
En un ejemplo conmovedor del internacionalismo de las matemáticas en el apogeo de la Guerra Fría, Matiyasevich admitió abiertamente su deuda con el trabajo de Robinson, y los dos continuaron trabajando juntos en otros temas hasta la muerte de Robinson en 1984.
Tamiz visual Matiyasevich-Stechkin para números primos
Entre sus otros logros, Matiyasevich y su colega Boris Stechkin también desarrollaron un interesante “tamiz visual“Para números primos, que efectivamente”varilla”Todos los números compuestos, dejando solo los números primos. Tiene un teorema sobre conjuntos recursivamente enumerables que lleva su nombre, así como un polinomio relacionado con las coloraciones de la triangulación de esferas.
Dirige el Laboratorio de Lógica Matemática del Departamento de San Petersburgo del Instituto Steklov de Matemáticas de la Academia de Ciencias de Rusia y es miembro de varias sociedades y consejos matemáticos.
Évariste Galois era un republicano radical y una figura algo romántica en la historia matemática francesa. Murió en duelo a los 20 años, pero las obras que publicó poco antes de su muerte se hicieron un nombre en los círculos matemáticos y continuarían permitiendo a los matemáticos posteriores probar problemas que habían sido imposibles durante muchos siglos. También sentó las bases para muchos desarrollos posteriores en matemáticas, especialmente los comienzos de las áreas importantes del álgebra abstracta y la teoría de grupos.
A pesar de su pobre desempeño en la escuela (aprueba dos veces los exámenes de acceso a la École Polytechnique), el joven Galois devora la obra de Legendre y Lagrange en su tiempo libre. A la edad de 17 años, comenzó a hacer descubrimientos fundamentales en la teoría de ecuaciones polinomiales (ecuaciones construidas a partir de variables y constantes, utilizando solo las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros no negativos, como X2 – 4X + 7 = 0). Demostró efectivamente que no puede haber una fórmula general para resolver ecuaciones quínticas (polinomios que incluyen un término de X5), tal como lo había hecho el joven noruego Niels Henrik Abel unos años antes, aunque con un método diferente. Pero también pudo demostrar la idea más general y poderosa de que no existe un método algebraico general para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro.
Un ejemplo de las notas bastante rebeldes de Galois
Galois logró esta prueba general al examinar si el “grupo de permutación” de sus raíces (ahora conocido como el grupo de Galois) tenía alguna estructura. Fue el primero en utilizar el término “grupo” en su sentido matemático moderno de un grupo de permutaciones (presagiando el campo moderno de la teoría de grupos), y su enfoque fértil, ahora conocido como teoría de Galois, ha sido adaptado por matemáticos posteriores a muchos otras áreas de las matemáticas además de la teoría de ecuaciones.
El avance de Galois, a su vez, condujo a pruebas definitivas (o más bien refutaciones) más adelante en el siglo de los llamados “Tres problemas clásicos“Problemas que fueron formulados por primera vez por Platón y otros en la antigua Grecia: la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo (ambas resultaron imposibles en 1837), y la cuadratura del círculo (también resultó imposible en 1882).
Galois era un exaltado político (fue arrestado varias veces por actos políticos), y sus afiliaciones políticas y actividades como un republicano acérrimo durante el reinado de Luis Felipe lo distrajeron continuamente de su trabajo matemático. Murió en duelo en 1832, en circunstancias bastante turbias, pero había pasado toda la noche anterior exponiendo sus ideas matemáticas en una detallada carta a su amigo Auguste Chevalier, convencido de su inminente muerte.
Paradójicamente, su joven contemporáneo Abel también tuvo una carrera prometedora acortada. Murió en pobreza de tuberculosis a la edad de 26 años, aunque su legado perdura en el término “abeliano” (generalmente escrito con una “a” minúscula), que desde entonces se ha convertido en un lugar común en las discusiones sobre conceptos como grupo abeliano, categoría abeliana. y variedad abeliana.
Conoces la suma y la multiplicación. Cuando estas dos operaciones se combinan, se obtiene una tercera ley muy útil. los Ley distributiva combina las dos funciones. Usarás esta ley todo el tiempo en álgebra. Aquí un ejemplo…
¿Has visto esto? ¡Todos los términos por separado! El 3 de la parte de multiplicación del problema se ha distribuido a cada apéndice. Piénselo de esta manera: terminará con la misma respuesta si multiplica una suma por un número o si multiplica cada uno de los sumandos por separado y luego suma los productos. Aquí está el ejemplo elaborado …
Aquí hay otro ejemplo para ver cómo puede usar la ley. No esperamos que pueda usarlo de esa manera todavía, solo eche un vistazo a cómo ayuda a solucionar problemas.
8 * 256 =? 8 * (200 + 50 + 6) =? • ¿Ves cómo dividimos el valor en un problema de suma? (8 * 200) + (8 * 50) + (8 * 6) =? • La ley distributiva lo divide. 1600 + 400 + 48 =? • Resolvimos cada problema de multiplicación entre paréntesis. 2048
Lo hicimos sin calculadora y sin portar ni agrupar. ¡La ley de distribución es la mejor!
Para la multiplicación, cero y uno son números especiales. Cada vez que multiplicas un número por 0, obtienes cero. Algunos ejemplos…
Si hay un cero allí, el producto es cero. Solo se necesita uno.
La idea general con variables que representan todos los números posibles …
a * 0 = 0
¿Y 1? Uno es especial, porque cualquier número multiplicado por 1 es el número original. Algunos ejemplos…
5 * 1 = 5 358 * 1 = 358 5.943 * 1 = 5.943
La idea general con variables que representan todos los números posibles …
a * 1 = a
Hay algunas otras leyes que funcionan con la multiplicación, pero no las cubriremos aquí. Las reglas que le permiten mover los números serán herramientas útiles para la mayoría de los cálculos.
Obtenga más información sobre las reglas de multiplicación en la Parte 1.
