Ecuaciones diferenciales abre una amplia gama de aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería e incluso finanzas. Hay muchos fenómenos físicos que se definen mediante cálculo y ecuaciones diferenciales. Gracias a las ecuaciones diferenciales, podemos resolver ecuaciones que contienen derivadas y condiciones iniciales.
Las ecuaciones diferenciales combinan nuestro conocimiento de derivadas, integrales y álgebra para resolver ecuaciones que contienen funciones y sus derivadas.
Al ver cuán vitales son las ecuaciones diferenciales en matemáticas superiores, debemos comprender los componentes de las ecuaciones diferenciales, conocer los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y aprender a simplificar y resolver estos tipos de ecuaciones. Este artículo es un artículo introductorio; nuestro objetivo es brindarle una primera impresión de las ecuaciones diferenciales.
¿Qué es una ecuación diferencial?
En pocas palabras, una ecuación diferencial es una ecuación que contiene uno o más términos que son derivados ordinarios o parciales de la función o funciones en las que estamos trabajando. Gracias a las ecuaciones diferenciales, ahora podemos encontrar la relación entre las funciones y sus derivadas. A continuación, se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales en diferentes órdenes:
begin {alineado} dfrac {dy} {dx} & = x ^ 2 – 9 \ y ^ { prime} + 4y & = 2x + 10 \ x ^ 2 y ^ { prime prime prime} – 4xy ^ { prime prime} + 2xy ^ { prime} – 6y & = cos x \ theta ^ 2 d theta & = cos (t – 0.4t) phantom {x} dt end {alineado}
Para comprender mejor los componentes básicos de las ecuaciones diferenciales, comencemos trabajando en una ecuación diferencial simple. La forma general más simple de ecuaciones diferenciales es la ecuación diferencial lineal de primer orden que se muestra a continuación.
begin {alineado} dfrac {dy} {dx} & = f (x) end {alineado}
De esta forma, podemos ver que $ dx $ contiene la variable independiente mientras que la variable $ y $ es la variable dependiente.
begin {alineado} overbrace {{ color {DarkGreen} dfrac {dy} {dx}}} ^ { color {DarkGreen} text {Differential}} – 6x phantom {x} overbrace {{ color {DarkOrange} =}} ^ { color {DarkOrange} text {Signo igual}} phantom {x} 12 end {alineado}
En las próximas lecciones, encontrará ecuaciones diferenciales más complejas, pero la idea sigue siendo la misma: se considera una ecuación diferencial siempre que la ecuación contenga derivadas y derivadas parciales.
begin {alineado} y ^ { prime} = 12x ^ 2 end {alineado}
En este punto, sabe que la ecuación anterior es una ecuación diferencial. Hemos aprendido en el pasado que $ dfrac {d} {dx} (4x ^ 3 + 1) = 12x ^ 2 $, entonces $ (4x ^ 3 + 1) $ es una de las muchas soluciones a la ecuación diferencial. Esto significa que cualquier función que satisfaga una ecuación diferencial dada se considera una solución a la ecuación diferencial.
Orden y grado de ecuaciones diferenciales
Podemos identificar la ecuación diferencial en función de su orden: el orden más alto de la derivada que aparece en la ecuación dada. También podemos ampliar nuestra comprensión de los grados a las ecuaciones diferenciales. El grado representa la potencia de la derivada más alta presente en la ecuación diferencial.
La mejor manera de comprender el orden y el grado de las ecuaciones diferenciales es usar ejemplos, por eso hemos preparado algunos para usted:
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Ecuación diferencial |
Pedido |
La licenciatura |
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begin {alineado} dfrac {dy} {dx} = 4x + 5 end {alineado} |
El orden de la ecuación es $ 1 $. |
El grado de la ecuación es $ 1. |
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begin {alineado} left ( dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} right) ^ 3 – 2 cdot dfrac {dy} {dx} + 4y = 0 end {alineado} |
El orden de la ecuación es $ 2 $. |
El grado de la ecuación es $ 3. |
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begin {alineado} 5y ^ { prime prime} – 2y ^ {(5)} = 8y + 2 sin x end {alineado} |
El orden de la ecuación es $ 5. |
El grado de la ecuación es $ 1. |
Los dos tipos más comunes de ecuaciones diferenciales son las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Solo por sus nombres, sabemos de inmediato que lo que distingue a estos dos son sus respectivas órdenes. Tenemos muchas formas de categorizar las ecuaciones diferenciales, ¡por eso hemos reservado una sección especial para ti!
Tipos de ecuaciones diferenciales
Saber cómo clasificar ecuaciones diferenciales será útil para elegir la mejor estrategia para simplificar y resolver ecuaciones diferenciales. Ya hemos discutido una forma de clasificar ecuaciones diferenciales: por orden.
Ordena las ecuaciones diferenciales por orden
Podemos ordenar las ecuaciones diferenciales según su orden más alto. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales de primer orden tienen $ 1 $ como orden, mientras que las ecuaciones diferenciales de segundo orden tendrán $ 2 $ como orden.
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Ecuación diferencial de primer orden |
begin {alineado} dfrac {dy} {dx} – 4 = 2x end {alineado} |
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Ecuación diferencial de segundo orden |
begin {alineado} dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} – 4xy = cos x end {alineado} |
Las ecuaciones diferenciales pueden tener órdenes mayores que dos, pero hemos resaltado estos dos tipos de ecuaciones porque las usaremos principalmente en nuestras clases de cálculo. Esta es también la razón por la que hemos escrito artículos separados sobre ecuaciones de primer orden y ecuaciones de segundo orden.
Clasificar ecuaciones diferenciales como ordinarias o parciales
Cuando una ecuación diferencial contiene solo una variable independiente y todas las derivadas de la ecuación se relacionan con esa variable, podemos clasificar la ecuación como una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente conocida como “EDO”). Utilice la forma general de EDO al clasificar la ecuación diferencial:
begin {alineado} F (x, y, y ^ { prime}, y ^ { prime prime},…, y ^ {(n)}) & = 0 end {alineado}
Como probablemente habrá adivinado, las ecuaciones diferenciales parciales implican derivadas parciales de una o más funciones. Esto significa que hay al menos dos variables independientes en una ecuación diferencial. Aquí hay algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales (o llamadas “PDE”):
begin {alineado} dfrac { parcial u} { parcial x} – dfrac { parcial u} { parcial y} & = 0 \ dfrac { parcial f} { parcial t} & = k dfrac { parcial ^ 2 f} { parcial y ^ 2} end {alineado}
Clasifique las ecuaciones diferenciales como homogéneas o no homogéneas.
Se dice que una ecuación diferencial es homogénea cuando todos sus términos comparten el mismo grado. Probablemente ya lo habría adivinado: cuando los términos de la ecuación diferencial no comparten el mismo grado, entonces la EDO o la PDE no son homogéneas.
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Ecuación diferencial homogénea |
Ecuación diferencial no homogénea |
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begin {alineado} P (x, y) phantom {x} dx + Q (x, y) phantom {x} dy end {alineado} |
begin {alineado} dfrac {dy} {dx} + Py = Q end {alineado} |
Estas son las formas generales de ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas. Ahora que hemos cubierto todos nuestros fundamentos para ecuaciones diferenciales, permítanos brindarle una descripción general rápida del proceso para encontrar la solución a las ecuaciones diferenciales.
¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales?
Podemos encontrar las soluciones de ecuaciones diferenciales aislando el factor diferencial en un lado de la ecuación y luego aplicando las técnicas de integración apropiadas. Hay dos métodos que podemos aplicar para resolver ecuaciones diferenciales: 1) separando variables o 2) usando factores de integración. Aquí hay una guía rápida para recordar para cada método:
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Separación de variables |
Factores de integración |
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begin {alineado} P (x, y) phantom {x} dx = Q (x, y) phantom {x} dy end {alineado} |
begin {alineado} dfrac {dy} {dx} + Py = Q end {alineado} |
El primer método, separar variables, es más útil cuando podemos reescribir ambos lados de la ecuación para que cada lado contenga una variable y un diferencial sobre la variable afectada. La forma general de la ecuación confirma que al separar o agrupar expresiones en función de su variable, podemos integrar ambos lados de la ecuación con respecto a una variable diferente en cada lado.
begin {alineado} int P (x, y) fantasma {x} dx = int Q (x, y) fantasma {x} dy end {alineado}
Mientras tanto, podemos usar el segundo método (factores integradores) cuando las derivadas parciales de las expresiones no son iguales. Para el caso de $ dfrac {dy} {dx} + Py = Q $, $ dfrac { parcial Q} { parcial x} neq dfrac { parcial P} { parcial y} $ – y cuando esto sucede, el diferencial no es exacto. Para nuestros ejemplos a continuación, solo usaremos el primer método, ¡para mostrarle lo fácil que es trabajar con ecuaciones diferenciales de primer orden!
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación diferencial, $ 4y phantom {x} dy = (x ^ 2 – 4) phantom {x} dx $.
Solución
Esta ecuación diferencial resalta la forma más simplificada de una ecuación que encontrará al usar la separación de variables. De esta forma, podemos integrar inmediatamente ambos lados de la ecuación. Aplicar técnicas de integración adecuadas para simplificar ambos lados de la ecuación.
begin {alineado} 4y phantom {x} dy & = (x ^ 2 – 4) phantom {x} dx \ int 4y phantom {x} dy & = int (x ^ 2 – 4) fantasma {x} dx \ dfrac {4y ^ 2} {2} + C_1 & = dfrac {x ^ 3} {3} – 4x + C_2 \ 2y ^ 2 & = dfrac {x ^ 3} { 3} – 4x + C_2 – C_1 \ y ^ 2 & = dfrac {x ^ 3} {6} – 4x + C end {alineado}
¿Observa cómo los valores de las constantes $ C_1 $ y $ C_2 $ se pueden combinar en $ C $? En el futuro, simplemente escribiremos $ C $ en el lado derecho de la ecuación para tener en cuenta todas las constantes posibles. La solución, $ y ^ 2 = dfrac {x ^ 3} {6} – 4x + C $, se llama solución general ya que toma en cuenta todas las funciones que satisfacen la ecuación.
El gráfico anterior muestra tres ecuaciones que satisfarán la ecuación diferencial. En el siguiente ejemplo, veremos qué sucede cuando se nos da un valor inicial para la ecuación diferencial.
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación diferencial, 0.245 $ dfrac {dv} {dt} = 9.8v $, dado que tenemos un valor inicial para la función: $ v (0) = 36 $.
Solución
Este es un ejemplo de un problema de valor inicial: cuando nuestras ecuaciones diferenciales cuentan con suficientes condiciones iniciales para que podamos encontrar el valor de las constantes desconocidas. Podemos separar las variables con $ v $ en el lado izquierdo de la ecuación.
begin {alineado} dfrac {dv} {dt} & = dfrac {9.8v} {0.245} \ dfrac {dv} {v} & = 40 phantom {x} dt \ int dfrac { dv} {v} & = int 40 phantom {x} dt \ ln v & = 40t + C end {alineado}
Ahora usemos la condición inicial, $ v (0) = 36 $, y sustituyamos esos valores en la ecuación para resolver $ C $.
begin {alineado} ln 36 & = 40 (0) + C \ C & = ln 36 end {alineado}
Utilice este valor para completar la solución al problema del valor inicial: $ ln v = 40t + ln 36 $. Reescribamos esta ecuación para que solo tengamos $ v $ en el lado izquierdo de la ecuación.
begin {alineado} ln v & = 40t + ln 36 \ e ^ { ln v} & = e ^ {40t + ln 36} \ v & = e ^ {40t} e ^ { ln 36} \ & = 36º ^ {40t} end {alineado}
A esta solución la llamamos $ v = 36e ^ {40t} $, una solución especial porque satisface la ecuación diferencial con una condición inicial dada.
Preguntas practicas
1. Resuelva la ecuación diferencial, $ 3y phantom {x} dy = (x ^ 2 – 9) phantom {x} dx $.
2. Resuelva la ecuación diferencial, $ -5x ^ 2 phantom {x} dx = (4y ^ 3 – 2y) phantom {x} dy $.
3. Resuelva la ecuación diferencial, $ dfrac {dy} {dx} = dfrac {x (e ^ {x ^ 2} – 4)} {8y ^ 2} $, dado que tenemos un valor inicial para la función : $ y (0) = 1 $.
4. Resuelva la ecuación diferencial, $ y ^ { prime} = e ^ {x + 6y} $, dado que tenemos un valor inicial para la función: $ y (0) = 0 $.
Clave de respuesta
1. $ y ^ 2 = dfrac {2x ^ 3} {9} – 6x + C $
2. $ x ^ 3 = – dfrac {3y ^ 4} {5} + dfrac {3y ^ 2} {5} + C $
3. $ dfrac {8y ^ 3} {3} = -2x ^ 2 + dfrac {1} {2} e ^ {x ^ 2} + dfrac {13} {6} $
4. $ y = – dfrac {1} {6} ln (7 – 6th ^ x) $
Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.
