Carlos Huertas

Una derivada compleja es una derivada que nos informa sobre la tasa de cambio de una función compleja.

Una función compleja tiene dos partes, una es un componente real y la otra es un componente imaginario. Las funciones complejas se representan matemáticamente por:

$f(z) = u (x,y) + iv (x,y)$

donde $z = x+iy$ y $i=sqrt{-1}$.

La derivada de una función compleja se evalúa mediante la técnica de la derivada parcial si la función compleja es analítica, es decir, debe satisfacer las condiciones de Cauchy-Riemann.

En este tema, analizaremos las derivadas complejas, las condiciones de Cauchy-Riemann y cómo resolver diferentes problemas de funciones complejas.

¿Qué se entiende por derivada compleja?

Una derivada compleja es una derivada que nos informa sobre la tasa de cambio de una función compleja. La derivada de una función compleja $w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y)$ en $z = z_{0}$ se puede escribir:

$lim_{z to z_{0}} dfrac{f(z) – f(z_{0})}{z – z_{0} }$

O también podemos escribirlo así:

$(dfrac{dw}{dz})_{z_{0}} = lim_{Delta z to 0} dfrac{f(z_{0} + Delta z) –f(z_{0 })}{Delta z}$

Recuerda que el punto $z_{0}$ está dentro de la función compleja C como se muestra a continuación. Entonces, $z$ puede aproximarse a $z_{o}$ desde un número infinito de direcciones diferentes y la derivada existe si el resultado es el mismo, independientemente del camino que tome $z$ para aproximarse a $z_{o}$.

Es casi imposible visualizar la gráfica de una derivada compleja, pero en forma de bosquejo, la pendiente de una función compleja en el eje complejo y y x se puede representar por:

Fórmulas derivadas complejas

Algunas de las fórmulas derivadas utilizadas para resolver funciones complejas se dan a continuación.

1. $dfrac{d}{dz} k = 0$ (aquí, k es la constante)
2. $dfrac{d}{dz} z^{n} = n. z^{n-1}$
3. $dfrac{d}{dz} kf(z) = k dfrac{df}{dz}$
4. $dfrac{d}{dz} fh = f dfrac{dh}{dz} + h dfrac{df}{dz}$ (como diferenciación parcial)
5. $dfrac{d}{dz} (f + h) = dfrac{df}{dz} + dfrac{dh}{dz}$
6. $dfrac{d}{dz} (f – h) = dfrac{df}{dz} – dfrac{dh}{dz}$

Derivada compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann

Una función compleja solo es diferenciable si llega al mismo punto por diferentes caminos. Supongamos que, para la función $w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y)$, z puede aproximarse a cero en el eje real y en el eje imaginario, y si el punto final no es lo mismo, diremos entonces que la función compleja no es continua. Para que una función compleja sea continua, debe satisfacer ambas ecuaciones de Cauchy Riemann.

Primero veamos qué sucede cuando nos acercamos a $z_{0}$ a lo largo del eje real. Sabemos que una función compleja está dada por:

$f(z) = u + iv$

Cuando $z to z_{0}$ comienza desde el lado horizontal, entonces podemos escribir z como:

$z = z_{0} + m = (x_{0} + m) + iy_{0} $, $m in mathbb {R}$

Entonces podemos escribir:

$f'(z_{0}) = lim_{ m to 0} dfrac{f(z_{0}+ m) – f(z_{o})}{m}$

$f'(z_{0}) = lim_{ m to 0} dfrac{f(x_{0}+ m + iy_{0}) – f(x_{o}-iy_{0})} {m}$

$f'(z_{0}) = lim_{mto} [dfrac{ u (x_{0} + m), y_{0}) – u (x_{0}, y_{0})} {m} ] + yo lim_{ m to 0} [dfrac{ v (x_{0} + m), y_{0}) – u (x_{0}, y_{0})} {m} ]ps

$f'(z_{0}) = u_{x} (x_{0}, y_{0}) + i v_{x}(x_{0}, y_{0})$

Aquí las derivadas parciales de u y v se toman con respecto a “x”.

Cuando $z to z_{0}$ a lo largo del eje imaginario, podemos escribir la ecuación como:

$z = z_{0} + m = x_{0} + i (y_{0} + n)$ , $n in mathbb {R}$

$f'(z_{0}) = lim_{ n to 0} dfrac{f(z_{0}+ n) – f(z_{o})}{n}$

$f'(z_{0}) = lim_{ n to 0} dfrac{f(x_{0}+ n + iy_{0}) – f(x_{o}-iy_{0})} {n}$

$f'(z_{0}) = lim_{na} [dfrac{ v (x_{0}, y_{0} + n) – v (x_{0}, y_{0})} {n} ] – yo lim_{na} [dfrac{ u (x_{0} ,y_{0} + n) – u (x_{0}, y_{0})} {n} ]ps

$f'(z_{0}) = u_{y} (x_{0}, y_{0}) – i u_{y}(x_{0}, y_{0})$

En este caso, esta derivada parcial se tomó con respecto a “y”. Para que la función compleja sea continua, las partes real e imaginaria de los dos caminos deben ser iguales. Por lo tanto, podemos escribir las condiciones de diferenciación de una función compleja en la forma:

$u_{x} = v_{y}$ y $u_{y} = -v_{x}$

Cuando se cumplen las condiciones, la derivada de la función compleja se calcula mediante la fórmula:

$f'(z) = u_{x} + i v_{x}$

Derivada simple y derivada compleja

Cuando diferenciamos una función simple f(x,y), las dos variables son independientes entre sí, por lo que las diferenciamos en consecuencia, mientras que cuando tratamos con una función compleja $f(z)=f( x+iy)$, tomar esta función como un todo.

Como vimos en la sección anterior, para que una función compleja sea continua, realizamos derivaciones parciales, por lo que cualquier cambio en “x” también provocará cambios en “y”, así como en términos de la pendiente de la función. A menos que los dos caminos lleguen al mismo punto, la función compleja no se llamará función diferencial.

Por eso la derivada simple es diferente de la derivada compleja. Ahora que hemos discutido las derivadas complejas en detalle, veamos algunos ejemplos de derivadas complejas/problemas de derivadas complejas para entender completamente el concepto de derivada(s) compleja(s).

Ejemplo 1: Comprueba si las funciones complejas dadas son derivables.

1. $f(z) = bar{z}$
2. $f(z) = z^{2}$

Solución:

1).

Sabemos que:

$z = x + iy$

$bar {z} = x – iy$

$u = x$ y $v = – y$

$u_{x} = dfrac{delta}{delta x} x = 1$

$u_{y} = dfrac{delta}{delta y} x = 0$

$v_{x} = dfrac{delta}{delta x} -y = 0$

$v_{y} = dfrac{delta}{delta y} -y = -1$

Aquí, $u_{y} = – v_{x}$ pero $u_{x} neq v_{y}$. Por lo tanto, no es posible diferenciar esta función compleja.

2).

Sabemos que:

$z = x + iy$

$z^{2} = (x + iy)^{2} = x^{2}+ i^{2}y^{2} + i2xy = x^{2} – y^{2} + i2xy$

$u = x^{2} – y^{2}$ y $v = 2xy$

$u_{x} = dfrac{delta}{delta x} (x^{2} – y^{2}) = 2x – 0 = 2x$

$u_{y} = dfrac{delta}{delta y} (x^{2} – y^{2}) = 0 – 2y = -2y$

$v_{x} = dfrac{delta}{delta x} 2xy = 2y$

$v_{y} = dfrac{delta}{delta y} -y = 2x$

Aquí, $u_{y} = – v_{x}$ pero $u_{x} = v_{y}$. Por lo tanto, es una función compleja continua y es derivable.

Cuestiones prácticas:

1. Evalúa la derivada de la función compleja $f(z) = z^{3}-2z + 6$ (La función es continua).
2. Evalúa la derivada de la función compleja $f(z) = (1 + 4z)^{3}$ (La función es continua).
3. Evalúa la derivada compleja de $e^z$.

Claves de respuesta:

1).

La derivada compleja de la función será:

$f^{‘}(z) = 3z^{2} – 2$

2).

La derivada compleja de la función será:

$f^{‘}(z) = 12 (1 + 4z)^{2}$

3).

Nos dan una función $f(z) = e^{z}$.

Sabemos que $z = x+iy$, por lo que podemos escribir la función dada como:

$f(z) = e^{x+iy} = e^{x}. e^{iy} = e^{x} [cos y + i sin y]ps

$f(z) = e^{x}.cosy + ie^{x} sen y$

Si la función satisface ambas condiciones de Cauchy Riemann, entonces podemos determinar la derivada.

$u(x,y) = e^{x}.cos y$

$v(x,y) = e^{x}.sen y$

$u_{x} = e^{x}.cos y$

$u_{y} = – e^{x}.sen y$

$v_{x} = e^{x}. pecado y $

$v_{y} = e^{x}. porque y $

Aquí, $u_{y} = – v_{x}$ pero $u_{x} = v_{y}$. Por lo tanto, es una función compleja continua y es derivable.

$f'(z) = u_{x} + i v_{x}$

$f'(z) = e^{x}.cos y + es decir, ^{x}. sen y = e^{z}$. Por lo tanto, la derivada de la función es $e^{z}$.

La derivada de $tan^{-1}x$ es igual a $dfrac{1}{1+x^{2}}$.

Matemáticamente, la fórmula se escribe $dfrac{d}{dx} tan ^{-1} x = (tan^{-1}x)^{‘} = dfrac{1}{1+x^{2 } ps Básicamente estamos diferenciando la función inversa de una tangente con respecto a la variable “$x$”.

En este tema estudiaremos la derivada de la inversa de tan x y su demostración por el método del primer principio/abnitio y por diferenciación implícita. También estudiaremos varios ejemplos para que entiendas completamente el tema.

¿Cuál es la derivada de Tan^-1 x?

La derivada de $tan^{-1}x$ o arc tan(x) es el proceso de diferenciación de la función trigonométrica arc tan con respecto a “x”. La tangente es una función trigonométrica, y si tomamos la inversa de esta función, entonces se llama función tangente inversa o función arctan. La gráfica de la función tangente inversa viene dada por:

La diferenciación es básicamente la tasa de cambio, por lo que podemos llamar a $dfrac{d}{dx} tan^{1}x$ como la tasa de cambio de la inversa/arcotangente con respecto a “$x$” y es igual a $dfrac{1}{1+x^{2}}$. La gráfica de la derivada de la inversa de tan viene dada por:

Fórmula de la derivada Tan^-1 x

La fórmula para la derivada de tan x inversa está dada por:

$dfrac{d}{dx} tan^{-1} x = dfrac{1}{1+x^{2}}$

Es imperativo que aprenda y memorice todas las fórmulas derivadas para todas las funciones trigonométricas inversas porque memorizar la fórmula de una función inversa lo ayudará a memorizar la fórmula de otra función trigonométrica inversa/arco.

Por ejemplo, en este caso, la fórmula para la inversa de tan x es la misma que la inversa de cot x, la única diferencia es el signo negativo, por lo que si conoce la fórmula para la inversa de cot x, al eliminar el signo negativo obtendrá la inversa. bronceado fórmula x.

Diferentes métodos para calcular la derivada de Tan^{-1}x

Hay muchos métodos que se pueden usar para determinar la derivada de $tan^{-1}x$, y algunos de ellos se enumeran a continuación.

1. Derivación de $tan^{-1}x$ usando el método del primer principio
2. Derivado de $tan^{-1}x$ utilizando el método de diferenciación implícita
3. Derivado de $tan^{-1}x$ utilizando la fórmula de cuna inversa

Derivación de Tan^-1 x usando el método del primer principio

El método del primer principio se puede utilizar para derivar la prueba de $(tan^{-1})^{‘}$. El método del primer principio no utiliza otros teoremas. Utiliza la definición de la derivada para resolver cualquier función. La fórmula general del método del primer principio para una función f(x) viene dada por:

$f^{‘}(x) = lim_{h to 0} dfrac{f(x+h) –f(x)}{h}$

Entonces, usando esta definición de derivada, probaremos que la derivada de $tan^{-1}x$ es igual a $dfrac{1}{1+x^{2}}$.

Evidencia

$f(x) = tan^{-1}x$

$f^{‘}(x) = dfrac{d}{dx} tan^{-1}x = f^{‘}(x) = lim_{h to 0} dfrac{tan(x+ h ) – bronceado(x)}{h}$

$dfrac{d}{dx} tan^{-1}x = f^{‘}(x) = lim_{h to 0} dfrac{tan^{-1}(x+h) – tan ^{-1}(x)}{h}$

Sabemos que $tan^{-1} a – tan^{-1} b = tan^{-1} (dfrac{a – b}{1+ ab})$

Ahora aplicando esta fórmula a $tan^{-1}(x+h) – tan^{-1}(x)$ donde $a = (x+h)$ y $b = x$, obtenemos:

$f^{‘}(x) = lim_{h to 0} dfrac{tan^{-1}(frac{x+ h -x}{1+ x (x+h)}) {h ps

Entonces, al cancelar “$x$” y “$-x$” en el numerador, tendremos:

$f^{‘}(x) = lim_{h to 0} dfrac{tan^{-1}(frac{ h }{1+ x (x+h)}) }{h}$

Divide y multiplica la expresión anterior por $dfrac{1}{1+ x (x+h)}$.

$f^{‘}(x) = lim_{h to 0} dfrac{tan^{-1}(frac{h}{1+ x (x+h)}) }{frac{h {1+ x (x+h)}} times dfrac{1}{1+ x (x+h)}$

Sabemos que $lim_{h to 0} dfrac{tan^{-1}h}{h} = 1$

En nuestro caso, la expresión del ángulo superior e inferior $frac{h}{1+ x (x+h)}$ es la misma para $tan^{-1}$. Por lo tanto, $lim_{h to 0} dfrac{tan^{-1}(frac{h}{1+ x (x+h)}) }{frac{h}{1+ x ( x+ h ps La expresión será igual a 1.

$f^{‘}(x) = 1 times dfrac{1}{1+ x (x + 0)}$

$f^{‘}(x) = 1 times dfrac{1}{1+ x (x)}$

$f^{‘}(x) = dfrac{1}{1+ x^{2}}$

Por lo tanto, hemos probado que la derivada de $tan^{-1}x$ es igual a $dfrac{1}{1+ x^{2}}$ usando el primer método principal.

Derivado de Tan^-1 x usando el método de diferenciación implícita

La derivada de $tan^{-1}x$ se puede determinar usando el método de diferenciación implícita. De acuerdo con la diferenciación implícita, si nos dan una función implícita, entonces tomamos la derivada del lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación con respecto a la variable independiente.

En este caso, la función original se puede escribir como $y = tan^{-1}x$. Aquí, “$x$” es la variable independiente. Reescribiremos la ecuación como:

$x = tan (y)$ Aquí $x = tan(tan^{-1}x)$

Evidencia

$f(x) = y = tan^{-1}x$

$x = bronceado y$

Calcular la derivada de ambos lados con respecto a “x”.

$dfrac{dx}{dx} = dfrac{dtan(y)}{dx}$

$1 = dfrac{dtan(y)}{dx}$

Multiplica y divide el lado derecho “$dy$”.

$1 = dfrac{d tan(y)}{dx} times dfrac{dy}{dy}$

$1 = dfrac{d tan(y)}{dy} times dfrac{dy}{dx}$

$1 = segundo^{2} times dfrac{dy}{dx}$

Sabemos que por la identidad trigonométrica:

$seg^{2} – tan^{2}x = 1$

$seg^{2} = 1 +bronceado^{2}$

$1 = [1 + tan^{2}y] dfrac{dy}{dx}$

$dfrac{dx}{dy} = 1 + tan^{2}y$

$dfrac{dy}{dx} = dfrac{1}{1 + tan^{2}y}$

Sabemos que tan $y = x$ entonces $tan^{2}y = x^{2}$

$dfrac{dy}{dx} = dfrac{1}{1 + x^{2}}$

Por lo tanto, hemos probado que la derivada de $tan^{-1}x$ es igual a $dfrac{1}{1+ x^{2}}$ usando el método de diferenciación implícita.

Derivación de Tan^-1 x utilizando la función Cot^-1 x

La derivada de $tan^{-1}x$ también se puede determinar usando otra función trigonométrica inversa de $cot^{-1}x$. Probaremos que $tan^{-1}x$ es igual a $dfrac{1}{1+ x^{2}}$ usando la función $cot^{-1}x$. Diferenciaremos $tan^{1}x$ de $cot^{1}x$.

Evidencia

$f(x) = y = tan^{-1}x$

$x = bronceado y$

Saque la derivada de ambos lados con respecto a “$x$”

$dfrac{dx}{dx} = dfrac{dtan(y)}{dx}$

$1 = dfrac{dtan(y)}{dx}$

Multiplica y divide el lado derecho “$dy$”.

$1 = dfrac{d tan(y)}{dx} times dfrac{dy}{dy}$

$1 = dfrac{d tan(y)}{dy} times dfrac{dy}{dx}$

$1 = seg^{2}y times dfrac{dy}{dx}$

$dfrac{dy}{dx} = dfrac{1}{ seg^{2}} = dfrac{1}{1+x^{2}}$

Sea $g = cuna^{-1}x$

$x = cuna g$

Ahora diferencie la función anterior de “$x$”

$dfrac{dx}{dx} = dfrac{dcot(g)}{dx}$

$1 = dfrac{-coseg ^{2}g)}{dx}$

Multiplica y divide por “$dg$”

$1 = dfrac{-coseg ^{2}g)}{dfrac{dg}{dx}}$

$dfrac{dg}{dx} = – dfrac{1}{1 + cosec^{2}g}$

De la identidad trigonométrica, sabemos.

$cosec^{2}x – lit^{2}x = 1$

$lit^{2}x = 1 + cosec^{2}x$

$dfrac{dg}{dz} = – dfrac{1}{1 + x^{2}}$

$dfrac{dx}{dg} = – (1+x^{2})$

Necesitamos encontrar la derivada de $tan^{-1}$ con respecto a $cot^{-1}$, que es $dfrac{dy}{dg}$.

$dfrac{dy}{dg} = dfrac{dy}{dx} times dfrac{dx}{dg}$

$dfrac{dy}{dg} = (dfrac{1}{1+x^{2}}) veces [-(1+x^{2}]ps

$dfrac{dy}{dg} = -1$

Sabemos que $dfrac{d tan^{-1}x}{d cot^{-1}x} = -1$ y hemos probado que la derivada de $tan^{-1}x$ con respecto a $lit^{-1}x$ vale $-1$. Por lo tanto, indirectamente, podemos decir que la derivada de $tan^{-1}x$ es $dfrac{1}{1+x^{2}}$.

Ejemplo 1: Determinar las siguientes derivadas:

1. Derivado de tan^-1(x^2)
2. Derivada de tan^-1(x) en x = 1
3. Derivada de tan inversa 1/x
4. Derivado de tan^-1(x^3)
5. Derivada de tan inversa x/y

Solución:

1).

$dfrac{d}{dx} tan^-1(x^2) = dfrac{2x}{1 + x^{4}}$

2).

Sabemos

$dfrac{d}{dx} tan^-1(x) = dfrac{1}{1 + x^{2}}$

en $x = $1

Derivada de $tan^-1(1)$ = $dfrac{1}{1 + 1^{2}} = 1$

3).

$dfrac{d}{dx} tan^-1(frac{1}{x}) = – dfrac{1}{1 + x^{2}}$

4).

$dfrac{d}{dx} tan^-1(x^3) = dfrac{3x}{1 + x^{6}}$

5).

$dfrac{d}{dx} tan^-1(frac{x}{y}) = dfrac{y}{x^{2} + y^{2}}$

Ejemplo 2: Encuentra la derivada de $tan^{-1}( 5x – 2)$ usando la fórmula para la derivada de tan inversa x.

Solución:

Sabemos que la fórmula de la derivada de $tan^{-1}x = dfrac{1}{1+x^{2}}$, pero si la escribimos en detalle, se escribe como $dfrac {d }{dx} tan^{-1}x = dfrac{1}{1+x^{2}}$. $dfrac{d}{dx}. x = dfrac{1}{1+x^{2}}. 1 = dfrac{1}{1+x^{2}}$

Usando la regla de la cadena, encontraremos el $tan^{-1}( 5x – 2)$.

$dfrac{d}{dx} tan^{-1}( 5x – 2) = dfrac{1}{1+ [5x-2]^{2}}. dfrac{d}{dx} (5x -2)$

$dfrac{d}{dx} tan^{-1}( 5x – 2) = dfrac{1}{1+ [5x-2]^{2}}. (5 – 0)$

$dfrac{d}{dx} tan^{-1}( 5x – 2) = dfrac{5}{1+ [5x-2]^{2}}$

Ejemplo 3: Encuentre la derivada de $tan^{-1}( 8x + 3)$ usando la fórmula derivada de tan x inversa.

Solución:

Usando la regla de la cadena, encontraremos el $tan^{-1}(8x + 3)$.

$dfrac{d}{dx} tan^{-1}( 5x – 2) = dfrac{1}{1+ [8x +3 ]^{2}}. dfrac{d}{dx} (8x + 3)$

$dfrac{d}{dx} tan^{-1}( 5x – 2) = dfrac{1}{1+ [8x + 3]^{2}}. (8 + 0)$

$dfrac{d}{dx} tan^{-1}( 5x – 2) = dfrac{8}{1+ [8x + 3]^{2}}$

Ejemplo 4: Encuentre la derivada de $x^{2}.tan^{-1}(x)$ usando la fórmula x de derivada tan inversa.

Solución:

Usando la regla de la cadena, encontraremos $x^{2}.tan^{-1}(x)$.

$dfrac{d}{dx}x^{2}.tan^{-1}( x ) = dfrac{d}{dx}x^{2}. tan^{-1}x + x^{2}. dfrac{d}{dx} tan^{-1}x$

$dfrac{d}{dx} tan^{-1}( 5x – 2) = 2x. tan^{-1}x + x^{2}. dfrac{1}{1 + x^{2}} dfrac{d}{dx}.x$

$dfrac{d}{dx} tan^{-1}( 5x – 2) = 2x. tan^{-1}x + x^{2}. dfrac{1}{1 + x^{2}}$

Ejemplo 5: Encuentre la derivada de $8x^{2}.tan^{-1}( 4x + 3)$ usando la fórmula derivada de tan x inversa.

Solución:

Usando la regla de la cadena, encontraremos $8x^{2}.tan^{-1}( 4x + 3)$.

$dfrac{d}{dx} 8x^{2}.tan^{-1}(4x+ 3) = dfrac{d}{dx} 8x^{2}. tan^{-1} (4x + 3) + 8x^{2}. dfrac{d}{dx} tan^{-1} (4x + 3)$

$dfrac{d}{dx} 8x^{2}.tan^{-1}(4x+ 3) = 16x . beige^{-1}( 4x + 3) + 8x^{2}. dfrac{1}{1 + (4x +3)^{2}} dfrac{d}{dx}.(4x +3)$

$dfrac{d}{dx} 8x^{2}.tan^{-1}(4x+ 3) = 16x . beige^{-1}( 4x + 3) + 8x^{2}. dfrac{1}{1 + (4x +3)^{2}} . $4

$dfrac{d}{dx} 8x^{2}.tan^{-1}(4x+ 3) = 16x . tan^{-1}( 4x + 3) + 32x^{2}. dfrac{1}{1 + (4x +3)^{2}}$

Cuestiones prácticas

1. Encuentra la derivada de $5x^{3}.tan^{-1}(5x – 4)$ usando la fórmula para la derivada de tan inversa x.

2. Si nos dan una función $f(z) = z = tan^{-1} [dfrac{2y}{1 – y^{2}}]$, determina la derivada $dfrac{dy}{dz}$.

clave de respuesta:

1).

Usando la regla de la cadena, encontraremos $5x^{3}.tan^{-1}(5x – 4)$.

$dfrac{d}{dx} 5x^{3}.tan^{-1}(5x – 4) = dfrac{d}{dx} 5x^{3}. tan^{-1} (5x – 4) + 5x^{3}. dfrac{d}{dx} tan^{-1} (5x – 4)$

$dfrac{d}{dx} 5x^{3}.tan^{-1}(5x – 4) = 15x^{2} . tan^{-1}(5x – 4) + 5x^{3}. dfrac{1}{1 + (5x – 4)^{2}} dfrac{d}{dx}.(5x – 4)$

$dfrac{d}{dx} 5x^{3}.tan^{-1}(5x – 4) = 15x^{2} . tan^{-1}(5x – 4) + 5x^{3}. dfrac{1}{1 + (5x – 4)^{2}} . $5

$dfrac{d}{dx} 5x^{3}.tan^{-1}(5x – 4) = 15x^{2} . tan^{-1}(5x – 4) + 25x^{2}. dfrac{1}{1 + (5x – 4)^{2}}$

2).

Supongamos que y = tan x.

Entonces podemos escribir la función $z = tan^{-1} [dfrac{2y}{1 – y^{2}}]$ como:

$z = bronceado^{-1}[dfrac{2 tan (x)}{1- tan^{2}(x)} ]ps

Sabemos que tan (2x) = $dfrac{2 tan (x)}{1- tan^{2}(x)}$.

$z = bronceado^{-1}(bronceado (2x))$

$z = 2x$

pon el valor de “x” en la ecuación anterior:

$z = 2 tan^{-1}y$

Tomando la derivada de ambos lados:

$z^{‘} = dfrac{2}{1 + y^{2}}$

Dentro común uso, la abscisa apunta a (x) coordenada. para designar el (y) coordenada el término ordenado se utiliza en planos bidimensionales estándar. Los términos Abscisa Y ordenado ayudar a explicar las dos dimensiones gráficos.

Figura 1 – Ejemplo de abscisa y ordenada.

Abscisa y ordenada

La principal diferencia entre el abscisa Y ordenado es que la abscisa se refiere a la eje y y el ordenado se refiere a eje y. Los detalles de sus diferencias se explica a continuación párrafo. EL abscisa también se llama el eje de abscisas del punto y es el distancia un punto del eje de ordenadas, ascendente con el eje de abscisas. Por otro lado, el ordenado que también se llama el eje y es la longitud de un punto desde el eje x creciente con el eje y.

Por ejemplo, supongamos que (x, y) se da como orden par. Y es aquí la ordenada, el eje y o el eje vertical y, del mismo modo, x es la abscisa, el eje x o horizontal eje aquí. Un par ordenado se explota para indicar un punto en el plano cartesiano y la primera coordenada (x) en el plano se llama abscisa, y la segunda coordenada (y) en el plano es la ordenado.

EL longitud de un punto del eje y creciente con el eje x se nombra abscisa. En matemáticas, la abscisa y la ordenada se refieren a la primera y segunda coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas cartesianas. Los dos Abscisa Y Ordenado definir las ubicaciones de los puntos en el cartesiano plano bidimensional. Al usar la abscisa y la ordenada, también se puede determinar un patrón o tendencia de los datos. extracto mirando los puntos.

Comprender la abscisa usando números

Ilustraremos el Abscisa Y Ordenado utilizando diferentes gráficos.

Figura 2 – El punto (5, 2) en el plano cartesiano

La Figura 2 muestra el bidimensional gráfico, el horizontal el eje este de la playa 0 a +6 y considerando que la vertical el eje tiene un rango de 0 a +2hay un punto Localizado al lugar (5, 2)la notación (5, 2) significa que el indicar A abscisa de 5 y el ordenado 2 puntos (5, 2) a una distancia de 5 desde el origen en el eje x y a una distancia de 2 de origen en el eje y.

Figura 3 – El punto (-3, 3) en el plano cartesiano

Cifra 3 muestra las dos dimensiones cartesiano avión, el horizontal el eje está dentro del rango -4 a +3 y considerando que la vertical el eje tiene un rango de 0 a +3Hay un indicar en el lugar (-3, 3)registro (-3, 3) significa que el indicar tiene por abscisa -3 y el orden de 3. El punto (-3, 3) a una distancia de -3 de origen sobre el eje de abscisas y una distancia de 3 desde el origen en el eje y.

Explicaciones adicionales: Abscisa y representación de datos

La abscisa es un término relacionado con una bidimensional gráfico y el propósito de un gráfico es mostrar visualmente representar un conjunto de datos para que todos los datos se puedan ver simultáneamente procesado por el intérprete. Normalmente, un gráfico se muestra en una bidimensional promedio y, por lo tanto, los gráficos más simples de interpretar que requieren la menor tecnicidad entrenamiento tanto para el presentador como para el observador también se forman en dos dimensiones.

Algunos gráficos pueden ser tridimensional, pero debido a la sofisticación de entregar un sistema de gráficos tridimensionales en un soporte bidimensional portátil, en particular entrenamiento es necesario crear e interpretar dicha tabla para que estos comunicación generalmente no son tan frecuentes como los más universalmente implicados bidimensional gráficos.

Un gráfico bidimensional generalmente se construye sobre un par de perpendicular ejes, uno dirigido en la dirección vertical que es la ordenada, el otro está orientado en la dirección horizontal que es abscisa, que se parece al cartesiano coordinar acercarse como ‘abscisa’ y el ‘ordenado’, respectivamente. El lugar donde se encuentran los dos ejes se dirige hacia el origen de un cartesiano avión.

Origen(0, 0)

EL cartesiano El ritual permite dejar números negativos y el bajado lado del origen a lo largo de estos dos ejes y entero o positivo valores a la derecha y verticalmente hacia arriba desde el origen. Por lo tanto, los datos de un recopilación de datos en una tabla, o los pesos funcionales de fórmulas matemáticas dan buenos resultados en un cartesiano metodología.

Un resumen ilustrado de todos datos diseñado simultáneamente en un cartesiano El plan permite al espectador detectar tendencias, patrones, anomalías y diversos datos y funciones elementos en esta producción que sería menos reconocible si introducido en forma de lista o tabla. Es por esta razón que gráficos son un medio famoso para representando datos brutos acumulados en las mesas.

[ displaystyle (overbrace {x} ^{displaystyle {text{abscissa}}},overbrace {y} ^{displaystyle {text{ordinate}}}) ]

A indicar es una conexión primaria representada en un cuadro. cada punto es representado por un par de dígitos que contiene dos coordenadas A coordinar es uno de un montón de números usado para especificar la ubicación de un indicar en un gráfico. cada punto es determinado por una x y una ay coordinar Es abscisa Y ordenado respectivamente.

Un ejemplo de encontrar el este de un gráfico

Identificar el número de puntos en el debajo gráfico y definir aún más el abscisa Y ordenado puntos.

Figura 4 – Línea en el plano cartesiano

Solución

Dentro figura 3, hay dos puntos. Uno es A, teniendo Detalles de contacto (2, 2), y el segundo es B que tiene el coordenadas (5, 4). Indicar un(2, 2) A abscisa de 2 y ordenado de 2 así, mientras que el punto b(5, 4) tiene abscisas 5 y ordenado 4.

Todos los dibujos matemáticos e imágenes fueron creados con GeoGebra.

Definición de cero < Index du glossaire > Definición de precisión