Para la matriz A a continuación, busque un vector distinto de cero en el valor nulo A y un vector distinto de cero en la columna A.

1657695841 SOM Questions and Answers

[ A = begin{bmatrix} 1 & -2 & 5 & 6 \ 5 & 1 & -10 & 15 \ 1 & -2 & 8 & 4 end{bmatrix} ]

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar la espacio nulo que representa el todo de todos soluciones de la ecuación homogénea y espacio de columna que representa el rango de un vector dado.

Los conceptos que necesitamos para resolver esta pregunta son espacio nulo, espacio columna, ecuación homogénea de vectores, y transformaciones lineales. los espacio nulo de un vector se escribe $Nul A$ es un conjunto de todas las posibles soluciones al ecuación homogénea $Ax=0$. El espacio de columnas de un vector se escribe $Col A$ es el conjunto de todos combinaciones lineales Dónde intervalo de la matriz dada.

Respuesta experta

los ecuación homogénea se da de la siguiente manera:

[ AX = 0 ]

La matriz $A$ se da en la pregunta y $X$ es un vector columna con $4$ variables desconocidas. Podemos suponer que la matriz $X$ es:

[ X = begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 end{bmatrix} ]

Usando operaciones de línea en la matriz $A$ para reducir la matriz a forma escalonada.

[ R_2 rightarrow R_2 – 5R_1, hspace{0.3in} R_3 rightarrow R_3 – R_1 ]

[ A = begin{bmatrix} 1 & -2 & 5 & 6 \ 0 & 1 & -35 & -15 \ 0 & 0 & 3 & -2 end{bmatrix} ]

[ R_2 rightarrow R_2/11, hspace{0.3in} R_1 rightarrow R_1 + 2R_2 ]

[ A = begin{bmatrix} 1 & 0 & -15/11 & 36/11 \ 0 & 1 & -35/11 & -15/11 \ 0 & 0 & 3 & -2 end{bmatrix} ]

[ R_3 rightarrow R_3/3,  hspace{0.3in} R_1 rightarrow R_1 + 15R_2/11 ]

[ A = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 26/11 \ 0 & 1 & -35/11 & -15/11 \ 0 & 0 & 1 & -2/3 end{bmatrix} ]

[ R_1 rightarrow R_1 – 35R_3/11 ]

[ A = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 26/11 \ 0 & 1 & 0 & -115/33 \ 0 & 0 & 1 & -2/3 end{bmatrix} ]

La matriz $A$ contiene $2$ rotar columnas y $2 columnas libres. Reemplazar valores en ecuación homogénea, se tiene:

[ A = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 26/11 \ 0 & 1 & 0 & -115/33 \ 0 & 0 & 1 & -2/3 end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 end{bmatrix} ]

Resolviendo para variables desconocidas, obtenemos:

[ x_1 + dfrac{26}{11}x_4 = 0 longrightarrow x_1 = -dfrac{26}{11} ]

[ x_2 – dfrac{115}{33}x_4 = 0 longrightarrow x_2 = dfrac{115}{33} ]

[ x_3 – dfrac{2}{3}x_4 = 0 longrightarrow x_3 = dfrac{2}{3} ]

los solución paramétrica se da de la siguiente manera:

[ begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -dfrac{26}{11}x_4 \ dfrac{115}{33}x_4 \ dfrac{2}{3}x_4 \ x_4 end{bmatrix} ]

[ begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -dfrac{26}{11} \ dfrac{115}{33} \ dfrac{2}{3} \ 1 end{bmatrix} x_4 ]

resultado numérico

los vector distinto de cero en $Nul A$ es:

[ begin{Bmatrix} begin{bmatrix} -dfrac{26}{11} \ dfrac{115}{33} \ dfrac{2}{3} \ 1 end{bmatrix} end{Bmatrix} ]

los rotar columnas en el forma de peldaño de la matriz $A$ apunta a $Col A$, las cuales vienen dadas por:

[ begin{Bmatrix} begin{bmatrix} 1 \ 5 \ 1 end{bmatrix} , begin{bmatrix} -2 \ 1 \ -2 end{bmatrix}, begin{bmatrix} 5 \ -10 \ 8 end{bmatrix}  end{Bmatrix} ]

Ejemplo

Encuéntralo espacio de columna de la matriz dada a continuación:

[ begin{bmatrix} -3 & 2 \ -5 & -9 end{bmatrix} ]

los forma de peldaño de la matriz dada encontrada:

[ begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix} ]

El $Col$ espacio de la matriz dada está dada por:

[ begin{Bmatrix} begin{bmatrix} -3 \ -5 end{bmatrix} , begin{bmatrix} 2 \ -9 end{bmatrix}  end{Bmatrix} ]