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Ángulos suplementarios congruentes: definición, medida y explicación

Ángulos suplementarios congruentes: definición, medida y explicación

Ángulos suplementarios congruentes son ángulos que cumplen dos condiciones: son congruentes y son suplementarios. Estos ángulos comparten estas propiedades, lo que los convierte en ángulos únicos e importantes para aprender cuando se trabaja con aplicaciones y problemas relacionados con ángulos y álgebra.

Los ángulos suplementarios congruentes son ángulos cuya suma $boldsymbol{180^{circ}}$ y, al mismo tiempo, comparten la misma medida de ángulo. Estos ángulos siempre tendrán medidas angulares de $boldsymbol{90^{circ}}$.

Este artículo cubre diferentes ejemplos de ángulos suplementarios congruentes y establece la razón por la cual las medidas de sus ángulos son siempre $90^{círculo}$. Espere ejemplos y practique preguntas cerca del final de la discusión para evaluar su comprensión de los ángulos suplementarios congruentes.

¿Qué son los ángulos suplementarios congruentes?

Los ángulos suplementarios congruentes son ángulos que tienen medidas angulares de $90^{círculo}$ cada. El par de ángulos debe tener medidas angulares iguales y al mismo tiempo sumar $180^{circ}$, de ahí el nombre del ángulo. Esto significa que no hay otros ángulos suplementarios congruentes además del par de ángulos rectos.

Mira los dos pares de ángulos de arriba y ver cómo ambos son pares de ángulos suplementarios congruentes. Primero, enfócate en el par de ángulos lineales y encuentra las medidas del ángulo que los hacen congruentes.

Los dos ángulos, $ángulo AOC$ y $ángulo BOC$, son pares lineales, por lo que forman un ángulo lineal y suman $180^{círculo}$. Para que los dos ángulos sean congruentes, $angle AOC = angle BOC = 90^{circ}$.

Esto significa que la única vez que un par de ángulos lineales (por lo tanto, un par de ángulos suplementarios) son congruentes entre sí es cuando ambos están en ángulo recto. Esto es consistente con lo establecido acerca de los ángulos suplementarios congruentes.

Pasemos al segundo par de ángulos, $ángulo ABC$ y $XYZ$. Como se discutió en el pasado, los ángulos adicionales no tienen que formar otros ángulos.

Siempre que sumen 180 $^{circ}$, ambos ángulos se consideran suplementarios. Ahora, que los dos ángulos son congruentes y a la vez complementarios$ángulo ABC = ángulo XYZ = 90^{circ}$.

Ambos ejemplos resaltan el hecho de que el único par posible de ángulos congruentes y suplementarios son dos ángulos rectos. Por supuesto que es importante entender el razonamiento detrás de esto y generalizar la regla para todas las situaciones.

¿Cómo probar ángulos suplementarios congruentes?

Para probar ángulos suplementarios congruentes, usar la definición de ángulos congruentes y ángulos suplementarios luego encuentra las medidas de los ángulos que pueden satisfacer solo las dos condiciones. Por ejemplo, suponga que los dos ángulos, $angle M$ y $angle N$, son dos ángulos congruentes. Esto significa que las medidas de sus ángulos son iguales.

begin{alineado}ángulo M &= ángulo Nend{alineado}

Si los dos ángulos también son suplementarios, $ángulo M$ y $ángulo N$ las medidas se suman $180^{círculo}$.

begin{alineado}ángulo M + ángulo N &= 180^{circ} end{alineado}

Reemplazar $ángulo M = ángulo N$ en la ecuación para encontrar las medidas de $ángulo M$ y $ángulo N$.

begin{alineado}ángulo N + ángulo N &= 180^{circ} \2ángulo N &= 180^{circ}\ ángulo N &= 90^{circ}end{ alineado}

Como $angle M$ y $angle N$ son congruentes, $angle M = angle N = 90^{circ}$. Esto prueba que para que dos ángulos sean ángulos suplementarios congruentes, sus ángulos miden deben ser dos ángulos rectos o deben medir $90^{círculo}$ cada.

Usar ángulos suplementarios congruentes

Usar ángulos suplementarios congruentes y sus medidas para resolver varios problemas que involucran ángulos. Cuando los ángulos se etiquetan como congruentes y suplementarios, hay no es necesario resolver sus medidas ya que se establece que ambos están en ángulo recto.

Al resolver valores desconocidos dados dos ángulos suplementarios congruentes, simplemente asimilar cada expresión representando los ángulos suplementarios congruentes con $90^{circ}$. Úselo para resolver el problema de ejemplo que se muestra a continuación.

Sean $ángulo ABC$ y $ángulo XYZ$ ángulos suplementarios congruentes, use la discusión anterior para encontrar los valores de $x$ y $y$. Como los dos ángulos son congruentes suplementarios, cada uno mide $90^{circ}$. Para encontrar los valores de $x$ y $y$, haga coincidir la expresión de cada ángulo con $90^{circ}$.

begin{alineado}boldsymbol{ángulo ABC}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{ángulo XYZ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo ABC &= 90^{circ}\(4x – 10)^{circ} &= 90^{circ}\4x&= 100\x &= 25end{ alineado}

begin{alineado}ángulo XYZ &= 90^{circ}\(5y – 20)^{circ} &= 90^{circ}\ 5y&= 110\y &= 22end{ alineado}

Así, usando la definición de ángulos suplementarios congruentes, $x = 25$ y $y = 22$. Aplicar un proceso similar cuando trabajar con ángulos suplementarios congruentesy cuando esté listo, diríjase a la sección a continuación para probar otros problemas.

Ejemplo 1

Las rectas $l_1$ y $l_2$ son dos rectas que se cruzan y que también son perpendiculares entre sí. Forman cuatro ángulos: $angle 1$, $angle 2$, $angle 3$ y $angle 4$. Comprueba que $angle 1 ,&, angle 2$ y $angle 3 ,&, angle 4$ son ángulos suplementarios congruentes.

Solución

Cuando se trabaja con problemas como este, es útil para construir el diagrama. Dibuja un par de líneas que también se intersequen perpendiculares entre sí. Esto significa que estas dos líneas forman cuatro cuadrantes con forma de $L$ similares a un sistema de coordenadas rectangulares.

Observe la mitad superior de la sección., que son los cuadrantes que contienen $angle 1$ y $angle 2$. Estos ángulos forman una línea, por lo que suman 180 $^{circ}$. Como se ha establecido que $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares entre sí, $angle 1$ y $angle 2$ son ángulos rectos. Esto significa que cada uno mide $90$^{circ}$.

begin{alineado}ángulo 1 &= ángulo 2\&= 90^{circ}end{alineado}

la misma explicacion aplica para la parte de abajo, que es $angle 3 = angle 4 = 90^{circ}$. Por supuesto, cada par de ángulos suman $^{circ}$180. Esto también significa que al reorganizar los ángulos, el resultado seguirá siendo el mismo.

begin{alineado}ángulo 1 &= ángulo 3\&= 90^{circ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo 2 &= ángulo 4\&= 90^{circ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo 1 &= ángulo 4\&= 90^{circ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo 2 &= ángulo 3\&= 90^{circ}end{alineado}

Ejemplo 2

begin{alineado}ángulo A &= (6x – 30)^{circ}\ángulo B &= (4y – 30)^{circ}end{alineado}

Los ángulos $angle A$ y $angle B$ son ángulos suplementarios congruentes, entonces, ¿cuáles son los valores de $x$ y $y$?

Solución

Recuerda que cuando dos ángulos son ángulos suplementarios congruentes, ambos miden $90^{círculo}$. Esto significa que los dos ángulos, $angle A$ y $angle B$, miden $90^{circ}$.

Encuentre los valores de $x$ y $y$ igualando las expresiones para $angle A$ y $angle B$ a $90^{circ}$ cada una.

begin{alineado}boldsymbol{ángulo ABC}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{ángulo XYZ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo ABC &= 90^{circ}\(6x – 30)^{circ} &= 90^{circ}\6x&= 120\x &= 20end{ alineado}

begin{alineado}ángulo XYZ &= 90^{circ}\(4y – 30)^{circ} &= 90^{circ}\ 4y&= 120\y &= 30end{ alineado}

Ejemplo 3

Los ángulos $angle AOC$ y $angle BOC$ son perpendiculares entre sí y forman una línea recta. Si $ángulo AOC = (5x – 10)^{circ}$ y $ángulo BOC = (4y – 70)^{circ}$, ¿cuál es el valor de $x + y$?

Solución

Cree una imagen que describa el problema: debería verse como nuestro ejemplo anterior de par lineal que también son ángulos suplementarios como se muestra a continuación. Etiquete los ángulos apropiados e incluya sus medidas de ángulo.

En la primera parte de esta discusión, se estableció que cuando un par lineal tiene ángulos que son medidas congruentes, la única medida posible de los dos ángulos es $90^{círculo}$. De hecho, también son ángulos suplementarios congruentes, por lo que la forma más rápida de resolver este problema es igualar las expresiones para $angle AOC$ y $BOC$ a $90^{circ}$.

begin{alineado}boldsymbol{ángulo AOC}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{ángulo BOC}end{alineado}

begin{alineado}ángulo AOC &= 90^{circ}\(5x – 10)^{circ} &= 90^{circ}\5x &= 130\x &= 26end {alineado}

begin{alineado}ángulo BOC &= 90^{circ}\(4y – 70)^{circ} &= 90^{circ}\ 4y&= 160\y &= 40end{ alineado}

Esto significa que $x = $26 y $y = $40, así que usando estos resultados, $x + y = $66.

Estos tres problemas resaltan cuánto más fácil es resolver problemas similares una vez establecida la medida de los ángulos suplementarios congruentes. Cuando esté listo para probar más preguntas de práctica, diríjase a la sección a continuación.

Preguntas prácticas

1. Verdadero o Falso: Todos los ángulos suplementarios son congruentes.
2. Verdadero o falso: Todos los pares lineales son ángulos suplementarios congruentes.
3. Verdadero o Falso: Las líneas perpendiculares siempre formarán ángulos suplementarios congruentes.
4. Utilizando el siguiente diagrama, ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

A. Los ángulos, $angle 1$ y $angle 2$, son ángulos suplementarios congruentes.
B. Los ángulos, $angle 1$ y $angle 3$, son perpendiculares entre sí.
C. Los ángulos, $angle 1$ y $angle 4$, son perpendiculares entre sí.
D. Los ángulos, $angle 3$ y $angle 4$, son ángulos suplementarios congruentes.

5. Supón que $angle LOM$ y $angle MON$ son dos ángulos suplementarios congruentes. Si $x = 20$ y $y = 30$, ¿cuáles de las siguientes expresiones para $angle LOM$ y $angle MON$ no son válidas?

A. $ángulo LOM = (3x + 60)^{circ}$, $ángulo MON = (5y + 10)^{circ}$
B. $ángulo LOM = (5x – 10)^{circ}$, $ángulo MON = (2y + 30)^{circ}$
C. $ángulo LOM = (4x + 10)^{circ}$, $ángulo MON = (3y)^{circ}$
D. $ángulo LOM = (6x – 30)^{circ}$, $ángulo MON = (4y – 30)^{circ}$

6. Los ángulos $angle AOC$ y $angle BOC$ son perpendiculares entre sí y forman una línea recta. Si $angle AOC = (2x + 40)^{circ}$ y $angle BOC = (3y + 60)^{circ}$, ¿cuál es el valor de $x + y$?

A. $x + y = $25
B. $x + y = $35
C. $x + y = $45
D. $x + y = $55

corregido

1. Falso
2. Falso
3. Cierto
4.C
5. uno
6.B

marzo 3, 2022 por Ángulos Blog Pares Preguntas

Cerrado bajo adición: propiedad, tipo de números y ejemplos

Cerrado bajo adición: propiedad, tipo de números y ejemplos

La frase “cerrado bajo adiciónse menciona a menudo cuando se estudian las propiedades y características de diferentes tipos de números. La propiedad de cierre de la suma destaca una característica particular de los números racionales (entre otros grupos de números). Saber qué conjunto de números está cerrado por adición también ayudará a predecir la naturaleza de las sumas de cantidades complejas.

Cuando un conjunto de números o cantidades se cierra por adición, su suma siempre procederá del mismo conjunto de números. También use contraejemplos para refutar la propiedad de cierre de los números.

Este artículo cubre la base de la propiedad de cierre por adición y tiene como objetivo hacerle sentirse seguro identificando un grupo de números que están cerrados por sumaasí como saber ubicar un grupo de números no cerrados por medio de la suma.

¡Hay muchos ejercicios en esta discusión para ayudarlo a comprender la propiedad de cierre de la suma!

¿Qué significa cerrado bajo suma?

Cerrado bajo suma significa que tlas cantidades añadidas satisfacen la propiedad de cierre de la adición, que establece que la suma de dos o más miembros del conjunto siempre será un miembro del conjunto. Los números enteros, por ejemplo, se cierran por suma.

Esto significa que cuando se suman dos números enteros, la suma resultante también es un número entero.

Eche un vistazo a la ilustración de arriba para comprender mejor el concepto de suma cerrada. Cuando se agregan dos pastelitos a otros ocho pastelitos, se espera que haya diez pastelitos. no tiene sentido que la combinación resultante devolverá nueve pastelitos y un pastel.

Extienda esto a un conjunto de números y expresiones que satisfagan la propiedad de cierre. Cuando se dice que un grupo de cantidades o miembros de un conjunto es cerrado por adición, su suma siempre devolverá otro miembro del conjunto. Eche un vistazo a los diferentes conjuntos (y subconjuntos) de números reales:

  • Los números irracionales son todos los números reales que no se pueden escribir como una razón de dos números enteros.
  • Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como la razón de dos números enteros.
  • Los números enteros son números enteros positivos y negativos.
  • Los números enteros son números naturales o contados más cero.
  • Por supuesto, los números naturales son los números que usamos para contar.

En general, todos los números racionales son cerrados por suma. Esto significa que agregar una combinación de estos tipos de números también devolverá números reales. Además, cada subconjunto de números también se cierra por adición.

Aquí hay algunos ejemplos y diferentes tipos de números racionales cerrados por adición:

tipo de numeros

Adición

Tipo de número resultante

Racional

begin{alineado}dfrac{1}{2} + dfrac{3}{4} = dfrac{5}{4}end{alineado}

Racional

Entero

begin{alineado} -4 + 12 = 8end{alineado}

Entero

Nombre completo

begin{alineado} 0+ 1200 = 1200end{alineado}

Nombre completo

Todo natural

begin{alineado} 100 + 500 = 600end{alineado}

Todo natural

Estos son solo algunos ejemplos que muestran cómo los números racionales se cierran mediante la suma. Prueba formal de cierre de propiedad de la factura requiere conocimientos más avanzadospor lo que es más importante centrarse en una pregunta que sea fácil de responder: ¿Los números irracionales también son cerrados por adición?

¿Por qué los números irracionales no son cerrados bajo la suma?

Los números irracionales no se consideran cerrados por adición porque cuando se suma un número irracional y su inverso aditivo, el resultado es cero. Como se estableció, el cero es un número racional y, de hecho, un número entero. Esto va en contra de la definición de la propiedad de cierre: todos los miembros del conjunto deben satisfacer la condición.

begin{alineado}sqrt{3} + sqrt{4} &= sqrt{3} + sqrt{4}\ sqrt{5} + 3sqrt{5} &= 4sqrt{5 }\2pi + 3pi &= 5pi\dfrac{e}{3} + dfrac{sqrt{2}}{3} &= dfrac{e + sqrt{2} {3}end{alineado}

A primera vista, los números irracionales parecen cerrados por adición. Eche un vistazo a los cuatro ejemplos que se muestran: cada uno de estos pares de números irracionales también devuelve un número irracional para una suma. Sin embargo, la propiedad de cierre debe aplicarse a todos los números irracionales para que se consideren cerrados por adición.

begin{alineado} sqrt{7} + (-sqrt{7}) &= 0\ pi + -pi&= 0\2e + (-2e) &= 0\4sqrt{5 } + (-4sqrt{5})&= 0end{alineado}

Dado que cada par devuelve una suma de cero y cero no es un número irracional, los números irracionales no se cierran por adición. Cuando se le pida que pruebe esta afirmación nuevamente, ¡solo piense en contraejemplos!

En la siguiente sección, explorar subconjuntos más particulares de números que se cierran mediante la suma. Además, aprenda a identificar un conjunto de números que no satisfagan la propiedad de cierre de la suma. Cuando esté listo, pase a problemas de muestra y preguntas de práctica.

Ejemplo 1

¿Los enteros pares son cerrados por suma?

Solución

enteros pares son números divisibles por dos, como ${2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …}$. Cuando se suman dos números pares, su suma también será siempre par. Ahora primero prueba con diferentes pares de números pares para entender esta afirmación y luego trata de probarla usando formas generales.

primer numero par

segundo numero par

Suma de números pares

begin{alineado}12end{alineado}

begin{alineado}14end{alineado}

begin{alineado}12 + 14 &= 26 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

begin{alineado}200end{alineado}

begin{alineado}48end{alineado}

begin{alineado}200 + 48&= 248 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

begin{alineado}580end{alineado}

begin{alineado}124end{alineado}

begin{alineado}580+124&= 704 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

Claro, no es suficiente predicar simplemente con el ejemplos (como aprendimos de los números irracionales) confirmar que un grupo de números es cerrado por adición. Ahora, ¿Cómo probar que los números pares son cerrados por suma?

Tenga en cuenta que todos los números pares son múltiplos de $2$, por lo que los números pares se pueden escribir como el producto de un factor y $2$.

  • Sea el primer número par igual a $2 cdot k = 2k$.
  • Sea el segundo número par igual a $2 cdot l = 2l$.

suma los dos numeros pares$2k$ y $2l$, para observar la naturaleza de la suma resultante.

begin{alineado}2k + 2l &= 2k + 2l\&= 2(k + l)end{alineado}

Esto significa que la suma de los dos números se puede expresar como $2(k + l)$, que también es múltiplo de $2$ y por lo tanto un número par.

¿Qué pasa si hay tres o más números pares?

begin{alineado}2k_1 + 2k_2 + 2k_3 + …+ 2k_{n- 1} + 2k_n &= 2(k_1 + k_2+k_3+ …+ k_{n -1}+k_n)end{alineado}

Esto confirma que la suma de tres o más números pares también es un número par. Por lo tanto, es seguro concluir que incluso los números enteros se cierran mediante la suma.

Ejemplo 2

¿Los enteros impares son cerrados por suma?

Solución

los enteros impares son números enteros que terminan en $1$, $3$, $5$, $7$, Donde $9$ y se ha establecido que la suma de dos números impares siempre será par.

primer numero impar

segundo numero impar

Suma de números impares

begin{alineado}21end{alineado}

begin{alineado}45end{alineado}

begin{alineado}21 + 45 &= 66 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

begin{alineado}157end{alineado}

begin{alineado}123end{alineado}

begin{alineado}157+123&= 280 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

begin{alineado}571end{alineado}

begin{alineado}109end{alineado}

begin{alineado}579 + 109&= 680 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

Estos tres ejemplos son ejemplos excelentes que muestran que los enteros impares no se cierran mediante la suma. También para generalizar, recuerda que los números impares se pueden escribir $2,000 + $1, así que observe lo que sucede cuando se suman dos enteros impares.

begin{alineado}(2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) &= 2k_1 + 2k_2 + 2\&= 2(k_ 1+ k_2 + 1)\&Rightarrow textbf{Par}end{alineado }

Hay no hay necesidad de generalizar más — para refutar la propiedad de clausura de un conjunto dado de números, ¡todo lo que necesitamos son contraejemplos! Esto concluye que los enteros impares no se cierran mediante la suma.

Aplique un proceso similar cuando intente determinar si un grupo de números es cerrado por suma o no. Usa sus propiedades para generalizar la propiedad de cierre para todos los números y encontrar contraejemplos para refutar las afirmaciones. Cuando esté listo para probar su comprensión de la propiedad de cierre que se agrega, diríjase a la sección a continuación.

Preguntas prácticas

1. ¿Cuáles de los siguientes números están cerrados por suma?

A. Enteros impares
B. Números irracionales
C. Cuadrados perfectos
D. Números pares enteros

2. ¿Cuáles de los siguientes números no son cerrados por suma?

A. Números naturales
B. Fracciones
C. Números impares
D. Números pares

3. Verdadero o falso: La suma de dos números irracionales siempre serán números racionales.

4. Verdadero o falso: La suma de dos números divisibles por $5$ siempre será un número entero.

5. Verdadero o falso: los decimales positivos se cierran bajo la suma.

6. ¿Cuál de los siguientes números irracionales devolverá un número racional cuando se suma a $2sqrt{3}$?

A.$-4sqrt{3}$
B. $-2sqrt{3}$
C.$2sqrt{3}$
D.$4sqrt{3}$

7. ¿Los múltiplos de $4 se cierran con sumas?

R. Sí
B No

8. ¿Los números primos son cerrados por adición?

R. Sí
B No

9. Complete el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera:
La oración de suma $4 + 109 = $113 muestra que __________.

A. los números impares se cierran mediante la suma.
B. los números enteros no se cierran por suma.
C. los enteros se cierran por suma.
D. los números impares no se cierran mediante la suma.

10. Complete el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera:
La oración de suma $dfrac{1}{2} + dfrac{1}{2} = 1$ muestra que __________.

A. los números racionales se cierran por adición.
B. los números irracionales no se cierran por adición.
C. los números irracionales se cierran por adición.
D. los números racionales no se cierran por adición.

corregido

1.D
2.C
3. Falso
4. Cierto
5. Cierto
6.B
7. Sí
8. No
9.C
10. uno

marzo 2, 2022 por Blog Decimales Fracciones Impares Naturales Pares Preguntas

Números primos y compuestos – Explicación con ejemplos

Números primos y compuestos – Explicación con ejemplos

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un entero positivo mayor que 1 y es divisible solo por 1 o por sí mismo, sin resto. En otras palabras, un número primo es un entero positivo que tiene dos divisores positivos, incluido el 1 y él mismo. Por ejemplo, 5 solo se puede dividir entre 1 y 5.

Hechos

  • 2 es el único número primo par. Todos los demás números pares son divisibles por 2.
  • Todos los números primos excepto el 2 son impares y se llaman primos impares.
  • Ningún número primo más allá de 5 tiene el último dígito que termina en 5. Todos los números mayores que 5 que terminan en 5 son divisibles por 5.
  • 0 y 1 no son números primos.

Lista de números primos

La siguiente tabla muestra todos los números primos entre 0 y 1000:

 2 3 5 siete 11 13 17 19 23
29 31 37 41 43 47 53 59 61 67
71 73 79 83 89 97 101 103 107 109
113 127 131 137 139 149 151 157 163 167
173 179 181 191 193 197 199 211 223 227
229 233 239 241 251 257 263 269 271 277
281 283 293 307 311 313 317 331 337 347
349 353 359 367 373 379 383 389 397 401
409 419 421 431 433 439 443 449 457 461
463 467 479 487 491 499 503 509 521 523
541 547 557 563 569 571 577 587 593 599
601 607 613 617 619 631 641 643 647 653
659 661 673 677 683 691 701 709 719 727
733 739 743 751 757 761 769 773 787 797
809 811 821 823 827 829 839 853 857 859
863 877 881 883 887 907 911 919 929 937
941 947 953 967 971 977 983 991 997

¿Qué es un número compuesto?

Mientras que los números primos son números de dos factores, los números compuestos son números enteros positivos o números enteros con más de dos divisores. Por ejemplo, 23 tiene solo dos factores, 1 y 23 (1 × 23), y por lo tanto es un número primo. Sin embargo, el número 4 tiene tres divisores: 1,2 y 4 (1 × 4 y 2 × 2).

Lista de números compuestos

A continuación se muestra una lista de todos los números compuestos hasta el 300.

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, 159, 160, 161, 162, 164, 165, 166, 168, 169, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178, 180, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 192, 194, 195, 196, 198, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 224, 225, 226, 228, 230, 231, 232, 234, 235, 236, 237, 238, 240, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 252, 253, 254, 255, 256, 258, 259, 260, 261, 262, 264, 265, 266, 267, 268, 270, 272, 273, 274, 27 5, 276, 278, 279, 280, 282, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300

¿Cómo identificar números primos y compuestos?

Para comprobar si un número es primo o compuesto se realiza el test de divisibilidad de los órdenes 2, 5, 3, 11, 7 y 13. Un número compuesto es divisible por uno de los factores anteriores. Un número menor que 121 no es divisible por 2, 3, 5 o 7 es primo. De lo contrario, se marca el número. Un número menor que 289, que no es divisible por 2, 3, 5, 7, 11 o 13, también es primo. De lo contrario, se marca el número.

Ejemplo 1

Identifica los números primos y compuestos en la siguiente lista.

185, 253, 253 y 263.

Solución

Realice la prueba de divisibilidad para identificar números compuestos y primos.

263 es un número primo. 263 termina en un número impar 3, y por lo tanto no es divisible por 2. Dado que su último dígito no es ni 0 ni 5, el número tampoco es divisible por 5. Finalmente, la raíz numérica de 263 es 2, es decir

(2 + 6 + 3) = 11 y (1 + 1) = 2, por lo que no es divisible por 3.

El número 185 tiene el 5 como último dígito, por lo que 185 es divisible por 5. En este caso, el número es compuesto.

El número 253 tiene el último dígito 3, que es un número impar. Asimismo, no termina en 0 o 5, 253 no es divisible por 5. La raíz numérica de 253 se calcula como (2 + 5 + 3) = 10. (1 + 0) = 1, que n no es divisible por 3. Por lo tanto, 253 es un número compuesto.

El número 243 tiene como última cifra 3, por lo que no es divisible por 2. El número no tiene como última cifra ni 0 ni 5 y por tanto no es divisible por 5. Su raíz numérica se obtiene como (2 + 4 + 3) = 9, que es divisible por 3. Por lo tanto, 243 es compuesto.

Ejemplo 2

¿Cuáles de los siguientes números son números compuestos o primos?

3, 9, 11 y 14

Solución

El número 3 es un número primo porque sus factores son solo 1 y 3. El número 9 es un número compuesto porque sus factores son 1, 3 y 9. El número 14 es un número compuesto porque es divisible por 1, 2, 7. y 14. El número 11 también es un número primo porque solo tiene dos divisores: 1 y 11

Ejemplo 3

Identifique los números primos y compuestos en la siguiente lista:

73, 65, 172 y 111

Solución

El número 73 es un número primo. El último dígito no es 0 ni 5, y no es un múltiplo de 7. El número 65 es un número compuesto porque el último dígito termina en 5 y es divisible por 5. La raíz numérica del número 111 es 3, al igual que divisible por 3. El número 111 está compuesto. El número 172 también es un compuesto porque es par y, por lo tanto, divisible por 2.

Ejemplo 4

¿Cuál de los siguientes números es primo o compuesto?

23, 91, 51 y 113

Solución

El número 23 es primo por los siguientes casos: 23 no es un número par, su raíz numérica es 5 y el número en sí no es un múltiplo de 7. La raíz numérica de 51 es 6, que es un múltiplo de 3. Número 51 por lo tanto se compone.

El número 91 está compuesto porque la raíz numérica es un múltiplo de 7. El número 113 es impar y no termina en 0 ni en 5. La raíz numérica de 113 no es divisible ni por 3 ni por 2. Por lo tanto, el número 113 es primo.

Ejemplo 5

Diferencie los números primos y compuestos de la siguiente lista.

169, 143, 283 y 187

Solución

El número 143 es divisible por 11 y, por lo tanto, está compuesto. El número 169 también es compuesto porque es divisible por 13. El número 187 es divisible por 11. En este caso, el número es compuesto. El número 283 es ​​primo porque el último dígito no es ni 5 ni 0, y la raíz numérica es 4, que no es divisible por 2, 3 o 5. Tampoco es múltiplo de once, es decir (+2 – 8 + 3 ) = 3.

febrero 12, 2022 por Blog Divisores Ejemplos Impares Pares

números pares e impares

números pares e impares

¿Qué son los números pares e impares?

Un número entero que se puede dividir por 2 es un número par, mientras que un número entero que no se puede dividir por 2 es un número impar. Pueden ser positivos o negativos. Los números impares siempre están entre números pares y viceversa.

Para diferenciar entre números pares e impares, siempre buscas su dígito final. El último dígito de un número par siempre es 0, 2, 4, 6 u 8, mientras que el último dígito de un número impar siempre es 1, 3, 5, 7 o 9.

Ejemplos

Estos son algunos ejemplos de números pares:

-22, -10, 0, 6, 18, 234.

Los números anteriores son pares porque terminan en 0, 2, 4, 6 u 8.

Estos son algunos ejemplos de números impares:

-101, -17, 1, 9, 23, 985.

Los números anteriores son impares porque terminan en 1, 3, 5, 7 o 9.

Propiedades

Los números pares e impares tienen propiedades especiales con respecto a las operaciones algebraicas (suma, resta y multiplicación). Siempre que aplicamos operaciones algebraicas a dos números pares o impares, siempre obtenemos un número par o impar. Excluimos la división aquí porque la división a veces te da el resultado en fracciones al hablar de propiedades particulares.

  • Cuando sumamos o restamos dos números pares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 6 + 4 = 10

    6 – 4 = 2

  • Cuando sumamos o restamos un número par y un número impar, el resultado siempre es impar.Por ejemplo, 7 + 4 = 11

    7 – 4 = 3

  • Cuando sumamos o restamos dos números impares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 7 + 3 = 10

    7 – 3 = 4

  • Cuando multiplicamos dos números pares, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo,
    6 × 4 = 24
  • Cuando multiplicamos un número par y un número impar, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo,
    7 × 4 = 28
  • Cuando multiplicamos dos números impares, el resultado siempre es un número impar. Por ejemplo,
    7 × 3 = 21

Generalización de números pares e impares

También podemos generalizar números pares e impares. Por ejemplo, si ‘n’ es un número par, entonces el siguiente número impar es ‘n+1’, y el siguiente número par es ‘n+2’, y así sucesivamente. De manera similar, si ‘n’ es un número impar, entonces el siguiente número par es ‘n + 1’, y el siguiente número impar es ‘n + 2’, y así sucesivamente.

Por ejemplo, si queremos escribir una secuencia de cinco números impares a partir del 73, podemos escribirla así:

73, 73+2, 73+4, 73+6, 73+7

73, 75, 77, 79, 81

tabla de numeros

La siguiente tabla es la tabla de números del 1 al 100, donde el los números impares están resaltados en amarillo y el los números pares se resaltan en verde.

Odd and Even numbers Chart

febrero 12, 2022 por Blog División Ejemplos Fracciones Impares Multiplicación Operaciones Pares Resta Suma

Tipos de números: diferencia y clasificación

Tipos de números: diferencia y clasificación

¿Te imaginas cómo sería tu vida si no tuvieras forma de representar las edades, el peso, los cumpleaños, el tiempo, los puntajes, las cuentas bancarias y los números de teléfono? Los diez dígitos matemáticos (0 a 9) se utilizan para definir todas estas cantidades.

Los números son cadenas de dígitos que se utilizan para representar una cantidad. La magnitud de un número indica el tamaño de la cantidad. Puede ser grande o pequeño. Existen en diferentes formas, como 3, 999, 0.351, 2/5, etc.

Tipos de Números en Matemáticas

Así como diferentes miembros de la familia viven en diferentes casas, diferentes números pertenecen a la misma familia pero tienen diferentes tipos. Con el tiempo, diferentes patrones de diez dígitos se han categorizado en una variedad de tipos de números. Estos patrones numéricos son diferentes entre sí debido a diferentes representaciones y propiedades.

Números naturales

Los números naturales o números de conteo son los tipos de números más básicos que aprendió por primera vez cuando era niño. Comienzan desde 1 y van hasta el infinito, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. También se les llama números enteros positivos. En la forma de conjunto, se pueden escribir:

{1 2 3 4 5, …}

Los números naturales se representan con el símbolo NO.

Números enteros

Los números enteros son todos los números naturales, incluido el cero. Esto significa que parten de 0 y van hasta 1, 2, 3, etc., es decir

{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Los números enteros se representan con el símbolo O.

Entero

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros y los negativos de los números naturales. Contienen todos los números entre infinito negativo e infinito positivo. Pueden ser positivos, nulos o negativos pero no se pueden escribir en decimal o en fracción. Los enteros se pueden escribir como un conjunto como

{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Podemos decir que todos los números enteros y naturales son números enteros, pero no todos los números enteros son números naturales o enteros.

El símbolo Z representa números enteros.

fracciones

Una fracción representa partes de una pieza entera. Se puede escribir en la forma una Bo ambos a y B son números enteros y B nunca puede ser igual a 0. Todas las fracciones son números racionales, pero no todos los números racionales son fracciones.

Luego, las fracciones se reducen a fracciones propias e impropias. Las fracciones impropias son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador, mientras que lo contrario es cierto en las funciones propias, es decir, el denominador es mayor que el numerador. Ejemplos de fracciones propias son 3/7 y 99/101, mientras que 7/3 y 101/99 son fracciones impropias. Esto significa que las fracciones impropias siempre son mayores que 1.

Todos los decimales finales y los decimales periódicos se pueden escribir como fracciones. Puedes escribir el decimal final 1.25 como 125/100 = 5/4. Un decimal periódico 0.3333 se puede escribir como 1/3.

Numeros racionales

Puedes escribir números racionales como una fracción. La palabra “racional” se deriva de la palabra “razón”, porque los números racionales son las proporciones de dos números enteros. Por ejemplo, 0,7 es un número racional porque se puede escribir como 7/10. Otros ejemplos de números racionales son -1/3, 2/5, 99/100, 1,57, etc.

Considere un número racional p/qo pags y q son dos enteros. Aquí el numerador pags puede ser cualquier número entero (positivo o negativo), pero el denominador q nunca puede ser 0 porque la fracción no está definida. También si q = 1, entonces la fracción es un número entero.

El símbolo Q representa los números racionales.

Numeros irracionales

Los números irracionales no se pueden escribir como una fracción, es decir, no se pueden escribir como la razón de dos números enteros. Algunos ejemplos de números irracionales son √2, √5, 0.353535…, π, etc. Puedes ver que los dígitos de los números irracionales continúan para siempre sin un patrón repetitivo.

El símbolo Q representa los números irracionales.

Numeros reales

Los números reales son el conjunto de todos los números racionales e irracionales. Esto incluye todos los números que se pueden escribir en forma decimal. Todos los números enteros son números reales, pero no todos los números reales son números enteros. Los números reales incluyen todos los números enteros, enteros, fracciones, decimales periódicos, decimales finales, etc.

El símbolo R representa números reales.

números imaginarios

Los números distintos de los números reales son números imaginarios o complejos. Cuando elevamos al cuadrado un número imaginario, da un resultado negativo, lo que significa que es la raíz cuadrada de un número negativo, por ejemplo, √-2 y √-5. Cuando elevamos al cuadrado estos números, los resultados son -2 y -5. La raíz cuadrada de uno negativo se representa con la letra Ies decir

I = √-1

Ejemplo 1

¿Cuál es la raíz cuadrada de -16? Escribe tu respuesta en términos de un número imaginario. I.

Solución

  • Paso 1: Escribe la forma de la raíz cuadrada.

√(-16)

√(16 × -1)

  • Paso 3: Separa las raíces cuadradas.

√(16) × √(-1)

  • Paso 4: Resuelve la raíz cuadrada.

4 × √(-1)

  • Paso 5: Escribe en la forma i.

4I

A veces obtienes una solución imaginaria a las ecuaciones.

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación,

X2 + 2 = 0

Solución

  • Paso 1: Toma el término constante del otro lado de la ecuación.

X2 = -2

  • Paso 2: Saca la raíz cuadrada de ambos lados.

√X2 = +√-2 o -√-2

X = √(2) × √(-1)

X = +√2I o -√2I

  • Paso 4: Verifique las respuestas insertando valores en la ecuación original y vea si obtenemos 0.

X2 + 2

(+√2I)2 + 2 = -2 + 2 = 0 (como I = √-1 y cuadrado de I es -1)

(-√2I)2 + 2 = -2 + 2 = 0 (como I = √-1 y cuadrado de I es -1)

El hecho de que su nombre sea “imaginario” no significa que sean inútiles. Tienen muchas aplicaciones. Una de las mayores aplicaciones de los números imaginarios es su uso en circuitos eléctricos. Los cálculos de corriente y voltaje se realizan en términos de números imaginarios. Estos números también se utilizan en cálculos complejos. En algunos lugares, el número imaginario también se representa con la letra I.

Números complejos

Un número imaginario se combina con un número real para obtener un número complejo. El es representado como a + bidonde la parte real y B son la parte compleja del número complejo. Los números reales se encuentran en una recta numérica, mientras que los números complejos se encuentran en un plano plano bidimensional.

Al igual que los números imaginarios, los números complejos tampoco son inútiles. Se utilizan en muchas aplicaciones, como señales y sistemas y la transformada de Fourier.

números primos y números compuestos

Type of numbers Chart

Los números primos y compuestos son opuestos entre sí. Los números primos son el tipo de enteros que no tienen más factores que ellos mismos y 1, por ejemplo, 2, 3, 5, 7, etc. El número 4 no es un número primo porque es divisible por 2. De manera similar, 12 tampoco es un número primo porque es divisible por 2, 3 y 4. Por lo tanto, 4 y 12 son ejemplos de números compuestos.

Números trascendentales

Los números que nunca pueden ser el cero (o la raíz) de una ecuación polinomial con coeficientes racionales se llaman números trascendentales. No todos los números irracionales son números trascendentales, pero todos los números trascendentales son números irracionales.

Clasificación de números

La familia de números que vimos anteriormente también se puede clasificar en diferentes categorías. Es como si una familia tuviera 20 miembros, pero viven en dos casas familiares conjuntas con 10 miembros cada una, lo que significa que 10 miembros viven en la misma casa. Podemos decir que dos o más tipos de números pueden pertenecer a una categoría.

números discretos y continuos

Los tipos de números contables se llaman números discretos, y los tipos de números que no se pueden contar se llaman números continuos. Todos los números naturales, enteros, enteros y racionales son discretos. Esto se debe a que cada uno de sus conjuntos es contable. El conjunto de números reales es demasiado grande y no se puede contar, por lo que se clasifica como números continuos. Si tomamos al azar los dos números reales más cercanos, todavía hay infinitamente más números reales entre ellos; por lo tanto, no se pueden contar.

Conjuntos de números

Los números también se pueden clasificar como conjuntos. Cada tipo de número es un subconjunto de otro tipo de número. Por ejemplo, los números naturales son el subconjunto de los números enteros. De manera similar, los números enteros son el subconjunto de los números enteros. El conjunto de los números racionales contiene todos los números enteros y fracciones. Los conjuntos de números racionales y números irracionales forman los números reales. Los números reales se clasifican en números complejos con la parte imaginaria igual a 0. Podemos clasificar estos números en una tabla jerárquica de la siguiente manera:

Los números naturales se pueden reducir aún más a números cuadrados pares, impares, primos, coprimos, compuestos y perfectos.

febrero 11, 2022 por Blog Decimales Fracciones Impares Naturales Pares

Distancia entre coordenadas polares – Derivación, proceso y ejemplos

Distancia entre coordenadas polares – Derivación, proceso y ejemplos

Podemos encontrar la distancia entre las coordenadas polares revisando la fórmula de la distancia. Conocer esta técnica será útil cuando queramos encontrar la distancia entre dos o más coordenadas polares, y no queramos convertirlas a sus formas rectangulares.

Podemos encontrar la distancia entre dos coordenadas polares usando los valores de sus radios y sus argumentos.

Este artículo mostrará cómo podemos derivar la fórmula de la distancia a partir de coordenadas polares y aprenderá cómo aplicarla en diferentes ejemplos y problemas. Antes de hacerlo, asegúrese de revisar sus notas sobre los siguientes puntos:

  • Asegúrese de comprender los diferentes componentes necesarios para que apliquemos el fórmula de distancia en coordenadas rectangulares.
  • Mejora tu conocimiento de las formas polares y convierte expresiones rectangulares en sus formas polares.
  • Refresca tus conocimientos de los más comunes. identidades trigonométricas has aprendido en el pasado.

Avancemos y sumerjámonos directamente en la fórmula y el proceso de encontrar la distancia entre dos o más coordenadas polares.

¿Cómo encontrar la distancia entre coordenadas polares?

La mejor manera de entender cómo podemos aplicar la fórmula de distancia para coordenadas polares es derivar la fórmula de la fórmula de distancia para coordenadas rectangulares.

visualizing two polar coordinates

Aquí hay una visualización de cómo dos coordenadas polares están en un sistema de coordenadas $xy$. Recuerda que la distancia entre dos puntos, $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, es igual a $sqrt{(y_2 – y_1)^2 + (x_2 – x_1)^2}$.

Podemos expresar los dos puntos como dos coordenadas polares, $(r_1 cos theta_1, r_1 sin theta_1)$ y $(r_2 cos theta_1, r_2 sin theta_1)$. Luego podemos reescribir la fórmula de la distancia como una función del argumento del radio y las coordenadas polares.

begin{alineado}d &= sqrt{(y_2 – y_1)^2 + (x_2 – x_1)^2}\d &= sqrt{(r_2 sintheta_2 – r_1 sintheta_1)^2 + (r_2 cos theta_2 – r_1 cos theta_1)^2}end{alineado}

Podemos expandir los términos dentro de la raíz cuadrada usando la propiedad algebraica, $(a -b)^2 = a^2 -2ab + b^2$, y luego simplificar los términos como se muestra a continuación.

begin{alineado}d &= sqrt{(r_2^{phantom{x}2} sintheta_2 -2 r_1r_2costheta_1sintheta_2 + r_1^{phantom{x}2} sin ^2theta_1) + (r_2^{phantom{x}2} costheta_2 -2 r_1r_2sintheta_1costheta_2 + r_1^{phantom{x}2} cos^2theta_1) }\&= sqrt{ (r_1^{phantom{x}2}cos^2theta_1 + r_1^{phantom{x}2} sin^2theta_1) + (r_2^{phantom {x}2}cos^2theta_2 + r_2^{phantom{x}2} sin^2theta_2) -(2 r_1r_2costheta_1sintheta_2 +2 r_1r_2sintheta_1cos theta_2) }\&= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} (cos^2theta_1 + sin^2theta_1) + r_2^{phantom{x}2}(cos ^2theta_2 + sin^2theta_2)-2r_1r_2(costheta_1sintheta_2 +sintheta_1costheta_2) }end{alineado}

¿Te resulta familiar la pareja? Esto se debe a que podemos reescribirlos usando las siguientes identidades trigonométricas:

  • $sin^2 A + cos^2 A = 1$
  • $cos(A -B) = cos A cos B + sin A sin B$

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} (1) + r_2^{phantom{x}2}(1) -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) } \&= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) } end{alineado}

Por lo tanto, le mostramos que podemos encontrar la distancia entre dos coordenadas polares usando la fórmula de distancia de coordenadas polares que se muestra a continuación:

begin{alineado}&fantasma{xxxxx}(r_1, theta_1)\ &fantasma{xxxxx}(r_2, theta_2)\\d &= sqrt{ r_1^{fantasma{x}2 } + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) } end{alineado}

Aplicación de fórmula de distancia entre coordenadas polares

La fórmula anterior indica que no es necesario para nosotros convertir las coordenadas polares en coordenadas rectangulares para que podamos calcular su distancia. Dados dos puntos, $(r_1, theta_1)$ y $(r_2, theta_2)$, podemos aplicar los siguientes pasos:

  • Encuentra los valores de $r_1$ y posiblemente el valor de $r_1^{phantom{x}2}$ .
  • Podemos hacer lo mismo para $r_2$ y $ r_2^{phantom{x}2}$.
  • Encuentra la diferencia entre sus ángulos, $(theta_1 – theta_2)$.
  • Usa estos componentes para encontrar la distancia entre dos puntos usando la fórmula, $d = sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos (theta_1 – theta_2) }$.

Digamos que tenemos $(-3, 75^{circ})$ y $(6, 45^{circ})$, podemos determinar la distancia entre los dos puntos usando la fórmula de distancia en coordenadas polares. Podemos comenzar identificando los componentes y valores esenciales de la fórmula:

begin{alineado}boldsymbol{r_1^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{r_2^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{theta_1 – theta_2}end{alineado}

begin{alineado}r_1 &=-3\r_1^{phantom{x}2} &= 9end{alineado}

begin{alineado}r_2 &= 6\r_2^{phantom{x}2} &= 36end{alineado}

begin{alineado}theta_1 – theta_2 &= 75^{circ} – 45^{circ}\&= 75^{circ}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {9 + 36 -2(-3)(6)cos 30^{circ} }\&=sqrt{45+36cos30^{circ}}\ &=sqrt{45+36 cdot dfrac{sqrt{3}}{2}}\&=sqrt{45 + 18sqrt{3}}end{alineado}

También podemos usar nuestra calculadora para estimar el valor exacto de la distancia entre las dos coordenadas polares. Esto significa que $d = sqrt{45 + 18sqrt{3}} approx 8,73$ unidades.

Ahora le mostramos cómo derivar y aplicar la fórmula para la distancia a partir de coordenadas polares, por lo que es hora de que pruebe sus conocimientos respondiendo a los problemas que se presentan a continuación.

Ejemplo 1

Determina la longitud del segmento de recta que une las coordenadas polares $(6, 80^{circ})$ y $(3, 20^{circ})$.

Solución

Comience por identificar los valores importantes que necesitamos para calcular la distancia entre las dos coordenadas polares.

  • $r_1 = 6$, $theta_1 = 80^{circ}$
  • $r_2 = 3$, $theta_2 = 20^{circ}$

begin{alineado}boldsymbol{r_1^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{r_2^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{theta_1 – theta_2}end{alineado}

begin{alineado}r_1^{phantom{x}2} &= 36end{alineado}

begin{alineado}r_2^{phantom{x}2} &= 9end{alineado}

begin{alineado}theta_1 – theta_2 &= 80^{circ} – 20^{circ}\&= 60^{circ}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {36 + 9 -2(6)(3)cos 60^{circ} }\&=sqrt{45 – 36cos 60^{circ}}\ &=sqrt{45 – 36 cdot dfrac{1}{2}}\&=sqrt{45 – 18}\&= sqrt{27}\&= 3sqrt{3} end{alineado}

Esto significa que la distancia entre las dos coordenadas polares, $(6, 80^{circ})$ y $(3, 20^{circ})$, es igual a $3sqrt{3}$ o aproximadamente 5 .20 $$ unidades.

Ejemplo 2

Dados dos puntos polares, $P_1$ y $P_2$, calcula la distancia entre los puntos.

begin{alineado}P_1 &= left(4, dfrac{2pi}{3}right)\P_2 &= left(8, dfrac{pi}{6}right)end {alineado}

Solución

Aplicaremos la misma fórmula para encontrar la distancia entre $P_1$ y $P_2$, pero esta vez estamos trabajando con ángulos en radianes. Como antes, tomemos nota de los componentes importantes que necesitaremos para la fórmula de la distancia.

  • $r_1 = 4$, $theta_1 = dfrac{2pi}{3}$
  • $r_2 = 8$, $theta_2 = dfrac{pi}{6}$

begin{alineado}boldsymbol{r_1^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{r_2^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{theta_1 – theta_2}end{alineado}

begin{alineado}r_1^{phantom{x}2} &= 16end{alineado}

begin{alineado}r_2^{phantom{x}2} &= 64end{alineado}

begin{alineado}theta_1 – theta_2 &= dfrac{2pi}{3} – dfrac{pi}{6}\&= dfrac{pi}{2}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {16 + 64 -2(4)(8)cosdfrac{pi}{2} }\&=sqrt{80 – 64cos dfrac{pi}{2}}\ &= sqrt{80 – 0}\&=sqrt{80}\&= 4sqrt{5}end{alineado}

Esto significa que la distancia entre $P_1$ y $P_2$ es igual a $4sqrt{5}$ o aproximadamente 8,94$ unidades.

Antes de pasar al tercer ejemplo, tenga en cuenta lo importante que es familiarizarse con el ángulos especiales en trigonometría. Conocer sus valores trigonométricos hará que calcular la distancia sea mucho más rápido. Otro consejo: verifica el modo de grado de tu calculadora ($text{DEG}$ para $^{circ}$ y $text{RAD}$ para radianes).

Ejemplo 3

Las cuatro coordenadas polares, $A$, $B$, $C$ y $D$, se trazan en un sistema de coordenadas $xy$ como se muestra a continuación.

finding the distances of polar coordinates

Halla las distancias de los siguientes pares de puntos.
una. Distancia entre $A$ y $C$.
B. Distancia entre $B$ y $C$.
contra Distancia entre $B$ y $D$.
Usa el resultado para encontrar cuál de los tres segmentos, $overline{AC}$, $overline{BC}$ y $overline{BD}$, es el más corto y el más largo.

Solución

Podemos encontrar las distancias de todos los pares usando la misma fórmula de distancia para coordenadas polares como se muestra a continuación.

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }end{alineado}

Podemos comenzar con el primer par de coordenadas polares: $A$ y $C$.

  • $r_1 = 6$, $theta_1 = 150^{circ}$
  • $r_2 = 6$, $theta_2 = 240^{circ}$

Ingrese estos valores en la fórmula de distancia y obtenga los siguientes resultados:

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {36 + 36 -2(6)(6)cos(240^{circ}-150^{circ})}\&=sqrt{72 – 72cos 90^{circ}} &=raíz cuadrada{72 – 0}\&=raíz cuadrada{72}\&= 6raíz cuadrada{2}end{alineada}

De esto podemos ver que la distancia entre $A$ y $B$ es igual a $6sqrt{2}$ unidades o aproximadamente, $8.49$ unidades. Podemos aplicar un enfoque similar para encontrar las distancias entre b) $B$ y $C$ yc) $B$ y $D$. Podemos resumir los resultados en una tabla como se muestra a continuación:

Primera coordenada polar

Segunda coordenada polar

Distancia

Valor aproximado

begin{alineado}B &= (8 cos 300^{circ}, 8 sin 300^{circ})\r_1&= 8\theta_1 &= 300^{circ}end{alineado }

begin{alineado}C&= (6 cos 240^{circ}, 6 sin 240^{circ})\r_2&= 6\theta_2 &= cos 240^{circ}end{ alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {64 + 36 -2(8)(6)cos(300^{circ}-240^{circ})}\&=sqrt{100 – 96cos 60^{circ}} &=raíz cuadrada{100 – 96cdotdfrac{1}{2}}\&=raíz cuadrada{100-48}\&=raíz cuadrada{52}\&=2raíz cuadrada{13} end{alineado}

begin{alineado}d &aprox. 7,21end{alineado}

begin{alineado}B &= (8 cos 300^{circ}, 8 sin 300^{circ})\r_1&= 8\theta_1 &= cos 300^{circ}end {alineado}

begin{alineado}D&= (8 cos 30^{circ}, 8 sin 30^{circ})\r_2&= 8\theta_2 &= 30^{circ}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {64 + 64 -2(8)(8)cos(300^{circ}-30^{circ})}\&=sqrt{128 – 128cos 270^{circ}} &=sqrt{128 – 0}\&=sqrt{128}\&=8sqrt{2}end{alineado}

begin{alineado}d &aprox. 11,31end{alineado}

Te hemos mostrado las distancias entre los dos pares de puntos. Ahora, para responder a la pregunta de seguimiento, podemos comparar las distancias de $overline{AC}$, $overline{BC}$ y $overline{BD}$.

begin{alineado}overline{AC} &= 8,49text{ unidades}\overline{BC} &= 7,21text{ unidades}\overline{BD} &= 11,31text{ unidades}end {alineado}

Al comparar los tres, podemos ver que el segmento más largo será $overline{BD}$ y el segmento más corto será $overline{BC}$.

enero 26, 2022 por Ángulos Blog Pares Unidades

Serie telescópica – Componentes, fórmula y técnica

Serie telescópica – Componentes, fórmula y técnica

Una de las series más singulares e interesantes que aprenderemos en precálculo es la serie telescópica. Las series telescópicas exhiben un comportamiento único que pondrá a prueba nuestro conocimiento de manipulación algebraica, series y sumas parciales.

La serie telescópica es una serie que se puede reescribir de modo que la mayoría (si no todos) de los términos se cancelen con un término anterior o posterior.

Esta serie tiene una amplia aplicación en matemáticas superiores, teoría informática y una serie divertida para explorar mientras ponemos a prueba nuestras habilidades algebraicas.

Una de las técnicas algebraicas más aplicadas en la manipulación de series telescópicas es el uso de descomposición en fracciones parciales. Asegúrese de revisar y actualizar sus conocimientos sobre este tema en particular, ya que lo aplicaremos ampliamente en este artículo.

OTambién aplicaremos nuestro conocimiento de los límites, así que asegúrese de hacer un repaso rápido sobre cómo evaluamos los límites.

Comencemos por comprender los componentes de la serie telescópica y finalmente aprendamos cómo la serie obtuvo su nombre.

¿Qué es una serie telescópica?

Identificar series telescópicas puede parecer más complicado que identificar series más simples, como series aritméticas y geométricas. Esto se debe a que una serie telescópica nos obliga a pensar creativamente sobre cómo podemos manipular los términos para expandirlos y luego simplificarlos.

A continuación se muestran tres series telescópicas comunes:

  • $dfrac{1}{2} + dfrac{1}{6} + dfrac{1}{12} + …$

  • $dfrac{1}{2} + dfrac{1}{8}+ dfrac{1}{32} + …$

  • $dfrac{1}{3} + dfrac{1}{15} + dfrac{1}{35} + …$

En las secciones, aprenderemos cómo podemos simplificar series como estas y por qué cada una de ellas se considera una serie telescópica.

Al hablar de series telescópicas, es inevitable que hablemos de son telescópicos – es el proceso de simplificar una serie o una expresión primero expandiéndolos y luego cancelando los términos consecutivos de la nueva expresión.

Por eso también llamamos a esta técnica son telescópicos y la serie en sí una serie telescópica. Al igual que un telescopio, para que podamos dar sentido al valor, primero necesitaremos ampliar la vista antes de poder concentrarnos en los valores que importan.

Para comprender mejor qué es la serie telescópica, veamos su forma algebraica.

Telescópico fórmula en serie y definición

Digamos que tenemos $sum_{n=1}^{infty} b_n$, una serie telescópica infinita, podemos reescribir eso como $b_n$ como $a_n – a_{n+1}$, donde $a_n$ es un término de una sucesión construida correctamente.

Se dice que una serie es telescópica cuando la expresamos de la forma $sum_{n=1}^{infty} b_n = sum_{n=1}^{infty} (a_n – a_{n+1} ) $

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} b_n &= (a_1 – a_2) + (a_2 – a_3) + (a_3 – a_4) + … + (a_{n-1} – a_n) \&= a_1 + (-a_2 + a_2) + (-a_3 + a_3) + … + (-a_{n – 1} + a_{n – 1}) – a_n\&= a_1 – a_nend{ alineado}

Cuando esto sucede, simplemente negamos los términos y mantenemos los valores restantes y tendremos la forma más simplificada de la serie telescópica, como muestra la forma general anterior.

¿Cómo? ‘O’ ¿Qué? encontrar la suma de una serie telescópica?

La mejor manera de entender qué hace que una serie telescópica sea única es simplificar la serie y encontrar su suma. Aquí hay algunas pautas útiles para encontrar la suma de una serie telescópica:

  • Si aún no se ha proporcionado, encuentre la expresión para $a_n$ y $S_n$.

  • Usa la descomposición en fracciones parciales para reescribir la expresión racional como una suma de dos fracciones más simples.

  • Reescribe $a_n$ usando estas dos fracciones como la suma, luego encuentra el valor de $lim_{nrightarrow infty} sum_{n=1}^{infty} S_n$.

Echemos un vistazo a una de las series telescópicas más comunes que probablemente encontraremos: $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)}$.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= dfrac{1}{2} + dfrac{1}{6} + dfrac{1}{12} + … + dfrac{1}{n(n + 1)} end{alineado}

Encontrar la suma de esta serie puede parecer difícil al principio, pero con los pasos que hemos mencionado, podremos encontrar la suma de esta serie telescópica.

Tenemos la expresión regular, $dfrac{1}{n(n + 1)}$, podemos reescribir esa expresión regular como $dfrac{A}{n}$ y $dfrac{B}{n + 1 } $ . Aplicar lo que aprendimos al dividir fracciones para encontrar $A$ y $B$.

begin{alineado}dfrac{1}{n(n + 1)} &= dfrac{A}{n} + dfrac{B}{n + 1}\1 &= A(n + 1) + B(n)\0n + 1&= (A + B)n + A\\A+ B &= 0\A&=1\B&=-1end{alineado}

Esto significa que podemos reescribir $dfrac{1}{n(n + 1)}$ a $dfrac{1}{n} – dfrac{1}{n + 1}$. Reemplace nuestra expresión regular con esta forma descompuesta.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= sum_{n=1}^{infty} left(dfrac{ 1}{n} – dfrac{1}{n + 1}right) \&= left(1 -dfrac{1}{2} right) + left(dfrac{1}{2 } – dfrac{1}{3}right) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{4}right) + … +left(dfrac{1}{n – 1} – dfrac{1}{n}right) + left(dfrac{1}{n} – dfrac{1}{n + 1}right) end{alineado}

Podemos reescribir esta serie agrupando los términos como se muestra a continuación.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= 1 + left(-dfrac{1}{2} +dfrac{ 1}{2} derecha) + izquierda(-dfrac{1}{3} +dfrac{1}{3} derecha) + … +izquierda(-dfrac{1}{n – 1} + dfrac{1}{n-1}right) + left(-dfrac{1}{n} +dfrac{1}{n}right) – dfrac{1}{n + 1} \&=1 + cancel{left(-dfrac{1}{2} +dfrac{1}{2} right)} + cancel{left(-dfrac{1}{3} +dfrac{1}{3} right)} + … +cancel{left(-dfrac{1}{n – 1} + dfrac{1}{n-1}right)} + deshacer{left(-dfrac{1}{n} +dfrac{1}{n}right)} – dfrac{1}{n + 1}\&= 1- dfrac{1}{ n+1} end{alineado}

¿Observe cómo los pares ahora se cancelan y dejan atrás el primer y el último término? Esa es la belleza de la serie telescópica. Ahora que tenemos una suma de $1 – dfrac{1}{n + 1}$, podemos simplemente encontrar el límite de la suma cuando $n$ tiende a infinito para encontrar el

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= lim_{n rightarrow infty} left(1 – dfrac{1}{n +1}right) \&= 1 – 0\&=0end{alineado}

Por lo tanto, la suma de la serie telescópica infinita es $1$. Más importante aún, hemos mostrado cómo podemos aplicar la descomposición en fracciones parciales y las leyes de límites para encontrar la suma de una serie telescópica infinita.

¿Estás listo para probar más problemas? Consulte los problemas de muestra que le proporcionamos.

Ejemplo 1

Encuentra la suma de la serie telescópica, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$.

Solución

Ya tenemos la expresión para $a_n = dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$, entonces podemos proceder a reescribir $dfrac{1}{(2n – 1)( 2n + 1 )}$ como la suma de dos fracciones “más simples”.

begin{alineado}dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &= dfrac{A}{2n – 1} + dfrac{B}{2n + 1}\ 1 &= A(2n + 1) + B (2n – 1)\0n + 1 &= (2A + 2B)n + (A – B)\\2A + 2B &= 0\ A – B &= 1 end{alineado}

Como $A + B = 0$, podemos sustituir $A = -B$ en la segunda ecuación, $A – B = 1$.

begin{alineado}A – B &= 1\ -B – B&= 1\-2B &= 1\B & = -dfrac{1}{2}end{alineado}

Esto significa que $A$ es igual a $dfrac{1}{2}$. Usemos estos valores para reescribir la expresión regular original.

begin{alineado}dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &= dfrac{A}{2n – 1} + dfrac{B}{2n + 1}\&= dfrac{dfrac{1}{2}}{2n – 1} – dfrac{dfrac{1}{2}}{2n + 1}\&= dfrac{1}{4n – 2} – dfrac{1}{4n+2}end{alineado}

Usando la nueva expresión para $a_n$, podemos expandir la serie telescópica como se muestra a continuación.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &=sum_{n=1}^{infty}left ( dfrac{1}{4n – 2} -dfrac{1}{4n + 2}right)\&= left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{6} derecha ) + left(dfrac{1}{6} – dfrac{1}{10} right ) + left(dfrac{1}{10} – dfrac{1}{14} right ) + … + izquierda[dfrac{1}{4(n – 1) – 2} – dfrac{1}{4(n – 1) + 2} right ]+ left(dfrac{1}{4n – 2} – dfrac{1}{4n + 2} right )end{alineado}

Reordene los términos y vea cómo podemos reducir la serie telescópica a dos términos.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &= dfrac{1}{2} + cancel{left ( – dfrac{1}{6} + dfrac{1}{6} right )}+ cancel{left( – dfrac{1}{10} + dfrac{1}{10} right )} + cancel{left( – dfrac{1}{14} + dfrac{1}{14} right )}+…+ cancel{left(-dfrac{1}{4n – 2 } + dfrac{1}{4n – 2}right)} – dfrac{1}{4n + 2} \&= dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2} end{alineado}

Ahora podemos encontrar la suma de la serie telescópica tomando el límite de $S_n =dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2}$ cuando $n$ se acerca a $infty$.

begin{alineado}S_n &=dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2}\lim_{n rightarrow infty} S_n &= lim_{nrightarrow infty} left( dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2}right )\&= dfrac{1}{2}- 0\&= dfrac{1}{2 }end{alineado}

Esto muestra que la suma de $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$ es igual a $dfrac{1}{2}$ .

Ejemplo 2

Encuentra la suma de la serie telescópica, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{n^2 + 4n + 3}$.

Solución

Podemos aplicar un proceso similar para reescribir $dfrac{3}{n^2 + 4n + 3}$ como la suma de dos fracciones más simples.

begin{alineado}dfrac{3}{n^2 + 4n + 3} &= dfrac{3}{(n + 1)(n + 3)}\&= dfrac{A}{n + 3} + dfrac{B}{n + 1}\\A(n + 3) + B(n + 1) &=3\(A + B)n + (3A + B)&= 0n + 3\A+B &=0\3A+ B &= 3end{alineado}

Como $A + B = 0$, podemos sustituir $A = -B$ en la segunda ecuación, $3A + B = 3$.

begin{alineado}-3B + B &= 3\ -2B &= 3\B &= -dfrac{3}{2}end{alineado}

Usando $A = dfrac{3}{2}$ y $B = -dfrac{3}{2}$, tenemos $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{ n ^2 + 4n + 3} = sum_{n=1}^{infty} left(dfrac{3}{2(n + 1)} – dfrac{3}{2(n + 3) } derecha)$. Usemos esto para extender la serie telescópica y reducir la serie a menos términos.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} left[dfrac{3}{2(n + 1)} – dfrac{3}{2(n + 1)}right] &=sum_{n=1}^{infty} left(dfrac{3}{2(n + 1)}- dfrac{3}{2(n + 3)}right) \& =dfrac{3}{2}sum_{n=1}^{infty} left[dfrac{1}{(n + 1)}- dfrac{1}{(n + 3)}right]\&=dfrac{3}{2}left[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{5} right )+ left(dfrac{1}{4} – dfrac{1}{6} right )+ left(dfrac{1}{5} – dfrac{1}{7} right ) + …+ left(dfrac{1}{n} – dfrac{1}{n+2} right )+ left(dfrac{1}{n+1} – dfrac{1}{n+3} right )right ]end{alineado}

Agrupa los términos con denominador impar y los que tienen denominador par. Cancele los términos tanto como sea posible, luego simplifique la expresión en términos de $n$.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} left[dfrac{3}{2(n + 1)} – dfrac{3}{2(n + 1)}right] &= dfrac{3}{2}izquierda[left(dfrac{1}{2}-dfrac{1}{4}+dfrac{1}{4}-dfrac{1}{6}+dfrac{1}{6} + …- dfrac{1}{n} + dfrac{1}{n}-dfrac{1}{n +2}right ) right ]\&fantasma{xxx} +left(dfrac{1}{3}-dfrac{1}{5}+dfrac{1}{5}-dfrac{1}{7}+dfrac {1}{8} + …- dfrac{1}{n+1} + dfrac{1}{n+1}-dfrac{1}{n +3}right )\&=dfrac {3}{2}izquierda[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{n + 2} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{n + 3} right )right] end{alineado}

Ahora podemos encontrar la suma de la serie telescópica evaluando el límite de la expresión simplificada para la suma cuando $n$ tiende a infinito.

begin{aligned}sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{n^2 + 4n + 3} &= lim_{n rightarrow infty}dfrac{3}{2} a la izquierda[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{n + 2} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{n + 3} right )right]\&=dfrac{3}{2}lim_{n rightarrow infty}left[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{n + 2} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{n + 3} right )right] \&= dfrac{3}{2}izquierda[left(dfrac{1}{2} – 0right)+ left(dfrac{1}{3} – 0right)right]\&=dfrac{3}{2}left(dfrac{1}{2} + dfrac{1}{3}right)\&=dfrac{3}{2} cdot dfrac{5}{6}\&= dfrac{5}{4}end{alineado}

De esto podemos ver que $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{n^2 + 4n + 3}$ es igual a $dfrac{5}{4}$ o $1,15.

Estos son dos grandes ejemplos de cómo podemos encontrar la suma de una serie telescópica. Muestran cómo saber cómo manipular expresiones es crucial para simplificar y evaluar estas series.

Pruebe los problemas presentados a continuación si desea trabajar en más series telescópicas.

enero 26, 2022 por Aritmetica Blog Fracciones Pares

Inducción Matemática – Explicación y Ejemplo

Inducción Matemática – Explicación y Ejemplo

La inducción matemática es una técnica elegante aplicada en matemáticas para probar enunciados, teoremas y fórmulas. Aprender inducción matemática te hace apreciar los teoremas y fórmulas que has aprendido y los matemáticos y teóricos detrás de ellos.

La inducción matemática es una técnica de prueba sofisticada en matemáticas en la que primero probamos que la teoría se cumple para el primer valor o término y luego la usamos para probar la afirmación general.

En un mundo donde podemos buscar rápidamente fórmulas y teoremas en línea, ayuda a conservar nuestra capacidad de pensar más allá de lo que ya se da y aprender a analizar.ze cosas por nosotros mismos.

Una de las primeras técnicas que aprenderás es el uso de la inducción matemática. De hecho, hay muchas fórmulas de suma para series comunes que hemos encontrado donde podemos usar la inducción matemática para probar su fórmula.

En este artículo, aprenderemos el proceso de usar la inducción matemática e incluso trabajaremos en algunos ejemplos. Por eso es importante familiarizarse con las técnicas algebraicas comunes, incluidas las siguientes:

Además de aprender una técnica de prueba esencial, también podremos comprobar nuestras habilidades algebraicas, así que profundicemos directamente en nuestro tema principal.

¿Qué es la inducción matemática?

La inducción matemática es una técnica sofisticada en matemáticas que puede ayudarnos probar enunciados generales mostrando que el primer valor es verdadero. entonces podemos probar que el enunciado es verdadero para dos valores consecutivos y demuestra que el es cierto para todos los valores.

Sigamos adelante y probemos este ejercicio mental para comprender mejor el proceso de inducción matemática:

Imagina una serie de fichas de dominó a punto de caer, y queremos demostrar que todas las fichas de dominó caerían.

  • Si cae el dominó al comienzo de la serie de dominó.

  • Si podemos demostrar que cuando cae una ficha de dominó entre conjuntos, cae todo el conjunto.

  • Podemos concluir que el efecto dominó puede ocurrir.

Aquí hay otro: imagina una escalera infinita, y queremos demostrar que podemos llegar a todos los peldaños de la escalera.

  • Si la inducción matemática es cierta, nuestro primer objetivo es ver si podemos llegar al primer peldaño de la escalera. Cuando lo hacemos, podemos demostrar que podemos alcanzar cierto peldaño en la escalera.

A estas alturas ya tienes una idea de cómo realizamos la inducción matemática. En general, el proceso en sí requiere dos pasos principales:

1. Demuestra que el enunciado matemático es verdadero para el primer valor.

2. Suponga que la afirmación sigue siendo verdadera para un valor dado, de modo que demuestre que el valor posterior también devolverá una afirmación verdadera.

Cuando podemos demostrar estas dos condiciones por inducción matemática, podemos concluir que el enunciado es verdadero para todos los valores.

¿Cómo hacer una inducción matemática?

Ahora que podemos ver cuán beneficioso es para nosotros aplicar la inducción matemática para probar declaraciones, comprendamos el principio de esta técnica. Estos son los puntos importantes cuando se utiliza la inducción matemática para probar una afirmación:

Dado que $n$ es un número natural y $P_n$ es una instrucción que depende del valor de entrada, $n$.

i) Si el enunciado es verdadero para $P_1$, y

ii) si asumimos que $P_k$ también es cierto, tenemos que demostrar que $P_{k + 1}$ es cierto para todos los enteros positivos, $k$.

Si podemos satisfacer estas dos condiciones, entonces podemos concluir que la declaración, $P_n$, es verdadera para todos los valores de $n$.

Esto significa que podemos probar enunciados por inducción matemática mostrando que el primer y $(n + 1)$ésimo término son verdaderos.

¿Por qué no aplicar esto para demostrar que la fórmula para la suma de los primeros $n$ enteros pares siempre será igual a $n(n+1)$?

Ejemplo de prueba de inducción matemática

Para mostrar nuestra comprensión de la inducción matemática, analicemos un ejemplo y describamos los pasos importantes que debemos seguir para probar la afirmación de que el primer entero par $n$ compartirá una suma de $n(n+1)$.

Esto significa que queremos mostrar que $2 + 4 + 6 + 8 + …+ (2n – 2)+ 2n = n(n + 1)$ o como sumatoria es $ sum_{i=1}^{n} 2i = n(n + 1)$. Para comprender mejor el comportamiento de la serie, echemos un vistazo a la tabla de valores a continuación.

$boldsymbol{i}$

$boldsymbol{sum_{i=1}^{n} 2i}$

$yo = 1$

$2(1) = $2

$i = 2$

$2(1) + 2(2) = $6

$i = 3$

$2(1) + 2(2) + 2(3)= $12

$i= 4$

$2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4)= $20

$i = $5

.

.

.

$2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5) = $30

.

.

.

$i = n$

$2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + … 2(n – 1) + 2(n)= n(n +1)$

Nuestro objetivo es mostrar que la última línea es verdadera; lo hacemos por inducción matemática y siguiendo los pasos que se indican a continuación.

Etapa 1: Demuestra que el enunciado es verdadero para el primer término, $i = 1$.

begin{alineado} sum_{i=1}^{n= 1} 2i &= 2(1)\&=2 \ n(n+1) &= 1(1 + 1)\&= 1(2)\&= 2\\ sum_{i=1}^{n} 2i &= n(n + 1) end{alineado}

2do paso: Supongamos que $sum_{i=1}^{n} 2i = n(n + 1)$ es cierto para $n = k$. Tenemos que demostrar que el enunciado también es cierto para $n = k + 1$.

Tenga en cuenta que $sum_{i=1}^{k + 1} 2i$ es el resultado cuando encontramos $sum_{i=1}^{k} 2i$ más el siguiente término, $2(k + 1 PS

begin{alineado} sum_{i=1}^{k + 1} 2i &= (sum_{i=1}^{k} 2i) + (k + 1)end{alineado}

Use el hecho de que la afirmación se aplica a $n = k$, entonces $sum_{i=1}^{k} 2i = k(k + 1)$

begin{alineado} (sum_{i=1}^{k} 2i) + (k + 1) &= k(k+1) + 2(k+ 1)\&= (k + 1)(k + 2)\&= (k + 1)[(k + 1) + 1]end{alineado}

Esto muestra que $sum_{i=1}^{k + 1} 2i = (k + 1)[(k + 1) + 1]$ mostrando que la fórmula es verdadera para $k + 1$.

De la discusión anterior:

i) Hemos demostrado que la fórmula es verdadera cuando $i= 1$.

ii) Dado que la fórmula se aplica a $i = n$, hemos demostrado que la fórmula también se aplica a $i = n + 1$.

Esto quiere decir que por inducción matemática podemos confirmar que $ sum_{i=1}^{n} 2i = n(n + 1)$. De hecho, es cierto que la suma del primer $n$ésimo número par es igual al producto de $n$ y $n + 1$.

¿Quieres probar más problemas de inducción matemática? No te preocupes; ¡Hemos preparado más ejemplos para ti!

Ejemplo 1

Demuestra que la suma de los primeros $n$ números naturales se puede determinar usando la fórmula $dfrac{n(n + 1)}{2}$.

Solución

Nuestro objetivo es demostrar que $1 + 2 + 3 + … + n = dfrac{n(n + 1)}{2}$ y podemos usar la inducción matemática para demostrarlo.

Podemos comenzar comprobando si la fórmula es verdadera para $k = 1$. (Tenga en cuenta que $ n = k $)

begin{alineado} S_1 &= 1\S_1&= dfrac{k + 1)}{2}\&= dfrac{1(1 + 1)}{2}\&= 1end {alineado }

Hemos demostrado que la fórmula se aplica a $k = 1$. Ahora suponga que la fórmula se aplica a $n = k$. Esto significa que podemos asumir que $1 + 2 + 3 + …k = dfrac{k(k + 1)}{2}$ es verdadero.

begin{alineado} S_k &= dfrac{k(k + 1)}{2}\S_{k + 1} &= S_k + (k + 1)end{alineado}

Solo significa que podemos encontrar la suma de los primeros términos $k +1$ sumando la suma de los primeros términos $k$ a $(k + 1)$. Trabajemos en la expresión resultante y veamos si podemos demostrar que $S_{k + 1}$ es igual a $dfrac{(k + 1)[(k + 1)+1]{2}$.

begin{alineado} S_{k + 1} &= dfrac{k(k + 1)}{2} + (k + 1)\&= dfrac{k(k + 1)}{2} + dfrac{2(k + 1)}{2}\&= dfrac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2}\&= dfrac{k^2 + k + 1 + 2k + 2}{2}end{alineado}

La expresión que tenemos actualmente para $S_{k + 1}$ puede ser factorizado por agrupación para llegar a nuestra forma ideal de $S_{k + 1}$.

begin{alineado} S_{k + 1} &= dfrac{k(k + 1) +2(k + 1)}{2}\&= dfrac{(k + 1)(k + 2) {2}\&= dfrac{(k + 1)[(k + 1) + 1]{2}end{alineado}

Por lo tanto, hemos demostrado que $S_{k + 1}$ es igual a $dfrac{(k+1)[(k+1)+1]{2}$ Como hemos demostrado que la fórmula se aplica para el valor inicial y para $k +1$, podemos concluir que la fórmula, $1+ 2+ 3+ …+n = dfrac{n( n + 1) {2} $, es cierto.

Ejemplo 2

Demuestre que la suma de los primeros $n$ los cubos consecutivos se pueden determinar elevando al cuadrado la suma de los primeros términos $n$.

Solución

Lo que queremos es mostrar que $1^3+ 2^3 + 3^3 + ….+n^3 = (1 + 2 + 3+…+n)^2$. Comencemos mostrando que la fórmula se aplica cuando $k = 1$.

begin{alineado}S_{1} &= 1^3\&=1\S_{1} &= (1)^2\&= 1end{alineado}

Como hemos demostrado que $S_1 = 1^3 = 1$, ahora podemos pasar al siguiente paso. Supongamos que la fórmula se aplica cuando $n=k$, por lo que la suma de los primeros cubos $k$ es igual a $(1 + 2 +3 +…+k)^2$. Utilizar el fórmula, $1+2+3+…+n = dfrac{n(n+1)}{2}$, para reescribir $S_k$

begin{alineado}S_k &= (1 + 2 + 3 +…+ k)^2\&= left[dfrac{k(k + 2)}{2}right]^2 end{alineado}

Con estas formas en mente, mostremos que la fórmula también se aplicará a $S_{k + 1}$. Sabemos que $S_{k + 1} = S_k + (k + 1)^3$, así que veamos si podemos demostrar que en realidad es igual a $[1 + 2 + 3 +…+ k + (k +1)]^2$.

begin{alineado} S_{k + 1} &= S_k + (k + 1)^3\&= left[dfrac{k(k + 1)}{2} right ]^2 + (k + 1)^3\&= dfrac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3\&= dfrac{k^2( k+1)^2}{4} + dfrac{4(k+1)^3}{4}\&= dfrac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1) ^3}{4}end{alineado}

Este formulario todavía no es lo que queremos para $S_{k+1}$ – nuestro objetivo es mostrar que $S_{k+1}$ como $[1 + 2 + 3 +…+ k + (k +1)]^2$ o $izquierda[dfrac{(k +1)( k+2)}{2}right]^2$. Sigamos manipulando nuestra expresión y podemos hacerlo factorizando $(k+1)^2$.

begin{alineado} S_{k + 1} &= dfrac{(k + 1)^2[k^2 +4(k + 1)]{4}\&=dfrac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}\&= dfrac{(k + 1)^2(k +2) ^2}{4}\&=izquierda[dfrac{(k + 1)(k +2)}{2} right ]^2\&= [1 + 2 + 3+…(k+1)]^2end{alineado}

Hemos demostrado que la fórmula se aplica a $k+1$, por lo que por inducción matemática podemos concluir que la fórmula, $1^3+ 2^3 + 3^3 + ….+n^3 = (1 + 2 + 3+…+n)^2$, es cierto para todos los $n$.

enero 26, 2022 por Agrupación Blog Naturales Pares

Forma Rectangular – Definición, Ejemplo y Explicación

Forma Rectangular – Definición, Ejemplo y Explicación

La forma rectangular de los números complejos es la primera forma que encontraremos cuando aprendamos números complejos. Esta forma depende de su coordenada cartesiana y aprenderá por qué en la siguiente sección.

Las formas rectangulares de los números complejos representan estos números resaltando las partes real e imaginaria del número complejo.

Las operaciones básicas son mucho más fáciles cuando los números complejos están en forma rectangular. Es más intuitivo para nosotros graficar números complejos en forma rectangular ya que estamos más familiarizados con el sistema de coordenadas cartesianas.

Este artículo refrescará nuestros conocimientos sobre:

  • Los componentes que forman un número complejo.
  • Graficar números complejos en un plano complejo.
  • Conversión de números complejos en forma rectangular a forma polar, y viceversa.
  • Manipulación de números complejos en forma rectangular.

Asegúrese de tomar notas y revisar estos conceptos, ya que los necesitaremos a medida que aprendamos más sobre los números complejos en forma rectangular.

¿Cuál es la forma rectangular?

La forma rectangular se basa en su nombre: un sistema de coordenadas rectangulares. Esto quiere decir que son números complejos de la forma $z = a + bi$, donde $a$ es la parte real y $bi$ representa la parte imaginaria. Aquí hay algunos ejemplos de números complejos en forma rectangular.

  • $-3 + 4i$: $-3$ representa la parte real mientras que $4i$ representa la parte imaginaria.
  • $-6i$: Este es un número imaginario que contiene solo una parte imaginaria, $-6i$.
  • $5$: Como $5$ es un número contable y por lo tanto un número real, $5$ es siempre un número complejo cuya parte imaginaria es igual a $0$.

Los números complejos de la forma $a + bi$ se pueden graficar en un plano complejo simplemente trazando $(a,b)$, donde $a$ es la coordenada del eje real y $b$ es la coordenada del eje imaginario .

Aquí hay un gráfico de cómo se grafica $a + bi$ en un plano complejo. Como se mencionó, $a$ representa la distancia a lo largo del eje real y $b$ representa la distancia a lo largo del eje imaginario, un enfoque similar cuando mostramos coordenadas rectangulares.

La distancia formada por $a + bi$ desde el origen es igual a $sqrt{a^2 + b^2}$ o también llamado módulo o valor absoluto del número complejo.

¿Cómo convertir una forma rectangular?

Como se mencionó, la forma rectangular es la primera forma de números complejos que veremos, pero los números complejos también se pueden reescribir en sus formas trigonométricas o polares.

Forma rectangular Forma polar
$-3 + $3i $3sqrt{2}(cos 135^{circ} + isin135^{circ})$
$-2sqrt{3} – 2i$ $4(cos 210^{circ} + isen 210^{circ})$
$4 – $4i $4sqrt{2}(cos 315^{circ} + isen 315^{circ})$
$5 + $5sqrt{3}i $10(cos 60^{circ} + isen 60^{circ})$

Estos son solo algunos ejemplos de pares de números complejos en sus dos formas: forma rectangular y forma polar. Actualicemos lo que hemos aprendido sobre escribir números complejos en estas dos formas.

¿Cómo convertir forma rectangular a forma polar?

Hemos discutido en detalle la conversión de números complejos en forma rectangular, $a + bi$, a forma trigonométrica (también conocida como forma polar). Asegúrese de revisar sus notas o consulte el enlace que adjuntamos en la primera sección.

Esta sección será un breve resumen de lo que hemos aprendido en el pasado:

  • Encuentra el módulo, $r = sqrt{a^2 + b^2}$, del número complejo.
  • Determina el argumento, $theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}$, y asegúrate de elegir el ángulo que está en el cuadrante derecho.
  • Usa estos valores y escribe el número complejo como $r(cos theta + isin theta)$.

¿Cómo convertir una forma polar en una forma rectangular?

Cambiar números complejos a forma polar es mucho más fácil porque nos obliga a evaluar solo el coseno y el seno en diferentes valores de $theta$.

  • Cuando se le da un número complejo de la forma $r(cos theta + isin theta)$, evalúe los valores de $sin theta$ y $cos theta$.
  • Distribuya $r$ a cada uno de los valores evaluados de $cos theta$ y $isin theta$.
  • Asegúrese de devolver los valores del formulario, $a + bi$.

No te preocupes. Hemos preparado algunos ejemplos para que trabajes y practiques tus conocimientos de conversión de números complejos a forma polar.

Resumen de definición y propiedades de formas rectangulares

¿Por qué no recapitular lo que hemos aprendido hasta ahora sobre los números complejos en forma rectangular antes de profundizar en los diversos problemas que hemos preparado?

  • La forma rectangular general (o estándar) de los números complejos es $a + bi$.
  • Podemos convertir números complejos a forma rectangular, encontrando $r = sqrt{a^2 + b^2}$ y $theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}$.
  • Recuerda que cuando trabajes con ecuaciones que involucran números complejos, las partes del número real y las partes del número imaginario deben ser iguales para que la ecuación sea válida.

También podemos hacer muchas cosas cuando se nos da un número complejo en forma rectangular, y enumeramos algunas que aprendimos en el pasado. ¿No tienes tus notas de práctica contigo? No se preocupe, también hemos agregado algunos enlaces para que los consulte.

  • Es más fácil sumar y restar números complejos en forma rectangular ya que combinamos las partes real e imaginaria de los números.
  • Sí, también podemos multiplicar y dividir números complejos en forma rectangular mediante manipulación algebraica.
  • El producto de a $a + bi$ y su conjugado, $a – bi$, es igual a $a^2 + b^2$, lo que puede ayudar a simplificar el cociente de dos números complejos.

Apliquemos todo lo que hemos aprendido de este artículo y probemos estos problemas de muestra.

Ejemplo 1

Grafica los siguientes números complejos en el plano complejo e incluye su valor absoluto correspondiente.

una. $6 – $6i
B. $-4sqrt{3} – 4i$
contra $-5i$

Solución
Dado que también necesitamos el número de valor absoluto de estos tres números complejos, ¿por qué no comenzar con eso usando el hecho de que $|a + bi| = sqrt{a^2 + b^2}$?

$boldsymbol{a + bi}$ $boldsymbol{|a + bi| PS
$6 -6i$ $sqrt{(6)^2 + (-6)^2} = 6sqrt{2}$
$-4sqrt{3} -4i$ $cuadrado{(-4cuadrado{3})^2 + (-4)^2} = 8$
$-5i$ $sqrt{(0)^2 + (-5)^2} = 5$

Ahora que tenemos el valor absoluto de los tres números complejos, representemos gráficamente los tres números complejos en un plano complejo.

  • Para $6 – 6i$, grafica las coordenadas $(6, -6)$ o $6$ unidades hacia la derecha ya lo largo del eje real y seis unidades hacia abajo ya lo largo del eje imaginario.
  • De manera similar, podemos graficar $-4sqrt{3} – 4i$ graficando $(-4sqrt{3}, -4)$ en el plano complejo.
  • Dado que $-5i$ contiene solo una parte numérica imaginaria, trazamos $-5i$ en el eje imaginario y deberíamos encontrar unidades de $5$ debajo del eje real.

Conecte cada número complejo al origen y etiquete el segmento con el número de valor absoluto correspondiente.

Ejemplo 2

Evalúa las siguientes operaciones con los siguientes números complejos.

una. $(8 – 8i) + (-6 + 12i)$
B. $(-3raíz cuadrada{3} + 5i) – (4raíz cuadrada{3} – 6i)$
contra $(-4 + 2i)(-2 – i) + (2- 3i)$

Solución
Recuerda que sumar y restar números complejos es similar a sumar y restar binomios. Combinamos términos con números reales y números imaginarios. Esta es la misma forma en que combinamos “términos similares”.

Primero trabajemos en el primer elemento: $(8 – 8i) + (-6 + 12i)$.

$begin{alineado} (8 – 8i) + (-6 + 12i) &= [8 + (-6)] + (-8 + 12)i\&= 2 + 6iend{alineado}$

Asegúrese de distribuir uniformemente el signo negativo al restar dos números complejos.

$begin{alineado} (-3sqrt{3} + 5i) – (4sqrt{3} – 6i) &=-3sqrt{3} + 5i – 4sqrt{3} -(-6i )\&= -3sqrt{3} + 5i – 4sqrt{3} + 6i\&= (-3sqrt{3} – 4sqrt{3}) + (5 + 6)i \&=-7sqrt{3} + 11i end{alineado}$

Para el tercer elemento, primero multiplica los dos números complejos.

  • Aplicar el método FOIL para distribuir términos.
  • Reemplace $i^2$ con $-1$.
  • Combinar partes de números reales e imaginarios.

$begin{alineado} (-4 +2i)(-2 – i) &= (-4)(-2)+ (-4)(-i) + (2i)(-2) + (2i)( -i)\&=8 + 4i – 4i- 2i^2\&=8 + 4i – 4i -2(-1)\&=8 + 4i – 4i + 2\&= (8 + 2 ) + (4 -4)i\&=10 end{alineado}$

Reemplace $(-4 + 2i)(-2 – i)$ con su producto y luego simplifique aún más la expresión.

$begin{alineado} (-4 +2i)(-2 – i) + (2 – 3i) &= 10 + (2 – 3i)\&= (10 + 2) – 3i\&= 12 – 3iend{alineado}$

Listando los resultados para las tres operaciones, tenemos lo siguiente:
una. $(8 – 8i) + (-6 + 12i) = 2 + $6i
B. $(-3raíz cuadrada{3} + 5i) – (4raíz cuadrada{3} – 6i) = -7raíz cuadrada{3} + 11i $
contra $(-4 + 2i)(-2 – i) + (2- 3i) = 12 – 3i $

Ejemplo 3

Convierta los siguientes números complejos en forma polar a forma rectangular.

una. $-4(cos 90^{circ} + isen 90^{circ})$
B. $6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right)$
contra $-sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4}$

Solución
Evalúe los valores de coseno y seno entre paréntesis al convertir números complejos a forma rectangular. Distribuya el módulo en cada uno de los valores de adentro para simplificar la expresión como $a +bi$.

Comenzando con $-4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ})$, $cos 90^{circ} = 0$ y $sin 90^{circ} = $1. Reemplace los términos entre paréntesis con estos valores y luego distribuya $-4$.

$begin{alineado} -4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ}) &= -4(0 + i)\&=0 – 4i\&= -4i end{alineado}$

El segundo elemento requerirá que realicemos un proceso similar, solo que esta vez estamos trabajando con ángulos en términos de $pi$. Recuerda que $cos dfrac{pi}{3} = dfrac{1}{2}$ y $sin dfrac{pi}{3}= dfrac{sqrt{3}}{ $2} .

$begin{alineado} 6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right) &= 6left( dfrac{1}{2 } + idfrac{sqrt{3}}{2}right)\&=6 cdot dfrac{1}{2} – 6 cdot i dfrac{sqrt{3}}{2} \&= 3 – 3sqrt{3}iend{alineado}$

Para el tercer elemento, asegúrese de reescribir $r text{cis } theta$ a $r(cos theta + i sin theta)$.

$begin{alineado} -sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4} &= -sqrt{3}left(cos dfrac{3pi}{4} + isen dfrac{3pi}{4}right)\ &= -sqrt{3}left( -dfrac{sqrt{2}}{2} + idfrac{sqrt {2}}{2}right)\&=-sqrt{3} cdot -dfrac{sqrt{2}}{2} – sqrt{3} cdot i dfrac{sqrt{ 2}}{2}\&= dfrac{sqrt{6}}{2}-idfrac{sqrt{3}}{2}end{alineado}$

Por lo tanto, tenemos los siguientes números complejos en sus formas rectangulares:

una. $-4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ}) = -4i$
B. $6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right) = 3 – 3sqrt{3}i$
contra $-sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4} = dfrac{sqrt{6}}{2}-idfrac{sqrt{3}}{2}$

enero 23, 2022 por Ángulos Blog Operaciones Pares Unidades

Matemáticas Conjugadas – Explicación y Ejemplos

Matemáticas Conjugadas – Explicación y Ejemplos

¿Alguna vez has visto dos pares de expresiones que difieren solo en el signo del medio? Es posible que haya encontrado un par de conjugados. Los conjugados en matemáticas son extremadamente útiles cuando queremos racionalizar expresiones radicales y números complejos.

Dos binomios se conjugan cuando tienen los mismos términos pero signos opuestos en el medio.

Este artículo mostrará cómo encontrar conjugados, comprender por qué los necesitamos y aplicarlos al racionalizar expresiones. Comencemos con lo más básico: entender qué representan los conjugados.

¿Qué es un conjugado en matemáticas?

Un ejemplo de un par de conjugados son los números complejos a + bi y a – bi. Observe cómo los términos son los mismos? Solo difieren los signos que se encuentran en el medio de cada par. Esto es exactamente lo que representan los conjugados en matemáticas.

Definición matemática conjugada

Conjugados en Matemáticas son dos pares de binomios con términos idénticos pero que comparten operaciones opuestas en el medio. Aquí hay algunos ejemplos más de pares conjugados:

  • x – y y x + y
  • 2√2 – 1 y 2√2 + 1
  • 3 – 2i y 3 + 2i

Según la definición de conjugados, cada par tiene términos idénticos, y cada uno difiere solo en el signo del medio.

¿Cómo encontrar el conjugado?

¿Qué pasa si nos dan un binomio y necesitamos encontrar su conjugado? Siempre podemos determinar el conjugado de un binomio dado identificando primero los términos y el signo del término original.

Una vez que los tengamos, su conjugado contendrá los mismos términos, pero se cambia el signo del medio (de + a – o de – a +). Aquí hay una tabla que muestra cómo se determinan los conjugados de cuatro binomios:

Dado el binomio condiciones Cambio de signo Conjugado
2x–y 2x, y – + 2x + y
√3+1 √3.1 + – √3 – 1
a2b-ab2 a2segundo, un segundo2 – + a2b+ab2
5 + 2i 5.2i + – √3 – 1

¿Cómo multiplicar por el conjugado?

¿Qué pasa si multiplicamos un binomio por conjugados? Hay dos casos posibles, y en cada caso aplicaremos un método diferente.

Caso 1: Multiplicación de un binomio por su conjugado

Si tenemos un binomio, m + n, su conjugado será m – n. ¿Notas algo sobre los dos? Estos dos, cuando se multiplican, devolverán la diferencia de sus cuadrados. Si necesita un repaso de esta propiedad algebraica, eche un vistazo a este artículo. Para nuestro ejemplo, tenemos:

(m – n)(m + n) = metro2 – no2

Esto significa que cuando se multiplica un binomio y su conjugado, el resultado será la diferencia de los cuadrados de sus términos. Aquí hay algunos ejemplos más que puedes probar:

Binomio Conjugado Producto
2x – 1 2x + 1 4x2 – 1
3ab+c 3ab-c 9a2B2 -vs2
√3 – 4 √3+4 3 – 16 = -13

Caso 2: multiplicar el conjugado de un binomio por una expresión diferente

En algunos casos (como la racionalización de expresiones de raíz), es posible que necesitemos multiplicar el conjugado de un binomio con una expresión diferente. Al tratar con estos problemas, asegúrese de revisar su conocimiento de:

Digamos que queremos multiplicar √3 + 1 por el conjugado de √2 – 1. Primero necesitamos encontrar el conjugado de √2 – 1. Tenemos √2 + 1. Dado que √3 + 1 y √2 + 1 son binomios, podemos aplicar el método FOIL para encontrar y simplificar el producto de dos binomios.

(√3 + 1)( √2 + 1) = (√3)( √2) + (√3)(1) + (1)( √2) + (1)(1)

= √6 + √3 + √2 + 1

Es hora de que aprendamos las aplicaciones comunes de los conjugados en matemáticas.

¿Cómo racionalizar expresiones de raíz usando conjugados?

Una de las aplicaciones más comunes de los conjugados ocurre cuando queremos racionalizar una expresión que contiene binomios radicales en el denominador.

Cuando racionalizamos una expresión regular, nuestro objetivo es tener un denominador que no contenga ningún término radical. Los conjugados son útiles cuando tenemos una expresión binomial en el denominador.

Podemos multiplicar el numerador y el denominador por los conjugados del denominador. ¿Por qué no probar un ejemplo y ver qué sucede con la expresión?

(√2 – 1) / (√2 + 1)

Si queremos simplificar la expresión anterior, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.

(√2 – 1) / (√2 + 1) (√2 – 1) / (√2 -1)

= [(√2 – 1) ·(√2 – 1)]/ [(√2 + 1)(√2 – 1)]

Simplifica el denominador usando la diferencia de dos cuadrados y simplifica el numerador elevando al cuadrado la expresión (√2 – 1).

= [(√2)2 – 2(√2)(1) + (1)2]/[ (√2)2 – (1)2]

= [2 – 2√2 + 1]/[2 – 1]

= 3 – 2√2

La expresión resultante no tiene más expresiones radicales en su denominador para confirme que ha sido racionalizado usando el conjugado del denominador. Por lo tanto, hemos visto cómo se usan los conjugados para racionalizar expresiones.

Ejemplo 1

Encuentra los conjugados de los siguientes binomios.

una. 2xy-y

B. min2 +m2no

contra a B C D

Solución

Volvamos a la definición fundamental de los conjugados: comparten términos idénticos pero signos diferentes.

una. Para 2xy – y, su conjugado siempre tendrá los mismos términos excepto que tiene + como su operación. Por lo tanto, su conjugado es 2xy+y.

B. De manera similar, usamos los mismos términos pero la operación inversa, por lo que el conjugado de mn2 +m2n es min2 -metro2no.

contra Finalmente, si usamos el mismo proceso, encontraremos que el conjugado de ab – cd es b+cd.

Ejemplo 2

Cuando se le dé una expresión lineal, ax + b, describa el resultado cuando:

una. se suma la expresión lineal y su conjugado.
B. se resta el conjugado de la expresión lineal.

Solución

Avancemos y primero encontremos el conjugado de la expresión lineal. Usando los mismos términos pero la operación inversa, el conjugado de ax + b es ax – b.

Sumando los dos binomios, tenemos ax + b + ax – b = 2ax. La suma es en realidad el doble del valor del término.

una. En general, el la suma de una expresión lineal y su conjugada es igual al doble del valor del primer término del binomio.

Hagamos lo mismo por su diferencia. Se tiene:

(ax + b) – (ax – b) = hacha + b – hacha + b

= 2b

La diferencia es el doble del segundo término del binomio.

B. Esto significa que cuando el conjugado de un binomio se resta del binomio, el resultado es el doble del segundo término del binomio.

Ejemplo 3

Usa tu conocimiento de las conjugaciones para responder las siguientes preguntas.

una. ¿Cuál es el conjugado de (1000 – 1)?
B. ¿Cuál es el resultado cuando multiplicas (1000 – 1) por su conjugado?
contra Usando lo que has observado, describe cómo puedes encontrar el producto de 81 y 79.

Solución

una. Usando los mismos términos pero la operación inversa, el conjugado de (1000 – 1) es (1000 + 1).

B. Cuando multiplicamos un binomio por su conjugado, elevamos al cuadrado ambos términos y restamos el resultado. Entonces tenemos (1000)2 – 12 = 999 999.

contra Esto significa que podemos expresar 81 y 79 como conjugados entre sí: 81 = 80 + 1 y 79 = 80 – 1. Usando los dos binomios, el el producto de 81 y 79 es 802 – 12 = 6399.

Ejemplo 4

Encuentra el conjugado del denominador, luego racionaliza la expresión (-2 + √3) / (6 – 3√3).

Solución

Usando los mismos términos pero operaciones opuestas, la conjugado de 6 – 3√3 es 6 + 3√3. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado.

(-1 + √3) / (6 – 3√3) (6 + 3√3)/ (6 +3√3)

= [(-1 + √3) (6 + 3√3)] / [(6 – 3√3) (6 + 3√3)]

Usa el método FOIL para simplificar el numerador y la diferencia de dos cuadrados al denominador.

= [(-1)(6) + (-1) (3√3) + (√3)(6) + (√3)(3√3)]/ [(6)2 – (3√3)2]

= [-6 – 3√3 + 6√3 + 9]/ [36 – 27]

= (3√3 + 3)/ 9

= 3(√3 +1)/ 9

= 1/3 (√3 + 1)

Acabamos de simplificar la expresión dada y ahora tenemos 1/3 (√3+1).

enero 21, 2022 por Blog Multiplicación Operaciones Pares Preguntas Resta

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Carlos Huertas

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