Perímetro de un Paralelogramo – Explicación y Ejemplos

Perímetro de un Paralelogramo – Explicación y Ejemplos

El perímetro de un paralelogramo es la longitud total de sus límites exteriores.

perimeter of a parallelogram

Un paralelogramo, similar a un rectángulo, es un cuadrilátero con lados opuestos iguales. Entonces, si la longitud y el ancho de un paralelogramo son $a$ y $b$, como en la figura anterior, el perímetro se puede calcular de la siguiente manera:

Perímetro = $2(a + b)$

Este tema te ayudará a comprender el concepto del perímetro del paralelogramo y cómo calcularlo.

¿Cuál es el perímetro de un paralelogramo?

El perímetro de un paralelogramo es la distancia total recorrida alrededor de sus límites. Un paralelogramo es un cuadrilátero, por lo que tiene cuatro lados, y si sumamos todos los lados, obtenemos el perímetro del paralelogramo. La fórmula para el perímetro de un paralelogramo y un rectángulo es bastante similar porque las dos formas comparten muchas propiedades.

Del mismo modo, la fórmula para el área de un paralelogramo y el área de un rectángulo también es similar.

Vamos a discutir estos temas con más detalle.

Cómo encontrar el perímetro de un paralelogramo

El perímetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados del paralelogramo. No necesitamos que nos den los valores de todos los lados de un paralelogramo en todos los problemas. En algunos casos, es posible que nos den la base, la altura y el ángulo, y tendremos que calcular el perímetro del paralelogramo a partir de estos valores.

Por ejemplo, podemos calcular el perímetro del paralelogramo si nos dan la siguiente información:

  1. Se dan los valores de dos lados adyacentes
  2. Se da el valor de un lado y las diagonales
  3. Se dan los valores de base, altura y ángulo

Perímetro de una fórmula de paralelogramo

La fórmula del perímetro de un paralelogramo es similar a la del perímetro de un rectángulo cuando se dan los valores de los lados adyacentes. Sin embargo, la fórmula será diferente cuando nos den los valores de la base, la altura y el ángulo, e igualmente será diferente cuando nos den los valores de las diagonales.

Veamos estas fórmulas una por una.

Perímetro de un paralelogramo cuando se dan dos lados adyacentes

La fórmula del perímetro de un paralelogramo es igual a la del perímetro del rectángulo en este escenario. Al igual que los rectángulos, los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.

figura de paralelogramo

Perímetro del paralelogramo $= a+b+a+b$

Perímetro del paralelogramo $= 2 a + 2 b$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (a + b)$

Perímetro de un paralelogramo cuando se dan la base, la altura y el ángulo

La fórmula para el perímetro de un paralelogramo cuando se dan la base, la altura y el ángulo es derivado usando las propiedades de un paralelogramo. Considere la imagen de abajo.

paralelogramo

Aquí, “h” es la altura y “b” es la base del paralelogramo mientras que “Ɵ” es el ángulo entre la altura CE y el lado CA del paralelogramo. Si aplicamos costos al triángulo ACE, obtenemos,

$costo = frac{h}{a}$

$a = frac{h} {costo}$

Entonces, la fórmula para el perímetro de un paralelogramo cuya base, altura y ángulo se conocen puede ser escrito:

Perímetro del paralelogramo $= 2 (frac{h}{cosƟ} + b)$

Perímetro de un paralelogramo cuando se dan un lado y las diagonales

La fórmula para el perímetro de un paralelogramo cuando se dan un lado y las diagonales es derivado usando el teorema del coseno Por ejemplo, considere el siguiente paralelogramo.

paralelogramo con diagonales

Los lados del paralelogramo son ‘a’ y ‘b’, y las diagonales son ‘c’ y ‘d’. Considere que nos dan el valor de un lado ‘a’ y las diagonales ‘c’ y ‘d’, pero el valor del lado ‘b’ no se conoce. Usando esta información, podemos derivar la fórmula del perímetro usando la ley de los cosenos con los datos dados.

Empezamos aplicando el teorema del coseno al triángulo CDA:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2abhspace{1mm} porque ∠CDA$ (1)

Ahora aplique la ley del coseno al triángulo CAB:

$d^{2} = a^{2} + b^{2} – 2ab hspace{1mm}cos ∠CAB$ (2)

Sume las ecuaciones (1) y (2).

$c^{2} + d^{2} = 2a^{2} + 2b^{2} – 2ab (cos ∠CDA + cos ∠CAB)$ (3)

Sabemos que los ángulos adyacentes del paralelogramo se complementan, entonces:

$∠CDA + ∠CAB = 180^{o}$

$∠CDA = 180^{o} – ∠CAB$

Aplicar el coseno a ambos lados:

$cos ∠CDA = cos (180^{o} – ∠CAB) = – cos ∠CAB$

$cos ∠CDA = – cos ∠CAB$ (4)

Sustituya la ecuación (4) en la ecuación (3):

$c^{2} + d^{2} = 2a^{2} + 2b^{2} – 2ab ( – porque ∠CAB + porque ∠CAB)$

$c^{2} + d^{2} = 2a^{2} + 2b^{2} – 2ab (0)$

$c^{2} + d^{2} = 2a^{2} + 2b^{2}$

La ecuación anterior es la relación entre los dos lados y las diagonales del paralelogramo. Ahora necesitamos encontrar la relación para el lado desconocido “b”.

$2b^{2} = c^{2} + d^{2} – 2a^{2}$

$b^{2} = frac{(c^{2} + d^{2} – 2a^{2})}{2}$

$b = sqrt{ [frac{(c^{2} + d^{2} – 2a^{2})}{2}]PS

Ahora conocemos los lados del paralelogramo (‘a’ y ‘b’) y así podemos usar la fórmula de la sección anterior para encontrar su perímetro (P).

Perímetro $= 2a + 2b$

Perímetro $= 2a + 2 sqrt{ [frac{(c^{2} + d^{2} – 2a^{2})}{2}]PS

Perímetro $= 2a + sqrt{[2(c^{2} + d^{2} – 2a^{2})]PS

Perímetro $= 2a + sqrt{(2c^{2} + 2d^{2} – 4a^{2})}$

Ejemplo 1:

La longitud de los lados adyacentes de un paralelogramo es $5 cm$ y $8 cm$, respectivamente. ¿Cuál será el perímetro del paralelogramo?

Solución:

Nosotros somos dada la longitud de dos lados adyacentes del paralelogramo.

Sean a $= 5cm$ y b $= 8cm$

Ahora podemos calcular el perímetro del paralelogramo con la fórmula que estudiamos anteriormente.

Perímetro del paralelogramo $= 2 (a+ b)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( 5 cm+ 8 cm)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( 13 cm)$

Perímetro del paralelogramo $= 26 cm$

Ejemplo 2:

Calcula el perímetro del paralelogramo de la siguiente figura.

ejemplo 2 paralelogramo

Solución:

Nosotros somos dada la longitud de dos lados adyacentes del paralelogramo.

Sean a $= 9cm$ y b $= 7cm$

Ahora podemos calcular el perímetro de un paralelogramo con la fórmula que estudiamos anteriormente.

Perímetro del paralelogramo $= 2 (a+ b)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( 9 cm+ 7 cm)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( 16 cm)$

Perímetro del paralelogramo $= 32 cm$

Detalles importantes del paralelogramo

Para entender completamente este concepto, aprendamos algunas propiedades de un paralelogramo y las diferencias entre un paralelogramo, un rectángulo y un rombo.

Conocer las diferencias entre estas formas geométricas bidimensionales te ayudará entender y aprender rápidamente el tema sin confundirse. Propiedades importantes de un paralelogramo puede enunciarse de la siguiente manera:

  1. Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes o iguales.
  2. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales entre sí.
  3. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.
  4. Los ángulos adyacentes de un paralelogramo se complementan entre sí.

ahora déjanos estudiar las diferencias fundamentales entre las propiedades de un paralelogramo, un rectángulo y un rombo. Las diferencias entre estas formas geométricas se dan en la siguiente tabla.

Paralelogramo

Rectángulo

Rombo

Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales entre sí

Los lados opuestos de un rectángulo son iguales entre sí

Todos los lados de un rombo son iguales entre sí.

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, mientras que los ángulos adyacentes se complementan.

Todos los ángulos (interiores y adyacentes) son iguales entre sí. Todos los ángulos son ángulos rectos, es decir, 90 grados.

La suma de dos ángulos interiores de un rombo es igual a 180 grados. Entonces, si todos los ángulos de un rombo son iguales, cada uno será igual a 90, lo que hará que el rombo sea un cuadrado. Así, el rombo es un cuadrilátero que puede ser un paralelogramo, un cuadrado o un rectángulo.

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.

Las diagonales de un rectángulo se bisecan entre sí.

Las diagonales del rombo se cortan en su centro.

Cualquier paralelogramo es un rectángulo pero no un rombo.

No todo rectángulo es un paralelogramo.

Todo rombo es un paralelogramo.

Relación entre el área y el perímetro de un paralelogramo

El área del paralelogramo es el producto de su base y altura y se puede escribir:

Área del paralelogramo $= base veces altura$.

Sabemos que la fórmula del perímetro del paralelogramo está dada por
Perímetro $= 2(a+b)$.

Aquí “b” es la base y “a” es la altura.

Resolvamos la ecuación para el valor de “b”

$frac{P}{2}= a + b$

$b = [frac{p}{2}] – un $

Aplicando el valor de “b” en la fórmula del área:

área $= [frac{p}{2} – a] veces h.$

Ejemplo 3:

Si el área de un paralelogramo es $42 textrm{cm}^{2}$ y la base del paralelogramo es $6 cm$, ¿cuál es el perímetro del paralelogramo?

Solución:

Tomemos la base y la altura del paralelogramo como “b” y “h” respectivamente.

Nos dan el valor de la base b = 6cm$

El área de un paralelogramo está dada por:

$A=bveces h$

$42 = 6 veces h$

Donde como $b = 6times a$

Si ponemos el valor anterior en la fórmula del área, obtenemos:

$h = frac{42}{6}$

$h = 8cm$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (a + b)$

Perímetro del rectángulo $= 2 (8 + 6)$

Perímetro del rectángulo $= 2 ( 14 cm)$

Perímetro del rectángulo $= 28 cm$

Cuestiones prácticas

1. Calcula el perímetro del paralelogramo usando los datos a continuación.

  • Los valores de dos lados adyacentes son respectivamente $8 cm$ y $11 cm$.
  • Los valores de base, altura y ángulo son $7cm$, $5cm$ y $60^{o}$, respectivamente.
  • Los valores diagonales son $5cm$ y $6cm$, mientras que el valor lateral es $7cm$.

2. Calcula el perímetro de un paralelogramo cuando la longitud de uno de sus lados es de 10 cm, su altura es de 20 cm y uno de los ángulos es de 30 grados.

corregido

1.

  • Sabemos la fórmula para el perímetro del paralelogramo:

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( a + b)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( 8 cm+ 11 cm)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( 19 cm)$

Perímetro del paralelogramo $= 38 cm$

  • Conocemos la fórmula del perímetro de un paralelogramo cuando se dan la base, la altura y el ángulo:

Perímetro del paralelogramo $= 2 (frac{h}{cosƟ} + b)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (frac{5}{cos45^{o}} + 7)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (frac{5}{0.2} + 7)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (10 + 7)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (17)$

Perímetro del paralelogramo $= 34 cm$

  • Conocemos la fórmula del perímetro de un paralelogramo cuando se dan ambas diagonales y un lado:

Perímetro $= 2a + sqrt{(2c^{2} + 2d^{2} – 4a^{2})}$

Donde, c $= 5 cm$, d $= 7 cm$ y a $= 4 cm$

Perímetro $= 2times 8 + sqrt{(2times5^{2} + 2times 7^{2} – 4times4^{2})}$

Perímetro $= 16 + sqrt{(2times 25 + 2times 49 – 4times 16)}$

Perímetro $= 16 + sqrt{(50 + 98 – 64)}$

Perímetro $= 16 + sqrt{(84)}$

Perímetro $= 16 + $9,165

Perímetro $= 25.165 cm$ aprox.

2. Conocemos la fórmula del perímetro de un paralelogramo cuando se dan la base, la altura y el ángulo:

Perímetro del paralelogramo $= 2 (frac{h}{cosƟ} + b)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (frac{20}{cos30^{o}} + 10)$

Perímetro de paralelogramo $= 2 (frac{5}{0.866} + 10)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (5.77 + 10)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (15.77)$

Perímetro del paralelogramo $= 26.77 cm$ aprox.