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Variabilidad de muestreo: definición, condición y ejemplos

Variabilidad de muestreo: definición, condición y ejemplos

Variabilidad de muestreo se centra en la buena dispersión de un conjunto de datos dado. Cuando se trata de datos reales o encuestas a gran escala, es casi imposible manipular los valores uno por uno. Aquí es donde entra en juego el concepto de conjunto de muestras y media de la muestra: las conclusiones dependerán de las mediciones devueltas por un conjunto de muestras.

La variabilidad del muestreo utiliza la media de la muestra y la desviación estándar de la media de la muestra para mostrar cuán dispersos están los datos.

Este artículo cubre los fundamentos de la variabilidad del muestreo. así como las principales medidas estadísticas utilizadas para describir la variabilidad de una muestra dada. Aprenda cómo se calcula la desviación estándar de la media de una muestra y comprenda cómo interpretar estas medidas.

¿Qué es la variabilidad del muestreo?

La variabilidad del muestreo es un rango que refleja qué tan cerca o lejos está la “verdad” de una muestra dada de la población. Mide la diferencia entre las estadísticas de la muestra y lo que refleja la medición de la población. Esto destaca el hecho de que dependiendo de la muestra seleccionada, la media cambia (o varía).

La variabilidad del muestreo siempre se representa mediante una clave. medida estadística incluído la varianza y la desviación estándar de los datos. Antes de sumergirse en las técnicas técnicas de variabilidad del muestreo, eche un vistazo a la siguiente tabla.

Como se puede observar, la muestra representa solo uno parte de la población, lo que demuestra la importancia de tener en cuenta la variabilidad del muestreo. El gráfico también ilustra cómo, en los datos del mundo real, el tamaño de la muestra puede no ser perfecto, pero el mejor resalta la estimación más cercana que refleja el valor de la población.

Supongamos que Kevin, un biólogo marino, necesita estimar el peso de las conchas que existen cerca de la costa. Su equipo recaudó $600 en conchas marinas. Saben que llevará tiempo pesar cada caparazón, entonces deciden usar el peso promedio de $240 muestras para estimar el peso de toda la población.

Imaginar selección $240 conchas de una población de $600 conchas. El peso promedio de la muestra dependerá de las conchas que se hayan pesado, lo que confirma el hecho de que el peso promedio variará según el tamaño de la muestra y la muestra en su lugar. Como era de esperar, si el tamaño de la muestra (el tamaño de una muestra) aumenta o disminuye, las medidas que reflejan la variabilidad del muestreo también cambiarán.

Para mayor precisión, el equipo de Kevin pesó conchas marinas de $240 seleccionadas al azar tres veces para observar cómo variaba el peso promedio de la muestra. El diagrama de abajo resume los resultados de las tres pruebas.

Cascarón representado $10$ conchas, por lo que la media de cada muestra se calculó pesando $250 de conchas cada una. Los resultados de las tres muestras muestran un peso promedio variable: $120 gramos, $135 gramos y $110 gramos.

Esto destaca la variabilidad presente cuando se trabaja con tamaños de muestra. Cuando se trabaja con una sola muestra o ensayo, se deben considerar las medidas de variabilidad del muestreo.

¿Qué son las medidas de la variabilidad del muestreo?

Las importantes medidas utilizadas para reflejan la variabilidad del muestreo son la media y la desviación estándar de la muestra. La media muestral ($overline{x}$) refleja la variación entre las medias resultantes de la muestra seleccionada y, por tanto, la variabilidad muestral de los datos. Mientras tanto, la desviación estándar ($sigma$) muestra cuán “dispersos” están los datos entre sí, por lo que también resalta la variabilidad de muestreo en un dato dado.

  • Calcular la media de una muestra ($mu_overline{x}$) ahorra tiempo en comparación con calcular la media de toda la población ($mu$).

begin{alineado}mu =mu_{overline{x}}end{alineado}

  • Encuentre la desviación estándar de la media de la muestra ($sigma_{overline{x}}$) para cuantificar la variabilidad presente en los datos.

begin{alineado}sigma_{overline{x}} &=dfrac{sigma}{sqrt{n}}end{alineado}

Volviendo a las conchas de la sección anterior, supongamos que el equipo de Kevin pesó sólo un conjunto de muestras que consistía en $100 conchas. La media calculada de la muestra y la desviación estándar será entonces como se muestra:

begin{aligned}textbf{Tamaño de la muestra} &:100\textbf{Promedio de la muestra} &: 125 text{ gramos}\textbf{Desviación estándar} &:12text{ gramos}end{aligned }

Para calcular la desviación estándar de la media muestral, dividir la desviación estándar dada por el número de conchas (o tamaño de la muestra).

begin{alineado}sigma_{overline{x}} &=dfrac{12 }{sqrt{100}}\ &= 1,20 end{alineado}

Esto significa que aunque la mejor estimación del peso promedio de todas las conchas a $600 es $125 gramos, el peso promedio de la cáscara de la muestra seleccionada variará de aproximadamente $1.20$ gramos. Ahora observe lo que sucede a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

¿Qué pasaría si el equipo de Kevin obtuviera la media muestral y la desviación estándar con los siguientes tamaños de muestra?

Tamaño de la muestra

Desviación estándar de la media muestral

begin{alineado}n=150end{alineado}

begin{alineado}sigma_{overline{x}} &= dfrac{12 }{sqrt{150}}\&= 0,98 end{alineado}

begin{alineado}n=200end{alineado}

begin{alineado}sigma_{overline{x}} &= dfrac{12 }{sqrt{200}}\&= 0,85 end{alineado}

begin{alineado}n=250end{alineado}

begin{alineado}sigma_{overline{x}} &= dfrac{12 }{sqrt{200}}\&= 0,76 end{alineado}

A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la norma de la media muestral disminuye. Este comportamiento tiene sentido porque cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, menor será la diferencia entre la media de la muestra medida.

La siguiente sección mostrará más ejemplos y problemas prácticos que destacan la importancia de las medidas de variabilidad del muestreo que se han discutido.

Ejemplo 1

Un dormitorio ha planeado implementar nuevos horarios de toque de queda y el administrador del dormitorio dice que $75 de los residentes apoyan la política. Sin embargo, algunos vecinos quieren revisar los datos y el reclamo del administrador.

Para refutar esta afirmación, los residentes realizaron su propia encuesta en la que preguntaron al azar a los residentes de $60 si apoyan las nuevas horas de toque de queda. De los $60 solicitados a los residentes, $36 los residentes están de acuerdo con los horarios de toque de queda propuestos.

un. Esta vez, ¿cuánto por ciento estuvo a favor de los nuevos horarios de toque de queda propuestos?
B. Compara los dos valores e interpreta la diferencia como un porcentaje.
contra ¿Qué se puede hacer para que los vecinos tengan mejores exigencias y puedan refutar los horarios de toque de queda propuestos?

Solución

Primero, encontrar el porcentaje dividiendo $36 por el número total de residentes solicitados ($60) y multiplicando la proporción por $100%$.

begin{alineado}dfrac{36}{60} times 100% &= 60%end{alineado}

un. Esto significa que después de completar su investigación, los residentes descubrieron que sólo $60%$ estaban a favor del horario de toque de queda propuesto.

Una investigación del administrador del dormitorio.

begin{alineado}75%end{alineado}

Encuesta de residentes

begin{alineado}60%end{alineado}

B. A partir de estos dos valores, los habitantes encontró menos estudiantes a favor de los nuevos horarios de toque de queda. La diferencia de $ 15 puede deberse a que los residentes se encuentran con más residentes en contra de las horas de toque de queda.

Si seleccionaron al azar a más locales a favor de los horarios de toque de queda, estas diferencias porcentuales pueden cambiar a favor del administrador del dormitorio. Esto se debe a la variabilidad del muestreo.

contra Dado que se debe tener en cuenta la variabilidad del muestreo, los residentes deberían cambiar su proceso para proporcionar demandas más concretas rechazar la propuesta del administrador del dormitorio.

Dado que la desviación estándar disminuye al aumentar el tamaño de la muestra, tpueden preguntar a más habitantes para obtener una mejor visión general de la opinión de toda la población. Deben establecer un número razonable de encuestados en función del número total de residentes en el dormitorio.

Ejemplo 2

Los moderadores de una comunidad en línea de amantes de los libros realizaron una encuesta y preguntaron a sus miembros cuántos libros leen en un año. La media poblacional muestra una media de $24 libras con una desviación estándar de $6 libras.

un. Si se le hiciera la misma pregunta a un subgrupo de $50 miembros, ¿cuál es el número promedio de libros leídos por cada miembro? ¿Cuál será la desviación estándar calculada?
B. ¿Qué sucede con la desviación estándar cuando se encuesta a un subgrupo más grande con miembros de $80?

Solución

La media de la muestra será igual a la media de la población dada, por lo que el primer subgrupo habría leído $24$ libros. Ahora use el tamaño de la muestra para calcular la desviación estándar para los miembros de $50.

begin{alineado}sigma_{overline{x}} &=dfrac{6}{sqrt{50}}\ &=0.85 end{alineado}
un. La media muestral para el subgrupo sigue siendo la misma: $24, mientras que la desviación estándar se convierte en $0.85.

De manera similar, la media muestral para el segundo subgrupo sigue siendo de $24 libras. Sin embargo, con un tamaño de muestra más grande, el tamaño estándar debería disminuir.

begin{alineado}sigma_{overline{x}} &=dfrac{6}{sqrt{80}}\&= 0,67 end{alineado}
B. Por lo tanto, la media muestral sigue siendo $24, pero la desviación estándar disminuyó aún más a $0,67.

Preguntas prácticas

1. Verdadero o falso: la media de la muestra disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

2. Verdadero o Falso: La desviación estándar refleja la dispersión de la media muestral para cada conjunto de muestras.

3. Una muestra aleatoria de tamaño $200 tiene una media poblacional de $140 y una desviación estándar de $20. ¿Cuál es la media de la muestra?
70 reales
B $140
c.$200
D$350

4. Usando la misma información, ¿en cuánto aumentará o disminuirá la desviación estándar de la media de la muestra si el tamaño de la muestra ahora es de $100?
A. La desviación estándar aumentará por un factor de $sqrt{2}$.
B. La desviación estándar aumentará por un factor de $2.
C. La desviación estándar disminuirá por un factor de $sqrt{2}$.
D. La desviación estándar aumentará por un factor de $dfrac{1}$2}.

corregido

1. Falso
2. Verdadero
3.C
4. uno

marzo 3, 2022 por Blog Preguntas

Desplazamiento horizontal: definición, proceso y ejemplos

Desplazamiento horizontal: definición, proceso y ejemplos

los desplazamiento horizontal resalta cómo el valor de entrada de la función afecta su gráfico. Cuando se trata de compensaciones horizontales, la atención se centra únicamente en cómo se comportan el gráfico y la función a lo largo del eje $x$. Es importante entender cómo funcionan las compensaciones horizontales, especialmente cuando se grafican funciones complejas.

El desplazamiento horizontal se produce cuando un gráfico se desplaza a lo largo de la $boldsymbol{x}$-eje por $boldsymbol{h}$ unidades, ya sea izquierda o derecha.

Junto con otras transformaciones, es importante saber identificar y aplicar horizontales en diferentes funciones, incluidas las funciones trigonométricas. Este artículo cubre todos los conceptos clave necesario para dominar este tema!

¿Qué es un desplazamiento horizontal?

Un desplazamiento horizontal es una traslación que mueve la gráfica de la función a lo largo del eje $x$. Describe cómo se mueve una función hacia la derecha o hacia la izquierda para encontrar la posición gráfica de la nueva función. Durante un desplazamiento horizontal, la función $f(x)$ se desplaza horizontalmente en unidades de $h$ y hace que la función se traduzca a $f(x pm h)$.

Examina las gráficas de las tres funciones: $f(x) = x^2$, $g(x) = (x + 3)^2$ y $h(x) = (x – 3)^ 2$. Con $f(x)$ como función madre o función base de funciones cuadráticas, las dos funciones restantes son el resultado de un desplazamiento horizontal $f(x)$.

  • Cuando $f(x) =x^2$ se desplaza $3$ unidades hacia la izquierda, su valor de entrada se desplaza $+3$ unidades a lo largo del eje $x$. Por lo tanto, la función traducida es igual a $g(x) = (x- 3)^2$.
  • De manera similar, cuando la función principal se desplaza $3$ unidades hacia la derecha, el valor de entrada se desplaza $-3$ unidades horizontalmente. Esto da como resultado la función traducida $h(x) = (x -3)^2$.

Este comportamiento es cierto para todos los desplazamientos horizontalespor lo que es mejor establecer una regla general de qué esperar cuando la función $f(x)$ se desplaza $h$ unidades a la derecha o $h$ unidades a la izquierda.

Reglas para desplazamiento horizontal

Suponga que $h$ es mayor que cero y $f(x)$ se desplaza $h$ unidades a lo largo del eje $x$, esto da como resultado las siguientes funciones:

1. $boldsymbol{y = f(x – h)}$ : un desplazamiento horizontal de $h$ unidades hacia correcto.

2. $boldsymbol{y = f(x + h)}$ : un desplazamiento horizontal de $h$ unidades hacia la izquierda.

Cuando mueve una función o su gráfico horizontalmente, el tamaño y la forma de la función siguen siendo los mismos.

Para comprender mejor cómo se ven afectadas las coordenadas de las características después de un desplazamiento horizontal, construir una tabla de valores para $f(x) = x^2$, $g(x) = (x + 1)^2$, y $h(x) = (x – 1)^2$.

begin{alineado} boldsymbol{x} end{alineado}

begin{alineado}-2end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}2end{alineado}

begin{alineado} boldsymbol{y=x^2} end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado} boldsymbol{y=(x-1)^2} end{alineado}

begin{alineado}9end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado} boldsymbol{y=(x+1)^2} end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado}9end{alineado}

La tabla de valores confirma que para $y = (x -1)^2$, los valores de la función se desplazan $1$ unidad a la derecha. De manera similar, los valores de la función se desplazan $1$ unidades hacia la izquierda para $y = (x + 1)^2$ con respecto a $y =x^2.

Comprender el desplazamiento horizontal en trigonometría

El desplazamiento horizontal es una técnica útil para graficar y estudiar funciones trigonométricas. En trigonometría, el desplazamiento horizontal a veces se denomina cambio de fase. El proceso sigue siendo el mismo: cuando el valor de entrada de una función trigonométrica se desplaza a lo largo del eje $x$, su gráfico hace lo mismo.

Echa un vistazo a los dos gráficos, $g(x)$ es el resultado de un desplazamiento horizontal $y= sin x$ por $dfrac{pi}{2}$ unidades a la derecha. De hecho, si el dominio está limitado a $2pi$, $g(x)$ refleja la gráfica de $y = cos x$, confirmando que $cos x = sin left(x – dfrac{ pi}{2} derecho)$.

Graficar funciones trigonométricas es mucho más fácil cuando se realizan transformaciones como se aplican compensaciones horizontales o de fase. Como las gráficas de las funciones trigonométricas fundamentales están estudiadas y bien establecidas, será mucho más fácil graficarlas y luego aplicar los desplazamientos.

Desplazamiento horizontal para trigonometría

Dadas funciones trigonométricas como la forma general de seno que se muestra a continuación:

begin{alineado}y = Asen [B(x – C)] + D end{alineado}

El desplazamiento horizontal es $C$ unidades a la derecha. Lo mismo se aplica a:

begin{alineado}y = Asen [B(x – C)] + D, end{alineado}

el desplazamiento horizontal es $C$ unidades a la izquierda.

Esta sección ha cubierto todos los fundamentos del desplazamiento horizontal, por lo que es hora de aprender a aplicar traslaciones horizontales. Las próximas dos secciones establecerán el proceso y cubrirán ejemplos de movimientos horizontales.

¿Cómo encontrar el desplazamiento horizontal?

Para encontrar el desplazamiento horizontal aplicado a un gráfico o función, determinar los cambios de eje $x$.

  • Cuando reciba el gráfico, observe los puntos clave del gráfico original y luego determine cuánto se ha movido el nuevo gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha.
  • Cuando se le dé la función, reescriba la expresión para resaltar $(x – h)$ y el valor de $h$ para determinar el desplazamiento horizontal aplicado a la función.

Reglas y condiciones de uso establecido en el apartado anterior para resolver problemas de desplazamientos horizontales.

Encontrar el desplazamiento horizontal de un gráfico

Cuando se le da un gráficoobservar qué tan lejos de la pre-imagen (normalmente la función principal correspondiente) es la imagen resultante después de ser desplazada horizontalmente por $h$ unidades.

  • Caso 1: Si el gráfico resultante está a $h$ unidades a la derecha del gráfico, esto significa que de $f(x)$, la expresión de la función traducida ahora es $f(x – h)$.
  • Caso 2: Si el gráfico resultante está a $h$ unidades a la izquierda del gráfico $f(x)$, la expresión de la función traducida ahora es $f(x + h)$.

Utilice esta guía para describir el desplazamiento horizontal que ha ocurrido en un gráfico dado. Por ejemplo, para conocer el desplazamiento horizontal aplicado en la función madre de la función que se muestra a continuación, observe el movimiento en el gráfico trasladado de $y = x$ con respecto al eje $x$.

Al describir el desplazamiento horizontal, centrarse en cómo se comportan los puntos y la curva de la función a lo largo de la eje $x$. Construya la gráfica de su función principal, $y =x$, para ver cómo se ha movido el punto $(3, 0)$.

A partir de ahí, podemos ver que desde $(0, 0)$, el punto se ha movido a $(3, 0)$ o $3$ unidades a la derecha. Esta observación sigue siendo cierta para los demás puntos de la gráfica. Eso significa que la función principal se desplaza $3$ unidades a la derecha en orden. A partir de esta información, también es posible encontrar la expresión de la función.

begin{alineado}(0, 0) &rightarrow (3, 0)\ x &rightarrow x – 3\y=x &rightarrow y=x – 3end{alineado}

Esto significa que al encontrar el desplazamiento horizontal, se demostró que la función mostrada tiene una expresión de $y = x – 3$.

Hallar el desplazamiento horizontal de una función

Cuando se dan la función y su expresión, encuentre el desplazamiento horizontal por reescribió su expresión para resaltar la diferencia con la función actual de su función madre.

begin{alineado}f(x) rightarrow f(x – h)end{alineado}

Supongamos que $f(x)$ representa la función principal y $f(x –h)$ es la función traducida, el desplazamiento horizontal dependerá de $h$. Es simple cuando se trabaja con funciones más simples como $y = x -3$.

Hay casos, sin embargo, donde es difícil identificar el desplazamiento horizontal inmediatamente. Use la guía a continuación para reescribir la función donde sea fácil identificar el desplazamiento horizontal.

begin{alineado}f(cx pm d) &= f left(cleft(x pm dfrac{d}{c}right)right)end{alineado}

Eso significa que al identificar el desplazamiento horizontal en $(3x + 6)^2$, reescríbelo factorizando los factores como se muestra a continuación.

begin{alineado}(3x + 6)^2 &= [3(x + 2)]^2end{alineado}

Esto destaca la presencia de desplazamiento horizontal y otras transformaciones. presente en la función con respecto a su función madre.

Ejemplo 1

Grafica las funciones $f(x) = x^3$ y $g(x) = (x + 1)^3$. Usando el gráfico, describe $g(x)$ en términos de $f(x)$.

Solución

Construye una tabla de valores para las dos funciones. para ayudar a construir sus gráficos. La tabla de valores también dará una pista sobre el desplazamiento horizontal aplicado en $f(x)$ para obtener $g(x)$.

begin{alineado}boldsymbol{x}end{alineado}

begin{alineado}-2end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}2end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{f(x)}end{alineado}

begin{alineado}-8end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}8end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{g(x)}end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}8end{alineado}

begin{alineado}27end{alineado}

La tabla de valores muestra que los valores de la función se han desplazado una unidad a la izquierda. Ahora, volviendo a verificar esto con los gráficos resultantes para ambas funciones, $g(x)$ es el resultado de mover $f(x)$ unidad $1$ a la derecha.

Ejemplo 2

Usa el desplazamiento horizontal para mostrar que $cos left(x- dfrac{pi}{2}right)= sin x$.

Solución

En un plano $xy$, dibujar las curvas de $sen x$ y $cosx$. Utilice la tabla de valores si es necesario. Usa los gráficos resultantes para observar cómo $cos x$ se desplaza para llegar a la curva de $sin x$.

Esto muestra que la curva de $sen x$ es simplemente el resultado de moverse $cos x$ curva $dfrac{pi}{2}$ unidades a la derecha. Esto significa que en términos de $sin x$, $cos x$ es equivalente a desplazar el valor de entrada de $y =sin x$ por $- dfrac{pi}{2}$.

begin{alineado}cos x = sin left(x – dfrac{pi}{2}right)end{alineado}

Preguntas prácticas

1. Observa las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ como se muestra a continuación. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. $f(x)$ es el resultado cuando $g(x)$ se traslada $4$ unidades a la derecha.
B. $g(x)$ es el resultado cuando $f(x)$ se traslada $4$ unidades a la izquierda.
C. $g(x)$ es el resultado cuando $f(x)$ se traslada $8$ unidades a la derecha.
D. $f(x)$ es el resultado cuando $g(x)$ se traslada $8$ unidades a la derecha.

2. Suponga que $y = sqrt{x}$ se desplaza $15$ unidades a la izquierda, ¿cuál de las siguientes afirmaciones muestra la expresión de la función desplazada?

R. $y = sqrt{x} – $15
B. $y = sqrt{x + 15}$
C. $y = sqrt{15 -x}$
D. $y = sqrt{x – 15}$

corregido

1.B

2.B

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.

marzo 3, 2022 por Blog Preguntas Transformaciones Unidades

Ángulos suplementarios congruentes: definición, medida y explicación

Ángulos suplementarios congruentes: definición, medida y explicación

Ángulos suplementarios congruentes son ángulos que cumplen dos condiciones: son congruentes y son suplementarios. Estos ángulos comparten estas propiedades, lo que los convierte en ángulos únicos e importantes para aprender cuando se trabaja con aplicaciones y problemas relacionados con ángulos y álgebra.

Los ángulos suplementarios congruentes son ángulos cuya suma $boldsymbol{180^{circ}}$ y, al mismo tiempo, comparten la misma medida de ángulo. Estos ángulos siempre tendrán medidas angulares de $boldsymbol{90^{circ}}$.

Este artículo cubre diferentes ejemplos de ángulos suplementarios congruentes y establece la razón por la cual las medidas de sus ángulos son siempre $90^{círculo}$. Espere ejemplos y practique preguntas cerca del final de la discusión para evaluar su comprensión de los ángulos suplementarios congruentes.

¿Qué son los ángulos suplementarios congruentes?

Los ángulos suplementarios congruentes son ángulos que tienen medidas angulares de $90^{círculo}$ cada. El par de ángulos debe tener medidas angulares iguales y al mismo tiempo sumar $180^{circ}$, de ahí el nombre del ángulo. Esto significa que no hay otros ángulos suplementarios congruentes además del par de ángulos rectos.

Mira los dos pares de ángulos de arriba y ver cómo ambos son pares de ángulos suplementarios congruentes. Primero, enfócate en el par de ángulos lineales y encuentra las medidas del ángulo que los hacen congruentes.

Los dos ángulos, $ángulo AOC$ y $ángulo BOC$, son pares lineales, por lo que forman un ángulo lineal y suman $180^{círculo}$. Para que los dos ángulos sean congruentes, $angle AOC = angle BOC = 90^{circ}$.

Esto significa que la única vez que un par de ángulos lineales (por lo tanto, un par de ángulos suplementarios) son congruentes entre sí es cuando ambos están en ángulo recto. Esto es consistente con lo establecido acerca de los ángulos suplementarios congruentes.

Pasemos al segundo par de ángulos, $ángulo ABC$ y $XYZ$. Como se discutió en el pasado, los ángulos adicionales no tienen que formar otros ángulos.

Siempre que sumen 180 $^{circ}$, ambos ángulos se consideran suplementarios. Ahora, que los dos ángulos son congruentes y a la vez complementarios$ángulo ABC = ángulo XYZ = 90^{circ}$.

Ambos ejemplos resaltan el hecho de que el único par posible de ángulos congruentes y suplementarios son dos ángulos rectos. Por supuesto que es importante entender el razonamiento detrás de esto y generalizar la regla para todas las situaciones.

¿Cómo probar ángulos suplementarios congruentes?

Para probar ángulos suplementarios congruentes, usar la definición de ángulos congruentes y ángulos suplementarios luego encuentra las medidas de los ángulos que pueden satisfacer solo las dos condiciones. Por ejemplo, suponga que los dos ángulos, $angle M$ y $angle N$, son dos ángulos congruentes. Esto significa que las medidas de sus ángulos son iguales.

begin{alineado}ángulo M &= ángulo Nend{alineado}

Si los dos ángulos también son suplementarios, $ángulo M$ y $ángulo N$ las medidas se suman $180^{círculo}$.

begin{alineado}ángulo M + ángulo N &= 180^{circ} end{alineado}

Reemplazar $ángulo M = ángulo N$ en la ecuación para encontrar las medidas de $ángulo M$ y $ángulo N$.

begin{alineado}ángulo N + ángulo N &= 180^{circ} \2ángulo N &= 180^{circ}\ ángulo N &= 90^{circ}end{ alineado}

Como $angle M$ y $angle N$ son congruentes, $angle M = angle N = 90^{circ}$. Esto prueba que para que dos ángulos sean ángulos suplementarios congruentes, sus ángulos miden deben ser dos ángulos rectos o deben medir $90^{círculo}$ cada.

Usar ángulos suplementarios congruentes

Usar ángulos suplementarios congruentes y sus medidas para resolver varios problemas que involucran ángulos. Cuando los ángulos se etiquetan como congruentes y suplementarios, hay no es necesario resolver sus medidas ya que se establece que ambos están en ángulo recto.

Al resolver valores desconocidos dados dos ángulos suplementarios congruentes, simplemente asimilar cada expresión representando los ángulos suplementarios congruentes con $90^{circ}$. Úselo para resolver el problema de ejemplo que se muestra a continuación.

Sean $ángulo ABC$ y $ángulo XYZ$ ángulos suplementarios congruentes, use la discusión anterior para encontrar los valores de $x$ y $y$. Como los dos ángulos son congruentes suplementarios, cada uno mide $90^{circ}$. Para encontrar los valores de $x$ y $y$, haga coincidir la expresión de cada ángulo con $90^{circ}$.

begin{alineado}boldsymbol{ángulo ABC}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{ángulo XYZ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo ABC &= 90^{circ}\(4x – 10)^{circ} &= 90^{circ}\4x&= 100\x &= 25end{ alineado}

begin{alineado}ángulo XYZ &= 90^{circ}\(5y – 20)^{circ} &= 90^{circ}\ 5y&= 110\y &= 22end{ alineado}

Así, usando la definición de ángulos suplementarios congruentes, $x = 25$ y $y = 22$. Aplicar un proceso similar cuando trabajar con ángulos suplementarios congruentesy cuando esté listo, diríjase a la sección a continuación para probar otros problemas.

Ejemplo 1

Las rectas $l_1$ y $l_2$ son dos rectas que se cruzan y que también son perpendiculares entre sí. Forman cuatro ángulos: $angle 1$, $angle 2$, $angle 3$ y $angle 4$. Comprueba que $angle 1 ,&, angle 2$ y $angle 3 ,&, angle 4$ son ángulos suplementarios congruentes.

Solución

Cuando se trabaja con problemas como este, es útil para construir el diagrama. Dibuja un par de líneas que también se intersequen perpendiculares entre sí. Esto significa que estas dos líneas forman cuatro cuadrantes con forma de $L$ similares a un sistema de coordenadas rectangulares.

Observe la mitad superior de la sección., que son los cuadrantes que contienen $angle 1$ y $angle 2$. Estos ángulos forman una línea, por lo que suman 180 $^{circ}$. Como se ha establecido que $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares entre sí, $angle 1$ y $angle 2$ son ángulos rectos. Esto significa que cada uno mide $90$^{circ}$.

begin{alineado}ángulo 1 &= ángulo 2\&= 90^{circ}end{alineado}

la misma explicacion aplica para la parte de abajo, que es $angle 3 = angle 4 = 90^{circ}$. Por supuesto, cada par de ángulos suman $^{circ}$180. Esto también significa que al reorganizar los ángulos, el resultado seguirá siendo el mismo.

begin{alineado}ángulo 1 &= ángulo 3\&= 90^{circ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo 2 &= ángulo 4\&= 90^{circ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo 1 &= ángulo 4\&= 90^{circ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo 2 &= ángulo 3\&= 90^{circ}end{alineado}

Ejemplo 2

begin{alineado}ángulo A &= (6x – 30)^{circ}\ángulo B &= (4y – 30)^{circ}end{alineado}

Los ángulos $angle A$ y $angle B$ son ángulos suplementarios congruentes, entonces, ¿cuáles son los valores de $x$ y $y$?

Solución

Recuerda que cuando dos ángulos son ángulos suplementarios congruentes, ambos miden $90^{círculo}$. Esto significa que los dos ángulos, $angle A$ y $angle B$, miden $90^{circ}$.

Encuentre los valores de $x$ y $y$ igualando las expresiones para $angle A$ y $angle B$ a $90^{circ}$ cada una.

begin{alineado}boldsymbol{ángulo ABC}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{ángulo XYZ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo ABC &= 90^{circ}\(6x – 30)^{circ} &= 90^{circ}\6x&= 120\x &= 20end{ alineado}

begin{alineado}ángulo XYZ &= 90^{circ}\(4y – 30)^{circ} &= 90^{circ}\ 4y&= 120\y &= 30end{ alineado}

Ejemplo 3

Los ángulos $angle AOC$ y $angle BOC$ son perpendiculares entre sí y forman una línea recta. Si $ángulo AOC = (5x – 10)^{circ}$ y $ángulo BOC = (4y – 70)^{circ}$, ¿cuál es el valor de $x + y$?

Solución

Cree una imagen que describa el problema: debería verse como nuestro ejemplo anterior de par lineal que también son ángulos suplementarios como se muestra a continuación. Etiquete los ángulos apropiados e incluya sus medidas de ángulo.

En la primera parte de esta discusión, se estableció que cuando un par lineal tiene ángulos que son medidas congruentes, la única medida posible de los dos ángulos es $90^{círculo}$. De hecho, también son ángulos suplementarios congruentes, por lo que la forma más rápida de resolver este problema es igualar las expresiones para $angle AOC$ y $BOC$ a $90^{circ}$.

begin{alineado}boldsymbol{ángulo AOC}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{ángulo BOC}end{alineado}

begin{alineado}ángulo AOC &= 90^{circ}\(5x – 10)^{circ} &= 90^{circ}\5x &= 130\x &= 26end {alineado}

begin{alineado}ángulo BOC &= 90^{circ}\(4y – 70)^{circ} &= 90^{circ}\ 4y&= 160\y &= 40end{ alineado}

Esto significa que $x = $26 y $y = $40, así que usando estos resultados, $x + y = $66.

Estos tres problemas resaltan cuánto más fácil es resolver problemas similares una vez establecida la medida de los ángulos suplementarios congruentes. Cuando esté listo para probar más preguntas de práctica, diríjase a la sección a continuación.

Preguntas prácticas

1. Verdadero o Falso: Todos los ángulos suplementarios son congruentes.
2. Verdadero o falso: Todos los pares lineales son ángulos suplementarios congruentes.
3. Verdadero o Falso: Las líneas perpendiculares siempre formarán ángulos suplementarios congruentes.
4. Utilizando el siguiente diagrama, ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

A. Los ángulos, $angle 1$ y $angle 2$, son ángulos suplementarios congruentes.
B. Los ángulos, $angle 1$ y $angle 3$, son perpendiculares entre sí.
C. Los ángulos, $angle 1$ y $angle 4$, son perpendiculares entre sí.
D. Los ángulos, $angle 3$ y $angle 4$, son ángulos suplementarios congruentes.

5. Supón que $angle LOM$ y $angle MON$ son dos ángulos suplementarios congruentes. Si $x = 20$ y $y = 30$, ¿cuáles de las siguientes expresiones para $angle LOM$ y $angle MON$ no son válidas?

A. $ángulo LOM = (3x + 60)^{circ}$, $ángulo MON = (5y + 10)^{circ}$
B. $ángulo LOM = (5x – 10)^{circ}$, $ángulo MON = (2y + 30)^{circ}$
C. $ángulo LOM = (4x + 10)^{circ}$, $ángulo MON = (3y)^{circ}$
D. $ángulo LOM = (6x – 30)^{circ}$, $ángulo MON = (4y – 30)^{circ}$

6. Los ángulos $angle AOC$ y $angle BOC$ son perpendiculares entre sí y forman una línea recta. Si $angle AOC = (2x + 40)^{circ}$ y $angle BOC = (3y + 60)^{circ}$, ¿cuál es el valor de $x + y$?

A. $x + y = $25
B. $x + y = $35
C. $x + y = $45
D. $x + y = $55

corregido

1. Falso
2. Falso
3. Cierto
4.C
5. uno
6.B

marzo 3, 2022 por Ángulos Blog Pares Preguntas

Cerrado bajo adición: propiedad, tipo de números y ejemplos

Cerrado bajo adición: propiedad, tipo de números y ejemplos

La frase “cerrado bajo adiciónse menciona a menudo cuando se estudian las propiedades y características de diferentes tipos de números. La propiedad de cierre de la suma destaca una característica particular de los números racionales (entre otros grupos de números). Saber qué conjunto de números está cerrado por adición también ayudará a predecir la naturaleza de las sumas de cantidades complejas.

Cuando un conjunto de números o cantidades se cierra por adición, su suma siempre procederá del mismo conjunto de números. También use contraejemplos para refutar la propiedad de cierre de los números.

Este artículo cubre la base de la propiedad de cierre por adición y tiene como objetivo hacerle sentirse seguro identificando un grupo de números que están cerrados por sumaasí como saber ubicar un grupo de números no cerrados por medio de la suma.

¡Hay muchos ejercicios en esta discusión para ayudarlo a comprender la propiedad de cierre de la suma!

¿Qué significa cerrado bajo suma?

Cerrado bajo suma significa que tlas cantidades añadidas satisfacen la propiedad de cierre de la adición, que establece que la suma de dos o más miembros del conjunto siempre será un miembro del conjunto. Los números enteros, por ejemplo, se cierran por suma.

Esto significa que cuando se suman dos números enteros, la suma resultante también es un número entero.

Eche un vistazo a la ilustración de arriba para comprender mejor el concepto de suma cerrada. Cuando se agregan dos pastelitos a otros ocho pastelitos, se espera que haya diez pastelitos. no tiene sentido que la combinación resultante devolverá nueve pastelitos y un pastel.

Extienda esto a un conjunto de números y expresiones que satisfagan la propiedad de cierre. Cuando se dice que un grupo de cantidades o miembros de un conjunto es cerrado por adición, su suma siempre devolverá otro miembro del conjunto. Eche un vistazo a los diferentes conjuntos (y subconjuntos) de números reales:

  • Los números irracionales son todos los números reales que no se pueden escribir como una razón de dos números enteros.
  • Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como la razón de dos números enteros.
  • Los números enteros son números enteros positivos y negativos.
  • Los números enteros son números naturales o contados más cero.
  • Por supuesto, los números naturales son los números que usamos para contar.

En general, todos los números racionales son cerrados por suma. Esto significa que agregar una combinación de estos tipos de números también devolverá números reales. Además, cada subconjunto de números también se cierra por adición.

Aquí hay algunos ejemplos y diferentes tipos de números racionales cerrados por adición:

tipo de numeros

Adición

Tipo de número resultante

Racional

begin{alineado}dfrac{1}{2} + dfrac{3}{4} = dfrac{5}{4}end{alineado}

Racional

Entero

begin{alineado} -4 + 12 = 8end{alineado}

Entero

Nombre completo

begin{alineado} 0+ 1200 = 1200end{alineado}

Nombre completo

Todo natural

begin{alineado} 100 + 500 = 600end{alineado}

Todo natural

Estos son solo algunos ejemplos que muestran cómo los números racionales se cierran mediante la suma. Prueba formal de cierre de propiedad de la factura requiere conocimientos más avanzadospor lo que es más importante centrarse en una pregunta que sea fácil de responder: ¿Los números irracionales también son cerrados por adición?

¿Por qué los números irracionales no son cerrados bajo la suma?

Los números irracionales no se consideran cerrados por adición porque cuando se suma un número irracional y su inverso aditivo, el resultado es cero. Como se estableció, el cero es un número racional y, de hecho, un número entero. Esto va en contra de la definición de la propiedad de cierre: todos los miembros del conjunto deben satisfacer la condición.

begin{alineado}sqrt{3} + sqrt{4} &= sqrt{3} + sqrt{4}\ sqrt{5} + 3sqrt{5} &= 4sqrt{5 }\2pi + 3pi &= 5pi\dfrac{e}{3} + dfrac{sqrt{2}}{3} &= dfrac{e + sqrt{2} {3}end{alineado}

A primera vista, los números irracionales parecen cerrados por adición. Eche un vistazo a los cuatro ejemplos que se muestran: cada uno de estos pares de números irracionales también devuelve un número irracional para una suma. Sin embargo, la propiedad de cierre debe aplicarse a todos los números irracionales para que se consideren cerrados por adición.

begin{alineado} sqrt{7} + (-sqrt{7}) &= 0\ pi + -pi&= 0\2e + (-2e) &= 0\4sqrt{5 } + (-4sqrt{5})&= 0end{alineado}

Dado que cada par devuelve una suma de cero y cero no es un número irracional, los números irracionales no se cierran por adición. Cuando se le pida que pruebe esta afirmación nuevamente, ¡solo piense en contraejemplos!

En la siguiente sección, explorar subconjuntos más particulares de números que se cierran mediante la suma. Además, aprenda a identificar un conjunto de números que no satisfagan la propiedad de cierre de la suma. Cuando esté listo, pase a problemas de muestra y preguntas de práctica.

Ejemplo 1

¿Los enteros pares son cerrados por suma?

Solución

enteros pares son números divisibles por dos, como ${2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …}$. Cuando se suman dos números pares, su suma también será siempre par. Ahora primero prueba con diferentes pares de números pares para entender esta afirmación y luego trata de probarla usando formas generales.

primer numero par

segundo numero par

Suma de números pares

begin{alineado}12end{alineado}

begin{alineado}14end{alineado}

begin{alineado}12 + 14 &= 26 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

begin{alineado}200end{alineado}

begin{alineado}48end{alineado}

begin{alineado}200 + 48&= 248 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

begin{alineado}580end{alineado}

begin{alineado}124end{alineado}

begin{alineado}580+124&= 704 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

Claro, no es suficiente predicar simplemente con el ejemplos (como aprendimos de los números irracionales) confirmar que un grupo de números es cerrado por adición. Ahora, ¿Cómo probar que los números pares son cerrados por suma?

Tenga en cuenta que todos los números pares son múltiplos de $2$, por lo que los números pares se pueden escribir como el producto de un factor y $2$.

  • Sea el primer número par igual a $2 cdot k = 2k$.
  • Sea el segundo número par igual a $2 cdot l = 2l$.

suma los dos numeros pares$2k$ y $2l$, para observar la naturaleza de la suma resultante.

begin{alineado}2k + 2l &= 2k + 2l\&= 2(k + l)end{alineado}

Esto significa que la suma de los dos números se puede expresar como $2(k + l)$, que también es múltiplo de $2$ y por lo tanto un número par.

¿Qué pasa si hay tres o más números pares?

begin{alineado}2k_1 + 2k_2 + 2k_3 + …+ 2k_{n- 1} + 2k_n &= 2(k_1 + k_2+k_3+ …+ k_{n -1}+k_n)end{alineado}

Esto confirma que la suma de tres o más números pares también es un número par. Por lo tanto, es seguro concluir que incluso los números enteros se cierran mediante la suma.

Ejemplo 2

¿Los enteros impares son cerrados por suma?

Solución

los enteros impares son números enteros que terminan en $1$, $3$, $5$, $7$, Donde $9$ y se ha establecido que la suma de dos números impares siempre será par.

primer numero impar

segundo numero impar

Suma de números impares

begin{alineado}21end{alineado}

begin{alineado}45end{alineado}

begin{alineado}21 + 45 &= 66 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

begin{alineado}157end{alineado}

begin{alineado}123end{alineado}

begin{alineado}157+123&= 280 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

begin{alineado}571end{alineado}

begin{alineado}109end{alineado}

begin{alineado}579 + 109&= 680 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

Estos tres ejemplos son ejemplos excelentes que muestran que los enteros impares no se cierran mediante la suma. También para generalizar, recuerda que los números impares se pueden escribir $2,000 + $1, así que observe lo que sucede cuando se suman dos enteros impares.

begin{alineado}(2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) &= 2k_1 + 2k_2 + 2\&= 2(k_ 1+ k_2 + 1)\&Rightarrow textbf{Par}end{alineado }

Hay no hay necesidad de generalizar más — para refutar la propiedad de clausura de un conjunto dado de números, ¡todo lo que necesitamos son contraejemplos! Esto concluye que los enteros impares no se cierran mediante la suma.

Aplique un proceso similar cuando intente determinar si un grupo de números es cerrado por suma o no. Usa sus propiedades para generalizar la propiedad de cierre para todos los números y encontrar contraejemplos para refutar las afirmaciones. Cuando esté listo para probar su comprensión de la propiedad de cierre que se agrega, diríjase a la sección a continuación.

Preguntas prácticas

1. ¿Cuáles de los siguientes números están cerrados por suma?

A. Enteros impares
B. Números irracionales
C. Cuadrados perfectos
D. Números pares enteros

2. ¿Cuáles de los siguientes números no son cerrados por suma?

A. Números naturales
B. Fracciones
C. Números impares
D. Números pares

3. Verdadero o falso: La suma de dos números irracionales siempre serán números racionales.

4. Verdadero o falso: La suma de dos números divisibles por $5$ siempre será un número entero.

5. Verdadero o falso: los decimales positivos se cierran bajo la suma.

6. ¿Cuál de los siguientes números irracionales devolverá un número racional cuando se suma a $2sqrt{3}$?

A.$-4sqrt{3}$
B. $-2sqrt{3}$
C.$2sqrt{3}$
D.$4sqrt{3}$

7. ¿Los múltiplos de $4 se cierran con sumas?

R. Sí
B No

8. ¿Los números primos son cerrados por adición?

R. Sí
B No

9. Complete el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera:
La oración de suma $4 + 109 = $113 muestra que __________.

A. los números impares se cierran mediante la suma.
B. los números enteros no se cierran por suma.
C. los enteros se cierran por suma.
D. los números impares no se cierran mediante la suma.

10. Complete el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera:
La oración de suma $dfrac{1}{2} + dfrac{1}{2} = 1$ muestra que __________.

A. los números racionales se cierran por adición.
B. los números irracionales no se cierran por adición.
C. los números irracionales se cierran por adición.
D. los números racionales no se cierran por adición.

corregido

1.D
2.C
3. Falso
4. Cierto
5. Cierto
6.B
7. Sí
8. No
9.C
10. uno

marzo 2, 2022 por Blog Decimales Fracciones Impares Naturales Pares Preguntas

y = x Reflexión – Definición, Proceso y Ejemplos

y = x Reflexión – Definición, Proceso y Ejemplos

El $boldsymbol{ y = x}$ reflexión es simplemente “voltear” una forma o punto en una línea diagonal. Dado que la reflexión $y=x$ es un tipo especial de reflexión, también se puede clasificar como una transformación rígida. Saber reflexionar sobre la recta $y=x$ te será útil para graficar funciones y predecir la gráfica de funciones inversas.

los $boldsymbol{ y = x}$ el reflejo proyecta la preimagen sobre la línea diagonal que pasa por el origen y representa $boldsymbol{ y = x}$. Esto hace que las ubicaciones de las coordenadas x e y se activen en el sistema de coordenadas.

Este artículo se enfoca en un tipo particular de reflexión: en la línea $y = x$. Esta explora los fundamentos de la reflexión a partir de diferentes tipos de preimágenes. Al final de la discusión, pruebe diferentes ejemplos y practique preguntas para dominar mejor este tema.

¿Cómo reflejar y=x?

Para reflejar un punto o un objeto en la línea $y=x$, cambiar los valores de $x$ para $y$ y los valores de $y$ para $x$. Este proceso incluso se aplica a las funciones, es decir, para reflejar una función en $y = x$, invertir los valores de entrada y salida. Cuando se le dé la forma dibujada en el plano $xy$, cambie las coordenadas $x$ y $y$ para encontrar la imagen resultante.

La mejor forma de dominar el proceso de reflexión lineal, $y = x$, consiste en elaborar diferentes ejemplos y situaciones. Aplique lo que se discutió para reflejar $Delta ABC$ a la línea $y = x$.

El triangulo de arriba tiene los siguientes vértices: $A = (1, 1)$, $B = (1, -2)$ y $C = (4, -2)$. Para reflejar $Delta ABC$ en la línea $y = x$, invierta las coordenadas $x$ y $y$ de los tres vértices.

begin{aligned}A rightarrow A^{prime} & : ,,,,,({color{Teal}1}, {color{DarkOrange} 1}) rightarrow ({ color{naranja oscuro}1}, {color{verde azulado} 1})fantasma{x}\B rightarrow B^{prime} &: ({color{verde azulado}1}, {color{naranja oscuro} -2}) rightarrow ({color{naranja oscuro}-2}, {color{verde azulado} 1})\C rightarrow C^{prime} &: ({color{verde azulado}4}, { color{naranja oscuro} -2}) rightarrow ({color{naranja oscuro}-2}, {color{verde azulado} 4})end{alineado}

Luego dibuja estos tres puntos conectarlos para formar la imagen de $Delta A^{prime}B^{prime}C^{prime}$. Construye la línea de reflexión como guía y comprueba si la reflexión se ha realizado correctamente.

La imagen resultante es como la de arriba. Para vuelva a verificar si el reflejo se aplicó correctamenteconfirme si las distancias perpendiculares correspondientes entre los puntos de la preimagen y la imagen son iguales.

Esto confirma que el resultado de reflexión $Delta ABC$ en la línea de reflexión $y = x$ es un triangulo $Delta A^{prime}B^{prime}C^{prime}$ con los siguientes vértices: $A^{prime} =(1, 1)$, $B^{prime} = (-2, 1)$, y $C^{prime} = (-2, 4)$.

Aplicar un proceso similar cuando se le pide que refleje funciones o formas en la línea de reflexión $y = x$.

y = x Reflexión: ¿qué es?

La reflexión $y = x$ es un tipo de reflexión en el plano cartesiano donde la preimagen se refleja con respecto a la línea de reflexión con una ecuación de $y = x$. Imagina una línea diagonal que pasa por el origen, $y = x$, el reflejo ocurre cuando un punto u objeto determinado se refleja en esta línea.

Antes de profundizar en el proceso de pensar $y = x$, recuerda cómo se representa esta ecuación en el $xy$-plano. Los puntos $(-1, 1)$, $(0, 0)$ y $(1, 1)$ pasan a través de las rectas de $y = x$, así que úsalos para graficar la recta de reflexión.

A lo largo de esta discusión, la atención se centrará en puntos reflectantes y polígonos de diferentes formas en la línea $y = x$. Mire los gráficos de arriba: el círculo se refleja en la línea de reflexión $y = x$.

Ahora, mire más de cerca los puntos para ver cómo el reflejo en $y = x$ les afecta:

begin{aligned}A =(0, -2) &rightarrow A^{prime} = (-2, 0)\B=(2, 0) &rightarrow B^{prime} = (0 , 2)end{alineado}

Las coordenadas de la preimagen y la imagen han cambiado de lugar. Esto es realmente lo que hace que el reflejo $y = x$ sea especial. Cuando se proyecta sobre la línea de reflexión, los $boldsymbol{x}$ y $boldsymbol{y}$ las coordenadas de los puntos cambian de lugar.

begin{alineado}color{Teal} textbf{Reflejar} &color{Teal}textbf{ión de } boldsymbol{y = x}\(x, y) &rightarrow (y, x) fin {alineado}

Esta vez, mover el foco de los puntos a la imagen resultante del círculo después de reflejarse en $y = x$.

  • La preimagen es un círculo de radio $2$, centrado en $(2, -2)$ y una ecuación de $(x – 2)^2 + (y +2)^2 = 4$.
  • La imagen es un círculo de radio $2$, centrado en $(-2, 2)$ y una ecuación de $(y – 2)^2 + (x +2)^2 = 4$.

Recuerda que la forma de la función inversa es el resultado del reflejo de la función en la recta $y = x$. Aplique el mismo proceso para encontrar la función de la imagen transformada: cambiar los lugares de las variables para encontrar la función de la imagen.

La función $y = (x -6)^2 -4$ tiene una parábola como curva. Cuando se refleja en la línea $y=x$, las coordenadas $x$ e $y$ de todos los puntos a lo largo de la curva cambiarán de lugar. Esto también significa que las variables de entrada y salida de la función tendrán que cambiar de lugar.

begin{alineado}y &= (x – 6)^2 – 4\ &flecha abajo \ x &= (y- 6)^2 -4end{alineado}

Ahora observe la transformación de $Delta ABC$ en la línea $y =x$ y tratar de encontrar interesante propiedades de transformación.

Aquí hay otros propiedades importantes para recordar al reflejar objetos en la línea de reflexión $y = x$.

  1. La distancia perpendicular entre el punto de la preimagen y el punto de la imagen correspondiente es igual.
  2. La imagen reflejada conserva la forma y el tamaño de la preimagen, por lo que la reflexión $y = x$ es una transformación rígida.

La siguiente sección ofrece más ejemplos para asegurar que al final de esta discusión, ¡pensar en la línea $y = x$ será fácil y simple!

Ejemplo 1

Grafica los tres puntos $(-1, 4)$, $(2, 3)$ y $(-4, -2)$ en el plano $xy$. Determine los puntos resultantes cuando cada uno de estos puntos se refleja en la línea de reflexión $y =x$. Grafique también estos puntos resultantes y use el gráfico para verificar las tres imágenes.

Solución

Traza cada uno de los tres puntos dados en el plano cartesiano. El gráfico a continuación muestra la posición de los tres puntos en un plano de coordenadas.

Para encontrar la imagen resultante para cada uno de los puntos después de reflejar cada uno de ellos en $y =x$, cambiar el $x$ y $y$ valores de coordenadas para cada uno de los puntos.

begin{aligned}A rightarrow A^{prime} &:,,,,({color{Teal}-1}, {color{DarkOrange} 4}) rightarrow ({color {Naranja oscuro}4}, {color{Verde azulado} -1})fantasma{x}\B rightarrow B^{prime} &: ,,,,,,,, ({color{Teal}2}, {color{OrangeOrange} 3}) rightarrow ({color{OrangeOrange}3}, {color{Teal} 2})\C rightarrow C^{prime } &: ({color{Verde azulado}-1}, {color{Anaranjado oscuro} -2}) rightarrow ({color{Anaranjado oscuro}-2}, {color{Verde azulado} -1})end{ alineado}

Trace estos nuevos conjuntos de puntos en el mismo plano $xy$. Representar gráficamente la línea de reflexión. $y =x$ también para ayudar a responder la pregunta de seguimiento.

Para comprobar si las imágenes proyectadas están en la posición correcta, determinar las distancias perpendiculares entre las imágenes y las preimágenes correspondientes: $A rightarrow A^{prime}$, $B rightarrow B^{prime}$ y $C rightarrow C^{prime}$.

Ejemplo 2

El cuadrado $ABCD$ tiene los siguientes vértices: $A=(-3, 3)$, $B=(-3, 1)$, $C=(-1, 1)$ y $D=(-1 , 3)$. Cuando el cuadrado se refleja en la línea de reflexión $y = x$, ¿cuáles son los vértices del nuevo cuadrado?

Grafique la imagen previa y la imagen resultante en el mismo plano cartesiano.

Solución

Cuando se refleja en la línea de reflexión $y = x$, encontrar los vértices de la imagen invirtiendo las ubicaciones de los $x$ y $y$ coordenadas de los vértices de la preimagen.

begin{aligned}A rightarrow A^{prime} & :({color{Teal}-3}, {color{DarkOrange} 3}) rightarrow ({color{DarkOrange}3}, { color{Teal} -3})phantom{x}\B rightarrow B^{prime} & :({color{Teal}-3}, {color{DarkOrange} 1}) rightarrow ({ color{naranja oscuro}1}, {color{verde azulado} -3})\C rightarrow C^{prime} &: ({color{verde azulado}-1}, {color{naranja oscuro} 1} ) rightarrow ({color{Anaranjado oscuro} 1}, {color{Verde azulado} -1})\D rightarrow D^{prime} & : ({color{Verde azulado}-1},{color {Naranja oscuro} 3}) rightarrow ({color{Naranja oscuro}3}, {color{Verde azulado} -1})end{alineado}

Eso significa que la imagen del cuadrado tiene los siguientes vértices: $A=(3, -3)$, $B=(1, -3)$, $C=(1, -1)$ y $D=(3, -1)$.

Usa coordenadas para graficar cada cuadrado — la imagen se verá como la imagen previa pero volteada en diagonal (o $y = x$).

Preguntas prácticas

1. Supongamos que el punto $(-4, -5)$ se refleja en la línea de reflexión $y =x$, ¿cuál es la nueva coordenada de la imagen resultante?

R$(4,5)$
B.$(-4,-5)$
C$(5,4)$
D$(-5,-4)$

2. El cuadrado $ABCD$ tiene los siguientes vértices: $A=(2, 0)$, $B=(2,-2)$, $C=(4, -2)$ y $D=(4 , 0)$. Cuando el cuadrado se refleja en la línea de reflexión $y =x$, ¿cuáles son los vértices del nuevo cuadrado?

A. $A=(0, -2)$, $B=(-2,-2)$, $C=(-2,-4)$ y $D=(0,-4)$
B. $A=(0, 2)$, $B=(-2, 2)$, $C=(-2, 4)$ y $D=(0, 4)$
C. $A=(0,-2)$, $B=(2,-2)$, $C=(2,-4)$ y $D=(0,-4)$
D. $A=(0.2)$, $B=(-2.2)$, $C=(-2, 4)$ y $D=(0.4)$

corregido

1.D
2.B

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.

marzo 2, 2022 por Blog Preguntas

Forma de distribución – Definición, características y ejemplos

Forma de distribución – Definición, características y ejemplos

los forma de distribución nos ayuda a entender la propagación y el comportamiento de una distribución dada. Con representaciones visuales como las formas de la distribución, podemos representar fácilmente componentes de datos importantes y ayudar a otros a comprender cómo se comportan nuestros datos visualmente.

La forma de la distribución proporciona información útil sobre la distribución. Esto incluye picos, simetría, uniformidad de distribución, así como su tendencia a inclinarse hacia la esquina izquierda o derecha.

Gracias a la forma de la distribución, la identificación de las estadísticas descriptivas de la distribución será mucho más fácil. Esto también significa que la forma de la distribución será útil al notificar y observar las distribuciones.

En este artículo, le mostraremos las características fundamentales de la curva de una distribución y cómo usar estos factores para describir la forma de una distribución determinada.

¿Cuál es la forma de la distribución?

La forma de la distribución es una característica útil que facilita refleja la frecuencia de valores en intervalos dados. Cuando se da una distribución y su forma, aquí hay algunos otros detalles útiles que podemos aprender sobre un conjunto de datos a partir de la forma de su distribución:

  • Representa la distribución de datos en el rango.
  • Ayuda a identificar en qué rango cae la media del conjunto de datos
  • Resalta el rango de un conjunto de datos dado

Como hemos aprendido en el pasado, podemos visualizar distribuciones como la distribución de frecuencia o probabilidad utilizando histogramas. La forma formada por el histograma representa la forma de la distribución.

example of a shape of the distribution

Aquí hay un ejemplo de una distribución y su forma. Al inspeccionar su forma, tendremos una idea de los picos en el conjunto de datos. La forma de la distribución también nos permite identificar si la distribución es asimétrica o simétrica, unimodal o bimodal, etc.

La forma de la distribución será depender de muchos factoresasí que analicemos estos factores y comprendamos lo que representan.

Factores que afectan la forma de una distribución

Diferentes factores afectan la forma de una distribución, como se discutió en la sección anterior. Estos factores también nos ayudan identificar métricas de distribución clave.

Estos son los factores que afectan la forma de una distribución:

1. El número de picos presentes en la distribución. afecta su forma.

  • Los picos en forma de distribución a menudo son representar su(s) modo(s).
  • Esto significa que cuando hay un solo pico, la distribución es unimodal.
  • De manera similar, cuando la distribución tiene dos picos, la llamamos bimodal.
  • Cuando la forma muestra tres o más picos, la distribución es multimodal.

2. En cuanto a la curva de una función, las distribuciones y sus formas puede o no exhibir simetría.

  • Cuando la forma del yeso está doblada y los pliegues izquierdo y derecho son imágenes especulares entre sí, el yeso es simétrico.
  • Cuando la forma de la distribución se voltea en pliegues que no son imágenes especulares, la distribución es asimétrico.

3. Cuando la forma de la distribución es sesgada, también podemos ver si la distribución es asimétrica positiva o negativamente.

  • Cuando la forma de la distribución se inclina hacia la esquina derecha, la distribución es positivamente sesgado.
  • Mientras tanto, cuando la forma del yeso se inclina hacia la esquina izquierda, el yeso es negativamente asimétrico.

symmetry of a shape of a distribution

Estas son las propiedades que necesitamos para describir la forma de una distribución dada. Al ser conscientes de estos factores, también sabemos de inmediato la importancia componentes de distribución y comportamiento. En la siguiente sección, exploraremos diferentes distribuciones y formas para ayudarlo a dominar el proceso de describir la forma de una distribución.

¿Cómo describir la forma de una distribución?

Describe la forma de la distribución usando los diferentes factores que afectan su forma: su picos, simetría, asimetría y, a veces, uniformidad.

Cuando se le da un tablero de distribución, Use los pasos a continuación como guía:

  • Visualice la distribución mediante histogramas o distribución.
  • Aplicar las técnicas adecuadas para construir la distribución requerida.
  • Observe la forma de la curva: esto representa la forma de la distribución.
  • Utilice las características de las que hablamos para describir en detalle la forma de una distribución.

Después de determinar si la forma o la curva tiene uno o más picos, investigue la simetría de la curva o la falta de ella. Cuando la distribución, como la distribución normal, es simétrico, su media, moda y mediana tendrán los mismos valores.

interpreting the skewness of a distribution s shape

Ahora, ¿Cómo interpretar curvas asimétricas positiva o negativamente?

Cuando la curva tiene sesgo negativo, se espera que la moda tiene el mayor valor seguido de la mediana entonces el promedio. De manera similar, cuando la forma de la distribución tiene un sesgo positivo, la media tiene el valor más alto, seguida de la mediana y luego de la moda.

aquí está una tabla de resumen esta interpretación:

simetría/ asimetría

Interpretación

Negativamente asimétrico

Media < Mediana < Moda

Simétrico

Media = Mediana = Moda

Positivamente sesgado

Media > Mediana > Moda

Supongamos que tenemos datos de puntaje de prueba de un cuestionario en línea de un aula virtual de matemáticas. los histograma de distribución de frecuencias es como se muestra a continuación.

understanding a bell shaped distribution

Mirando solo el gráfico, podemos ver que el histograma es simétrico. Esto significa que cuando doblamos esta matriz, su mitad izquierda será la imagen especular de su derecha. Como esperaríamos de una distribución simétrica, el gráfico tiene solo un pico y, por lo tanto, solo una moda.

El pico se encuentra en $44. Como la distribución es simétrica, también tenemos esperar que la media y la mediana ocurran en la parte superior. Esto significa que el puntaje promedio de los estudiantes en el aula virtual de matemáticas es de $44.

Cuando la línea de simetría está en el pico de la distribución, también podemos llamar a la curva curva de campana. Cuando es al revés, donde el eje de simetría está en su mínimo, la distribución se llama curva U.

understanding a u shaped distribution

Supongamos que tenemos los resultados de la prueba representados por la distribución que se muestra arriba. De la inspección podemos ver que la distribución también es simétrico. Sin embargo, el eje de simetría está en el puntaje de la prueba, $44, con el pico más bajo.

Al observar sus picos, podemos ver que la moda ocurre dos veces: cuando el puntaje de la prueba es de $38 y cuando el puntaje de la prueba es de $50. Esto significa que la distribución es bimodal.

understanding the positively skewed distribution

Ahora veamos la tercera distribución: un histograma muy inclinado hacia la derecha. Como esperábamos, el pico de la distribución (o su moda) estará en el extremo inferior del rango. Cuando la distribución es positivamente sesgadotambién esperamos que la moda tiene el menor valor entre las tres medidas centrales.

understanding the negatively skewed distribution

Por último, si bien no menos importante, ¿Qué sucede si nos dan una distribución como la que se muestra arriba?

Podemos ver que la distribución está sesgada hacia la izquierda donde el pico está en el extremo superior. Como aprendimos el distribución sesgada negativa, la moda tendrá el valor más alto.

estos son solo cuatro ejemplos de diferentes distribuciones con diferentes formas. No se preocupe, hemos preparado más preguntas de práctica para que las trabaje. Cuando estés listo, ¡dirígete a la sección a continuación!

Ejemplo 1

Harry dirige una tienda de comestibles con su pareja. El lunes, hizo una encuesta rápida para comprender las preferencias de tamaño de café de sus clientes. La tienda de conveniencia actualmente ofrece cuatro tamaños: Pequeño ($1.00), Mediano ($1.20), Grande ($1.40) y XL ($1.60). Después de un día entero de preguntar a sus clientes quién había pedido café, Harry contó la mesa de abajo.

tamaño de café

Número de clientes

Pequeño ($$1.00$)

24

Medio ($$1.20$)

12

Grande ($$1.40$)

12

XL ($$1.60$)

24

¿Cuál es la forma de la distribución que representa el gráfico anterior?

Solución

Al dibujar la distribución de datos, veremos que el histograma es simétrico y su valor más bajo se encuentra en la línea de simetría.

observing a u shaped distribution

Esto significa que estamos ante un curva U. Además de que la distribución es simétrica, hay la misma cantidad de clientes que piden café en tazas pequeñas y muy grandes. De esto podemos ver que la distribución también es bimodal.

Preguntas prácticas

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor la forma de la distribución que se ilustra a continuación?

describing the shape of a distribution using histograms

A. La distribución es unimodal y es simétrica.
B. La distribución es bimodal y simétrica.
C. La distribución es unimodal y está sesgada a la derecha.
D. La distribución es bimodal y está sesgada a la izquierda.

2. Verdadero o Falso: Usando la misma distribución, podemos concluir que la media y la moda tendrán valores idénticos.

3. Observando solamente, ¿cuál de las siguientes afirmaciones muestra la afirmación correcta con respecto a la media, la moda y la mediana de la distribución?

interpreting the distibrutions central measures

A. La media, la moda y la mediana de la distribución son todas iguales.
B. La moda tiene el valor más pequeño mientras que su media tiene el valor más grande.
C. La moda tiene el valor más pequeño mientras que su mediana tiene el valor más grande.
D. La media tiene el valor más pequeño mientras que su moda tiene el valor más grande.

4. Usando el mismo gráfico del problema anterior, ¿cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor la forma de la distribución?
A. La distribución es unimodal y es simétrica.
B. La distribución es bimodal y simétrica.
C. La distribución tiene sesgo positivo.
D. La distribución tiene un sesgo negativo.

5. Jennifer preguntó a sus alumnos la cantidad total de horas que dedican a estudiar cada día después de tomar sus clases en línea. El desglose a continuación es el resultado de su investigación.

studying the features of a distributions shape

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor la distribución que se muestra a continuación?
A. La distribución es simétrica y tiene una curva en forma de campana.
B. La distribución tiene un sesgo negativo.
C. La distribución tiene sesgo positivo.
D. La distribución es simétrica y tiene una curva en forma de U.

6. Verdadero o falso: De la misma distribución, podemos concluir que el promedio de horas dedicadas al estudio es de $3.

corregido

1 uno
2. Verdadero
3.D
4.D
5.B
6. Falso

marzo 1, 2022 por Blog Preguntas

Matemáticas de Series Divergentes – Definición, Prueba de Divergencia y Ejemplos

Matemáticas de Series Divergentes – Definición, Prueba de Divergencia y Ejemplos

Una serie divergente es un grupo importante de series que estudiamos en nuestros cursos de precálculo e incluso de cálculo. En algoritmos y cálculos donde necesitamos la precisión es fundamental; saber si una serie dada es divergente o no puede ayudarnos a obtener el mejor resultado.

La serie divergente es un tipo de serie que contiene términos que no se aproximan a cero. Esto significa que la suma de esta serie tiende a infinito.

La creatividad necesaria para manipular series divergentes (y convergentes) ha inspirado a los matemáticos contemporáneos. También nos ayudará a aprender más sobre series divergentes para apreciar nuestro conocimiento de manipulación algebraica y evaluación de límites.

En este artículo, vamos a descubrir los componentes especiales de las series divergentes, lo que hace que una serie sea divergente y predecir la suma de una serie divergente dada. Con estos temas básicos, asegúrese de repasar sus conocimientos sobre:

Avancemos y comencemos a visualizar el comportamiento de una serie divergente y comprendamos qué hace que esta serie sea única.

¿Qué es una serie divergente?

La idea más básica de una serie divergente es que los valores del término aumentan a medida que avanzamos en el orden de los términos.

visualizing a divergent series

Así es como aparecerían los primeros cinco términos de la serie divergente, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{2} (2^{n-1})$, cuando graficamos $ a_n $ comparado con $n$. Esto muestra que a medida que avanzamos en la serie, el valor de los términos no se aproxima a un valor fijo. En cambio, los valores se expanden y se acercan al infinito.

Esta es una excelente visualización de cómo los términos de una serie divergente dada acercarse al infinito. Otro posible resultado de la suma de una serie divergente es una suma que sube y baja.

visualizing an alternating series that is divergent

Aquí hay un ejemplo de una serie divergente donde los valores de sus sumas parciales suben y bajan. Muchos ejemplos de series alternas también son divergentes, por lo que es fundamental saber cómo se comportan.

Ahora que entendemos el concepto de divergencia, ¿por qué no definimos qué hace que una serie divergente sea única a través de las fronteras?

Definición de serie divergente

Una serie divergente es una serie que contiene términos cuya suma parcial, $S_n$, no tiende a cierto límite.

Volvamos a nuestro ejemplo, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{2} (2^{n-1})$, y veamos cómo se comporta $a_n$ a medida que se acerca al infinito .

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{2} (2^{n-1}) &= dfrac{1}{2} + 1 + 2+ 4 + 8 + …end{alineado}

Número de términos

sumas parciales

$1$

$1$

$2$

$1 + 2 = $3

$3$

$1 + 2 + 4 = $7

$4$

$1 + 2 + 4 + 8 = $15

$5$

$1 + 2 + 4 + 8 + 16 = $31

De esto podemos ver que a medida que agregamos más términos, la suma parcial explota y no se acercará a ningún valor. Este comportamiento es lo que hace que una serie divergente sea única y es la base de su definición.

¿Cómo saber si una serie es divergente?

Ahora que entendemos qué hace que una serie sea divergente, centrémonos en cómo podemos identificar series divergentes en función de sus términos y formas de suma.

Digamos que nos dan una serie en forma de suma, $sum_{n=1}^{infty} a_n$, podemos determinar si es divergente o no usando el prueba del enésimo término.

Podemos saber si la serie es divergente tomando el límite de $a_n$ cuando $n$ tiende a infinito. cuando el resultado es no es igual a cero Donde no existe, el la serie diverge.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} a_n\lim_{n rightarrow infty} a_n &neq 0\lim_{n rightarrow infty} a_n &= text {DNE} \Flecha derecha boldsymbol{text{Divergente}}end{alineado}

¿Y si nos dieran los términos de la serie? Asegúrese de expresar la serie en términos de $n$, luego realice la prueba del n-ésimo término.

Por ejemplo, si queremos probar la divergencia de $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …$, primero tendríamos que expresar esto como una suma observando primero cómo progresa cada término.

begin{alineado}2 &= 2(1)\4&= 2(2)\ 6 &= 2(3) \8 &= 2(4)\.\.\.\a_n &= 2nend{alineado}

Esto significa que la serie es equivalente a $sum_{n=1}^{infty} 2n$. Ahora podemos aplicar la prueba del enésimo término tomando el límite de $a_n$.

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} a_n &= lim_{n rightarrow infty} 2n\&= infty\&neq 0 end{alineado}

Esto demuestra que la serie es ciertamente divergente. Además, podemos determinar intuitivamente cómo se comportan las sumas parciales y podemos ver que, para nuestro ejemplo, las sumas parciales seguirán aumentando a medida que se consideren más términos.

Ahora que conocemos los componentes y condiciones importantes de la serie divergente, familiaricémonos con el proceso respondiendo los problemas que se presentan a continuación.

Ejemplo 1

Digamos que tenemos la serie, $S_n = 3 + 6 + 9 + 12 + …$, encuentre los siguientes dos términos de esta serie. Asegúrese de responder las preguntas de seguimiento que se presentan a continuación.

una. Completa la tabla de abajo.

Número de términos

sumas parciales

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

B. ¿Qué puedes decir sobre la serie en base a sus sumas parciales?
contra Expresar la serie como sumatoria.

D. Usa la expresión de 1c para confirmar si la serie es divergente o no.

Solución

Podemos ver esto para encontrar el siguiente término, y necesitaremos agregar $3 al término anterior. Esto significa que los siguientes dos términos son $12 + 3 = $15 y $15 + 3 = $18.

Usando estos términos, veamos cómo se comportan sus sumas parciales.

Número de términos

sumas parciales

$1$

$3$

$2$

$3 + 6 = $9

$3$

$3 + 6 + 9= $18

$4$

$3 + 6 + 9 + 12= $30

$5$

$3 + 6 + 9 + 12 + 15 = $45

$6$

$3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = $63

De esto podemos ver que a medida que agregamos más términos, las sumas parciales seguirán aumentando. Esto nos dice que la serie puede ser divergente.

En términos de $n$, podemos ver que para encontrar el término $n$th; multiplicamos $n$ por $3$.

begin{alineado}3&= 3(1)\6&= 3(2)\9 &= 3(3)\ 12&=3(4)\.\.\.\ a_n &= 3nend{alineado}

Por lo tanto, en forma de suma, la serie es igual a $sum_{n=1}^{infty} 3n$.

Observa lo que sucede si tomamos el límite de $a_n$ cuando $n$ tiende a infinito.

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} a_n &= lim_{n rightarrow infty} 3n \&= infty \&neq 0end{alineado}

Dado que $lim_{n rightarrow infty} a_n neq 0$, podemos confirmar que la serie es efectivamente divergente.

Ejemplo 2

Reescribe la siguiente serie en notación sumativa, luego determina si la serie dada es divergente.

una. $-3+ 6 -9 + 12- …$

B. $dfrac{1}{3} + dfrac{1}{6} + dfrac{1}{9} + …$

contra $dfrac{2}{6} + dfrac{3}{7}+ dfrac{4}{8} + dfrac{5}{9}…$

D. $dfrac{1}{2} + dfrac{4}{5} + dfrac{9}{10} + …$

Solución

Veamos los primeros términos de la primera serie en la que estamos trabajando. Una vez que vemos un patrón, podemos encontrar una expresión para el término $n$ésimo.

begin{alineado}-3 &= (-1)^1(3cdot 1)\6 &= (-1)^2(3cdot 2)\-9 &= (-1)^3 (3cdot 3)\12 &= (-1)^4(3cdot 4)\.\.\.\a_n &= (-1)^n(3n)end{alineado }

Esto significa que $-3+ 6 -9 + 12- … = sum_{n=1}^{infty} (-1)^n(3n)$ .

Ahora que tenemos la expresión para $a_n$, podemos probar la divergencia de la serie tomando el límite de $a_n$ cuando $n$ tiende a infinito.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty} a_n &= lim_{nrightarrow infty} (-1)^{n} 3n \ &= text{DNE}\ &neq 0 end{alineado}

Como el límite no existe para esta serie (lo cual tiene sentido ya que los valores subirían y bajarían para series alternas), la serie es divergente.

Aplicaremos un enfoque similar para la próxima serie: observe los primeros términos para encontrar $a_n$.

begin{alineado}dfrac{1}{3} &= dfrac{1}{3 cdot 1}\dfrac{1}{6} &= dfrac{1}{3cdot 2} \dfrac{1}{9} &= dfrac{1}{3cdot 3} \.\.\.\a_n &= dfrac{1}{3n}end{alineado}

De esto podemos ver que la serie es equivalente a $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{3n}$ y por lo tanto $a_n = dfrac{1}{3n }$. Avancemos y encontremos el límite de $a_n$ cuando $n$ se acerca al infinito para ver si la serie es divergente.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty} a_n &= lim_{nrightarrow infty} dfrac{1}{3n} \&= 0end{alineado}

Dado que el valor de $lim_{nrightarrow infty} a_n = 0$ , la serie no es divergente. Podemos usar otras pruebas para ver si la serie es convergente, pero eso está más allá del alcance de este artículo. Si está interesado, consulte el artículo que escribimos sobre el Varias pruebas de convergencia.

Pasando a la tercera serie, observaremos de nuevo los primeros cuatro términos. Esto puede ser un poco complicado porque el numerador y el denominador cambian para cada término.

begin{alineado}dfrac{2}{6} &= dfrac{1+1}{1+5}\dfrac{3}{7} &= dfrac{2+1}{2+5 }\dfrac{4}{8} &= dfrac{3+1}{3+5}\dfrac{5}{9} &= dfrac{4+1}{4+5} .\.\.\a_n &= dfrac{n + 1}{n + 5}end{alineado}

Esto significa que la forma de suma de la serie es equivalente a $sum_{n=1}^{infty} dfrac{n + 1}{n + 5}$. Podemos usar $a_n = dfrac{n + 1}{n + 5}$ para determinar si la serie es divergente o no.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty} a_n &=lim_{nrightarrow infty} dfrac{n +1}{n +5} \&=lim_{nrightarrow infty }dfrac{n+1}{n+5} cdot dfrac{dfrac{1}{n}}{dfrac{1}{n}}\&=lim_{nrightarrow infty} dfrac{1 + dfrac{1}{n}}{1 + dfrac{5}{n}}\&= dfrac{1+0}{1+0}\&= 1\& neq 0 end{alineado}

Como $lim_{nrightarrow infty} a_n neq 0$, podemos ver la confirmación de que la serie es divergente.

¿Quieres trabajar en un conjunto más difícil? Probemos el cuarto y encontremos la expresión para $a_n$.

begin{alineado}dfrac{1}{2} &= dfrac{1^2}{1^2+1}\dfrac{4}{5} &= dfrac{2^2}{2 ^2 +1}\dfrac{9}{10} &= dfrac{3^2}{3^2 +1}\.\.\.\a_n &= dfrac{n^ 2}{n^2 + 1}end{alineado}

Esto significa que en notación sumativa, la cuarta serie es igual a $sum_{n=1}^{infty} dfrac{n^2}{n^2 + 1}$. Ahora que tenemos la expresión para $a_n$, podemos evaluar $lim_{nrightarrow infty} a_n$ para verificar si la serie es divergente o no.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty} a_n &=lim_{nrightarrow infty} dfrac{n^2}{n^2 + 1} \&=lim_{nrightarrow infty}dfrac{n^2}{n^2 + 1} cdot dfrac{dfrac{1}{n^2}}{dfrac{1}{n^2}}\&= lim_{nrightarrow infty} dfrac{1}{1 + dfrac{1}{n^2}}\&= dfrac{1}{1 + 0}\&= 1\& neq 0 end{alineado}

Dado que el límite de $a_n$ cuando $n$ tiende a infinito, la serie es divergente.

Ejemplo 3

Demuestre que la serie, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{14 + 9n + n^2}{1 + 2n + n^2}$, es divergente.

Solución

Ya se nos da la forma de suma de la serie, por lo que podemos aplicar la prueba del término n-ésimo para confirmar la divergencia de la serie. Como recordatorio, cuando tenemos $sum_{n=1}^{infty} a_n$, podemos comprobar la divergencia de la serie encontrando $lim_{nrightarrow infty} a_n$.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty} a_n &=lim_{nrightarrow infty} dfrac{14 + 9n + n^2}{1 + 2n + n^2}\&= lim_{nrightarrow infty}dfrac{14 + 9n + n^2}{1 + 2n + n^2} cdot dfrac{dfrac{1}{n^2}}{dfrac{1 {n^2}}\&=lim_{nrightarrow infty} dfrac{dfrac{14}{n^2} + dfrac{9}{n} + 1}{dfrac{1 {n^2} + dfrac{2}{n} + 1}\&= dfrac{0 + 0+ 1}{0 + 0 + 1}\&= 1\&neq 0 fin {alineado}

Cuando el límite de $a_n$ no existe o no es igual a $0$, la serie será divergente. A partir de nuestro resultado, podemos ver que $lim_{nrightarrow infty} neq 0$, por lo que la serie es divergente.

enero 26, 2022 por Blog Preguntas

Serie Armónica – Propiedades, Fórmula y Divergencia

Serie Armónica – Propiedades, Fórmula y Divergencia

La serie armónica es una de las primeras tres series que aprenderás en tu clase de álgebra. Esta serie en particular es importante en teoría musical, y en la siguiente sección entenderás por qué. Por ahora, aquí hay un resumen rápido de lo que hace que la serie Harmonic sea única.

Una serie armónica es una serie que contiene la suma de los términos que son los inversos de los términos de una serie aritmética.

Este artículo explorará esta serie única y comprenderá cómo se comporta como una serie infinita. También entenderemos si la serie diverge o converge utilizando las diversas pruebas que hemos aprendido en el pasado.

  • Comprender cómo se puede usar la secuencia aritmética (y la serie) para definir series armónicas.
  • Asegúrate de saber la diferencia entre convergente y divergente.
  • Revisa las diferentes pruebas que podemos aplicar para confirmar la convergencia y la divergencia.

¿Alguna vez hemos despertado tu curiosidad sobre la serie armónica? ¿Por qué no empezar refrescando lo que constituye una secuencia armónica?

¿Qué es una serie armónica?

Antes de sumergirse directamente en la definición de una serie armónica, consulte esta visualización rápida sobre la progresión de los términos en una serie armónica.

visualizing harmonic series

La secuencia armónica y la serie van de la mano. De hecho, el la serie armónica es la suma total de una secuencia armónica infinitaentonces, si queremos saber más sobre las series armónicas, debemos revisar lo que sabemos sobre las secuencias armónicas.

Para comprender mejor esto, aquí hay dos conceptos importantes para recordar del cuadro que se muestra arriba.

  • Los términos, $left{dfrac{1}{2}, dfrac{1}{3}, dfrac{1}{4}, dfrac{1}{5}, dfrac{1}{ 6}, dfrac{1}{7}, …right}$, son parte de una secuencia armónica.
  • La suma de los términos, $ dfrac{1}{2} +dfrac{1}{3}+ dfrac{1}{4}+ dfrac{1}{5}+ dfrac{1}{6 } , dfrac{1}{7}+ …$, es un ejemplo de una serie armónica.

Continuemos y definamos formalmente la secuencia armónica y la serie.

Definición de serie armónica

Las secuencias armónicas son sucesiones que contienen términos que son los inversos de los términos de una sucesión aritmética.

Digamos que tenemos una secuencia aritmética con un término inicial de $a$ y una diferencia común de $d$; tenemos los siguientes términos que forman la serie aritmética como se muestra a continuación.

begin{alineado}{a , (a + d) , (a + 2d) , … , [a + (n – 1)d]}end{alineado}

Esto significa que los términos de la secuencia armónica serán como se muestra a continuación.

begin{alineado}left{dfrac{1}{a} , dfrac{1}{(a + d)} , dfrac{1}{(a + 2d)}, … , dfrac{1 }{[a + (n – 1)d]}right}end{alineado}

Esto muestra que el denominador de los términos de una secuencia armónica compartirá una diferencia común entre dos términos consecutivos.

Ahora bien, cuando hablamos de serie armónica, nos referimos a la suma de los términos de una secuencia armónica.

Usemos esta definición y las expresiones dadas arriba para encontrar las expresiones algebraicas y la fórmula de una serie armónica.

fórmula de la serie armónica

Dado que la suma para la aritmética se puede expresar como $S_n = a + (a + d) +(a + 2d) + … + [a + (n – 1)d]PS Esto significa que la suma de la serie armónica es como se muestra a continuación.

begin{alineado}S_n &= dfrac{1}{a} + dfrac{1}{(a + d)} + dfrac{1}{(a + 2d)}+ …+ dfrac{1} {[a + (n – 1)d]}end{alineado}

Esto significa que el término n de una serie armónica es igual a $dfrac{1}{a + (n – 1)d}$.

Se puede demostrar que la suma de la serie armónica se puede aproximar en términos de $a$, $d$ y $n$ como se muestra a continuación.

begin{alineado}S_n &approx dfrac{1}{d} ln left(dfrac{2a + (2n – 1)d}{2a – d}right)end{alineado}

Tenga en cuenta que esto solo es posible cuando $2a neq d$ y $d neq 0$.

¿Existe convergencia de series armónicas?

Una de las primeras pruebas que aprendimos es la prueba del n-ésimo término. Recuerda que cuando tenemos $ sumlimits_{n=1}^{infty} a_n$, si $lim_{n rightarrow infty} a_n neq 0$, la serie es divergente.

Veamos qué sucede cuando tenemos $sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$, podemos verificar la serie encontrando el límite de $dfrac{1}{ n }$ ya que $n$ tiende a infinito.

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} dfrac{1}{n} &= lim_{n rightarrow infty}dfrac{1}{infty} \&= 0end{ alineado}

¿Significa esto que la serie armónica es convergente? Recuerde que en la prueba del n-ésimo término, un resultado de $0$ no garantiza la convergencia.

También podemos establecer que esta serie no es absolutamente convergente utilizando la prueba de comparación como se analiza en la siguiente sección.

¿Cómo probar la divergencia de la serie armónica?

¿Qué pasaría si tuviéramos una serie armónica infinita? ¿Cómo se comporta la suma cuando añadimos más términos a la serie?

Digamos que tenemos $ sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$, podemos intentar escribir los primeros términos y ver cómo progresan sus sumas.

Después $boldsymbol{n}$ Número de términos

Suma parcial para $boldsymbol{n}$ condiciones

$dfrac{1}{1}$

$1$

$dfrac{1}{1} + dfrac{1}{2}$

$dfrac{3}{2} = $1,5

$dfrac{1}{1} + dfrac{1}{2}+ dfrac{1}{3}$

$dfrac{11}{6} alrededor de $1,83

$dfrac{1}{1} + dfrac{1}{2}+ dfrac{1}{3}+ dfrac{1}{4}$

$dfrac{25}{12} alrededor de $2,08

$dfrac{1}{1} + dfrac{1}{2}+ dfrac{1}{3}+ dfrac{1}{4}+ dfrac{1}{5}$

$dfrac{137}{60} alrededor de $2,28

De estas tablas de valores, podemos ver que las sumas parciales aumentan a medida que se agregan más términos. La intuición nos dice que, en cambio, la serie armónica podría ser divergente. Usamos diferentes pruebas para demostrarlo, pero ¿por qué no aplicamos la prueba de comparación para esta sección?

Recuerda que cuando tenemos $0 leq a_n leq b_n$ y si $sum_{n=1}^{infty}a_n$ es divergente, la serie, $sum_{n=1}^{infty}b_n $, también es divergente.

Digamos que tenemos $a_n = dfrac{1}{n}$ y $b_n = n$, está claro que $a_n$ siempre será menor o igual que $n$ cuando $n$ es positivo.

Dado que $sum_{n=1}^{infty}b_n$ es divergente (y ciertamente no convergente), podemos decir que la serie armónica, $sum_{n=1}^{infty}a_n$, es también divergente.

¿Por qué no aplicamos todo lo que hemos aprendido hasta ahora: encontrar los términos de una serie armónica, encontrar la suma de la serie y probar la divergencia de una serie armónica?

Ejemplo 1

Los términos primero y séptimo de una secuencia armónica son $dfrac{1}{6}$ y $dfrac{1}{12}$. Encuentra los cinco términos entre estos dos términos.

Solución

Podemos volver a la definición de la secuencia armónica: contiene los términos resultantes cuando tomamos el inverso de los términos de una secuencia aritmética.

Esto significa que la sucesión aritmética en la que nos basamos tendrá el primer término $6$ y el séptimo término $12$.

La diferencia común de esta sucesión será igual a $dfrac{12 – 6}{6} = 1$, por lo que los siguientes cinco términos se pueden determinar sumando $1$ al término anterior.

begin{alineado}a_1 &= 6\a_2&= 7\ a_3 &= 8\a_4 &= 9\a_5 &= 10\a_6 &= 11\a_7 &= 12end{alineado}

Ahora que tenemos todos los términos de la secuencia aritmética, tomamos los recíprocos de los términos para encontrar los cinco términos faltantes de nuestra secuencia armónica.

Por lo tanto, tenemos cinco términos de series armónicas: $left{dfrac{1}{7}, dfrac{1}{8}, dfrac{1}{9}, dfrac{1}{8} , dfrac{1}{9},dfrac{1}{10},dfrac{1}{11} right}$.

Ejemplo 2

Completa los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.

una. La serie armónica es una serie _____________.
B. El límite del enésimo término de una serie armónica que tiende al infinito es igual a ___________.

contra La suma parcial de los términos de una serie armónica se vuelve ___________ porque la serie incluye más términos.

Solución

Como probamos usando la prueba de comparación, la serie armónica tal que $sum_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$ es divergir. Podemos usar cualquier serie divergente y con un n-ésimo término mayor que $dfrac{1}{n}$ para probar la divergencia de esta serie.

El término n-ésimo de la serie armónica generalmente es equivalente a $dfrac{1}{a + (n – 1)d}$, donde $a$ y $d$ son constantes. Podemos evaluar $lim_{nrightarrowinfty} a a_n$ como se muestra a continuación.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{1}{a + (n – 1)d} &= lim_{n rightarrow infty} dfrac{1}{infty} &= 0end{alineado}

Esto muestra que el límite de los n-ésimos términos es igual a cero a medida que nos acercamos al infinito.

De la tabla de valores que tenemos en el apartado anterior, podemos ver que su suma parcial aumenta a medida que agregamos más términos a la serie.

También tiene sentido ya que cuantos más términos agregamos, más se acerca la serie al infinito.

Ejemplo 3

Como $left{dfrac{1}{8}, dfrac{1}{10}, dfrac{1}{12}, ….right}$ es una serie armónica, responde las siguientes preguntas:

una. ¿Cuáles son los siguientes tres términos de la serie?
B. Encuentra la suma de los primeros seis términos de esta serie armónica.
contra ¿Cuál es la expresión del término n de la serie?
D. ¿Esta serie es divergente o convergente? Justifique su respuesta.

Solución

Mirando los denominadores, $8 rightarrow 10 rightarrow 12$, podemos ver que la diferencia común, $d$, es igual a $2$. Esto significa que podemos encontrar los siguientes dos términos simplemente sumando los denominadores por $2$ cada vez.

begin{alineado}a_4 &= dfrac{1}{14}\a_5 &= dfrac{1}{16}\a_6 &= dfrac{1}{18} end{alineado}

una. Por lo tanto, los siguientes tres términos de la serie son $dfrac{1}{14}$, $dfrac{1}{16}$ y $dfrac{1}{18}$.

Sumando los seis términos, tenemos:

begin{alineado}S_6 &= dfrac{1}{8} + dfrac{1}{10} + dfrac{1}{12}+ dfrac{1}{14} + dfrac{1}{ 16} + dfrac{1}{18}\&= dfrac{2509}{5040}\&alrededor de 0,50end{alineado}

B. La suma de los seis términos es aproximadamente igual a $0.50.

Como tenemos $a = 8$ y $d = 2$, podemos expresar el enésimo término de esta serie usando la fórmula, $a_n = dfrac{1}{a + (n – 1)d}$.

begin{alineado}a_n &= dfrac{1}{8 + (n – 1)2}\&= dfrac{1}{8 + 2n – 2}\&= dfrac{1}{2n + 6} end{alineado}

contra El término n-ésimo de la serie armónica se puede expresar como $dfrac{1}{2n + 6}$.

Usemos la prueba de comparación para verificar si la serie es divergente o convergente.

Observe que cuando $n$ es positivo, $2n$ siempre será menor que $2n + 6$. Además, $n$ siempre será inferior a $2n$.

Cuando tomamos sus recíprocos, la desigualdad se invierte ya que cuanto menor es el denominador, mayor es la fracción.

begin{alineado}n < 2n < 2n + 6\ dfrac{1}{n} > dfrac{1}{2n} > dfrac{1}{2n + 6}end{alineado}

¿Porque es esto importante? Porque podemos usar $sum_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$ para mostrar que $sum_{n=1}^{infty}dfrac{1}{2n + 6}$ es divergente. Recuerda que cuando tenemos $0 leq a_n leq b_n$ y si $sum_{n=1}^{infty}a_n$ es divergente, la serie, $sum_{n=1}^{infty}b_n $, también es divergente.

  • Hemos demostrado en el pasado que la serie armónica, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n}$, es una serie divergente.
  • Como $dfrac{1}{n} > dfrac{1}{2n + 6}$, podemos decir que la serie $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{2n + 6}$, también es divergente.

D. Esto justifica nuestra respuesta: que la serie dada es divergente.

enero 25, 2022 por Aritmetica Blog Preguntas

Espacio Muestral – Explicación y Ejemplos

Espacio Muestral – Explicación y Ejemplos

En tu estudio de probabilidades, te encontrarás con la idea de un espacio muestral. Una comprensión clara de este concepto hará que su viaje sea más esclarecedor, así que comencemos con su definición:

El “espacio muestral” se define como el conjunto que contiene todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Para ayudarlo a comprender este concepto, este artículo explorará las respuestas a las siguientes preguntas:

  • ¿Qué es un espacio muestral?
  • ¿Cómo encuentro un espacio muestral?

Vayamos al grano explicando con más detalle qué es un espacio de muestreo.

¿Qué es un espacio muestral?

Tal vez recuerdes que la probabilidad es el estudio del azar. Por ejemplo, si lanzas un dado, tienes un 50% de posibilidades de obtener cara. También puede obtener una cola. El resultado de cara y el resultado de cruz juntos forman el espacio muestral de esta experiencia. Así, concluimos:

Un espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

Por lo general, llamamos a este conjunto S. Entonces, de nuestro experimento mencionado anteriormente, tenemos

S = {H, T}

Tenga en cuenta que, dado que se trata de un conjunto, el espacio muestral se escribe utilizando la notación de conjuntos. Los siguientes ejemplos indican el espacio muestral de los experimentos dados.

Experimento 1: Elegir entre los símbolos de una baraja de cartas

S = {♥, ♦, ♠, ♣}

Alternativamente,

S = {Corazón, diamante, pica, trébol}

Experimento 2: lanzar un dado

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ahora que entendemos qué es un espacio de muestreo, necesitamos explorar cómo se encuentra. Es posible que haya tenido una idea de los ejemplos anteriores, así que siga leyendo para aprender más estrategias útiles para encontrar el espacio muestral.

¿Cómo encuentro un espacio muestral?

Para determinar el espacio muestral de un experimento, enumeramos TODO los posibles resultados del experimento.

Es posible que haya notado que el espacio muestral se encuentra enumerando todos los resultados posibles del experimento. Ahora veamos algunos casos donde el espacio muestral no es tan obvio.

Experimento 2: Elige una fruta en una canasta con 3 manzanas, 5 peras, 2 plátanos y 1 naranja.

S = {Manzana, Pera, Plátano, Naranja}

Tenga en cuenta que la cantidad de frutas individuales no afecta la cantidad total de resultados posibles. Es porque esta experiencia es aquella en la que recogemos una sola fruta de la cesta. Aquí podemos recoger una manzana, una pera, un plátano o una naranja. No podemos recoger una fruta que no contenga la cesta, y sólo recogemos una fruta.

¿Y si ahora quisiéramos sacar dos frutas de la canasta?

Experimento 3: Escoja dos frutas (al mismo tiempo) en una canasta con 3 manzanas, 5 peras, 2 plátanos y 1 naranja

Para simplificar nuestro espacio muestral, usaremos:

Una manzana

P – Pera

B-Banana

O-naranja

S = {(A, A), (A, P), (A, B), (A, O), (P, P), (P, B), (P, O), (B, B) , (B, O)}

Observe que no podemos elegir (O, O) de la canasta ya que solo hay una naranja en la canasta. Además, dado que recogemos las frutas al mismo tiempo (A, P) es lo mismo que (P, A). Por lo tanto, el resultado de elegir una manzana y una pera ocurre solo una vez en el espacio muestral.

Estrategias prácticas para determinar un espacio de muestreo

Hay estrategias que se pueden usar para evitar perder algunos de los posibles resultados al escribir el espacio muestral. En esta sección veremos gráficos (o tablas) y diagramas de árbol.

Gráfico

Un gráfico se configura usando filas y columnas como una tabla. Generalmente se utiliza para determinar el espacio muestral de un experimento que combina dos actividades. Observe el ejemplo a continuación.

Experimento 4: lanzar dos dados simultáneamente

Muere 1

1

2

3

4

5

6

morir 2

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(15)

(dieciséis)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(sesenta y cinco)

(6, 6)

Este gráfico muestra correctamente los 36 resultados en este espacio muestral.

Diagrama de árbol

También podemos usar un diagrama de árbol para encontrar el espacio muestral de un experimento. Las ramas muestran combinaciones de resultados de actividades separadas que forman un resultado.

Experimento 5: lanzar una moneda y tirar un dado

tree diagram finding sample space of coin toss and die throw e1604949640686

A partir de este diagrama, podemos leer los 12 resultados posibles en el espacio muestral como:

S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}

Tenga en cuenta que el orden aquí no importa. No contamos, por ejemplo, H1 como resultado diferente de 1H.

Determinar el número de resultados en un espacio muestral (sin enumerarlos)

En los Experimentos 14 y 15, mapeamos los posibles resultados de actividades únicas entre sí de forma individual. Por lo tanto, el número de resultados del experimento fue el producto del número de resultados de las dos actividades. Esta observación es útil cuando no es práctico escribir todos los elementos en un espacio muestral.

Para Ejemplo, lanzar una moneda tiene 2 elementos en su espacio muestral. Tirar un dado tiene 6. Así, el espacio muestral del experimento de lanzar simultáneamente una moneda y tirar un dado consistió en:

2 × 6 = 12 resultados posibles.

Cuando el pedido cuenta

En el experimento 3, viste que al recoger dos frutas simultáneamente en una cesta, recoger una manzana y luego una pera era equivalente a recoger una pera y luego una manzana.

¿Qué pasaría si no recogiéramos las frutas simultáneamente y el orden en que las recogiéramos importara? En tal caso, deberíamos contar tanto (A, P) como (P, A) como resultados separados. el numero de opciones con diferentes frutas ahora se duplicaría y nuestro nuevo espacio muestral se convertiría en:

S = {(A, A), (A, P), (P, A), (A, B), (B, A), (A, O), (O, A), (P, P) , (P, B), (B, P), (P, O), (O, P), (B, B), (B, O), (O, B)}

Hay 15 resultados en este espacio muestral. Incluye el doble de resultados con diferentes frutas que el experimento original, más los tres resultados con las mismas dos frutas.

Puedes leer más sobre esto en nuestros artículos sobre permutaciones y combinaciones.

Preguntas prácticas






Problemas abiertos

Escriba el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos.

  1. Elegir una computadora portátil de una tienda con 5 marcas diferentes (B1, B2, B3, B4, B5) con 3 sistemas operativos diferentes (OS1, OS2, OS3).
  2. Elige una combinación de jeans azules o negros con un top amarillo, verde o blanco y una corbata de cuadros o rayas.

Soluciones a problemas abiertos

  1. Elegir una computadora portátil de una tienda con 5 marcas diferentes (B1, B2, B3, B4, B5) con 3 sistemas operativos diferentes (OS1, OS2, OS3).

Para esta solución, puede usar un diagrama de árbol o gráfico para asociar cada marca con un sistema operativo para obtener el siguiente espacio de muestra que contiene 15 resultados:

S = {B1-OS1, B1-OS2, B1-OS3, B2-OS1, B2-OS2, B2-OS3, B3-OS1, B3-OS2, B3-OS3, B4-OS1, B4-OS2, B4-OS3 , B5-OS1, B5-OS2, B5-OS3}

  1. Elige una combinación de jeans azules o negros con un top amarillo, verde o blanco y una corbata de cuadros o rayas.

Para esta solución, puede usar un diagrama de árbol para hacer coincidir los jeans con la parte superior, luego haga coincidir estas combinaciones con las corbatas para obtener este espacio de muestra que contiene 12 resultados:

S = {A cuadros azul-amarillo, A cuadros azul-verde, A cuadros azul-blanco, A rayas azul-amarillo, A rayas azul-verde, A rayas azul-blanco, A cuadros negro-amarillo, A cuadros negro-verde , Cuadros en blanco y negro, Franja negra y amarilla, Franja negra y verde, Franja negra y blanca}

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enero 24, 2022 por Blog Preguntas

Matemáticas Conjugadas – Explicación y Ejemplos

Matemáticas Conjugadas – Explicación y Ejemplos

¿Alguna vez has visto dos pares de expresiones que difieren solo en el signo del medio? Es posible que haya encontrado un par de conjugados. Los conjugados en matemáticas son extremadamente útiles cuando queremos racionalizar expresiones radicales y números complejos.

Dos binomios se conjugan cuando tienen los mismos términos pero signos opuestos en el medio.

Este artículo mostrará cómo encontrar conjugados, comprender por qué los necesitamos y aplicarlos al racionalizar expresiones. Comencemos con lo más básico: entender qué representan los conjugados.

¿Qué es un conjugado en matemáticas?

Un ejemplo de un par de conjugados son los números complejos a + bi y a – bi. Observe cómo los términos son los mismos? Solo difieren los signos que se encuentran en el medio de cada par. Esto es exactamente lo que representan los conjugados en matemáticas.

Definición matemática conjugada

Conjugados en Matemáticas son dos pares de binomios con términos idénticos pero que comparten operaciones opuestas en el medio. Aquí hay algunos ejemplos más de pares conjugados:

  • x – y y x + y
  • 2√2 – 1 y 2√2 + 1
  • 3 – 2i y 3 + 2i

Según la definición de conjugados, cada par tiene términos idénticos, y cada uno difiere solo en el signo del medio.

¿Cómo encontrar el conjugado?

¿Qué pasa si nos dan un binomio y necesitamos encontrar su conjugado? Siempre podemos determinar el conjugado de un binomio dado identificando primero los términos y el signo del término original.

Una vez que los tengamos, su conjugado contendrá los mismos términos, pero se cambia el signo del medio (de + a – o de – a +). Aquí hay una tabla que muestra cómo se determinan los conjugados de cuatro binomios:

Dado el binomio condiciones Cambio de signo Conjugado
2x–y 2x, y – + 2x + y
√3+1 √3.1 + – √3 – 1
a2b-ab2 a2segundo, un segundo2 – + a2b+ab2
5 + 2i 5.2i + – √3 – 1

¿Cómo multiplicar por el conjugado?

¿Qué pasa si multiplicamos un binomio por conjugados? Hay dos casos posibles, y en cada caso aplicaremos un método diferente.

Caso 1: Multiplicación de un binomio por su conjugado

Si tenemos un binomio, m + n, su conjugado será m – n. ¿Notas algo sobre los dos? Estos dos, cuando se multiplican, devolverán la diferencia de sus cuadrados. Si necesita un repaso de esta propiedad algebraica, eche un vistazo a este artículo. Para nuestro ejemplo, tenemos:

(m – n)(m + n) = metro2 – no2

Esto significa que cuando se multiplica un binomio y su conjugado, el resultado será la diferencia de los cuadrados de sus términos. Aquí hay algunos ejemplos más que puedes probar:

Binomio Conjugado Producto
2x – 1 2x + 1 4x2 – 1
3ab+c 3ab-c 9a2B2 -vs2
√3 – 4 √3+4 3 – 16 = -13

Caso 2: multiplicar el conjugado de un binomio por una expresión diferente

En algunos casos (como la racionalización de expresiones de raíz), es posible que necesitemos multiplicar el conjugado de un binomio con una expresión diferente. Al tratar con estos problemas, asegúrese de revisar su conocimiento de:

Digamos que queremos multiplicar √3 + 1 por el conjugado de √2 – 1. Primero necesitamos encontrar el conjugado de √2 – 1. Tenemos √2 + 1. Dado que √3 + 1 y √2 + 1 son binomios, podemos aplicar el método FOIL para encontrar y simplificar el producto de dos binomios.

(√3 + 1)( √2 + 1) = (√3)( √2) + (√3)(1) + (1)( √2) + (1)(1)

= √6 + √3 + √2 + 1

Es hora de que aprendamos las aplicaciones comunes de los conjugados en matemáticas.

¿Cómo racionalizar expresiones de raíz usando conjugados?

Una de las aplicaciones más comunes de los conjugados ocurre cuando queremos racionalizar una expresión que contiene binomios radicales en el denominador.

Cuando racionalizamos una expresión regular, nuestro objetivo es tener un denominador que no contenga ningún término radical. Los conjugados son útiles cuando tenemos una expresión binomial en el denominador.

Podemos multiplicar el numerador y el denominador por los conjugados del denominador. ¿Por qué no probar un ejemplo y ver qué sucede con la expresión?

(√2 – 1) / (√2 + 1)

Si queremos simplificar la expresión anterior, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.

(√2 – 1) / (√2 + 1) (√2 – 1) / (√2 -1)

= [(√2 – 1) ·(√2 – 1)]/ [(√2 + 1)(√2 – 1)]

Simplifica el denominador usando la diferencia de dos cuadrados y simplifica el numerador elevando al cuadrado la expresión (√2 – 1).

= [(√2)2 – 2(√2)(1) + (1)2]/[ (√2)2 – (1)2]

= [2 – 2√2 + 1]/[2 – 1]

= 3 – 2√2

La expresión resultante no tiene más expresiones radicales en su denominador para confirme que ha sido racionalizado usando el conjugado del denominador. Por lo tanto, hemos visto cómo se usan los conjugados para racionalizar expresiones.

Ejemplo 1

Encuentra los conjugados de los siguientes binomios.

una. 2xy-y

B. min2 +m2no

contra a B C D

Solución

Volvamos a la definición fundamental de los conjugados: comparten términos idénticos pero signos diferentes.

una. Para 2xy – y, su conjugado siempre tendrá los mismos términos excepto que tiene + como su operación. Por lo tanto, su conjugado es 2xy+y.

B. De manera similar, usamos los mismos términos pero la operación inversa, por lo que el conjugado de mn2 +m2n es min2 -metro2no.

contra Finalmente, si usamos el mismo proceso, encontraremos que el conjugado de ab – cd es b+cd.

Ejemplo 2

Cuando se le dé una expresión lineal, ax + b, describa el resultado cuando:

una. se suma la expresión lineal y su conjugado.
B. se resta el conjugado de la expresión lineal.

Solución

Avancemos y primero encontremos el conjugado de la expresión lineal. Usando los mismos términos pero la operación inversa, el conjugado de ax + b es ax – b.

Sumando los dos binomios, tenemos ax + b + ax – b = 2ax. La suma es en realidad el doble del valor del término.

una. En general, el la suma de una expresión lineal y su conjugada es igual al doble del valor del primer término del binomio.

Hagamos lo mismo por su diferencia. Se tiene:

(ax + b) – (ax – b) = hacha + b – hacha + b

= 2b

La diferencia es el doble del segundo término del binomio.

B. Esto significa que cuando el conjugado de un binomio se resta del binomio, el resultado es el doble del segundo término del binomio.

Ejemplo 3

Usa tu conocimiento de las conjugaciones para responder las siguientes preguntas.

una. ¿Cuál es el conjugado de (1000 – 1)?
B. ¿Cuál es el resultado cuando multiplicas (1000 – 1) por su conjugado?
contra Usando lo que has observado, describe cómo puedes encontrar el producto de 81 y 79.

Solución

una. Usando los mismos términos pero la operación inversa, el conjugado de (1000 – 1) es (1000 + 1).

B. Cuando multiplicamos un binomio por su conjugado, elevamos al cuadrado ambos términos y restamos el resultado. Entonces tenemos (1000)2 – 12 = 999 999.

contra Esto significa que podemos expresar 81 y 79 como conjugados entre sí: 81 = 80 + 1 y 79 = 80 – 1. Usando los dos binomios, el el producto de 81 y 79 es 802 – 12 = 6399.

Ejemplo 4

Encuentra el conjugado del denominador, luego racionaliza la expresión (-2 + √3) / (6 – 3√3).

Solución

Usando los mismos términos pero operaciones opuestas, la conjugado de 6 – 3√3 es 6 + 3√3. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado.

(-1 + √3) / (6 – 3√3) (6 + 3√3)/ (6 +3√3)

= [(-1 + √3) (6 + 3√3)] / [(6 – 3√3) (6 + 3√3)]

Usa el método FOIL para simplificar el numerador y la diferencia de dos cuadrados al denominador.

= [(-1)(6) + (-1) (3√3) + (√3)(6) + (√3)(3√3)]/ [(6)2 – (3√3)2]

= [-6 – 3√3 + 6√3 + 9]/ [36 – 27]

= (3√3 + 3)/ 9

= 3(√3 +1)/ 9

= 1/3 (√3 + 1)

Acabamos de simplificar la expresión dada y ahora tenemos 1/3 (√3+1).

enero 21, 2022 por Blog Multiplicación Operaciones Pares Preguntas Resta

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Carlos Huertas

Carlos Huertas

Matemático

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