ᐉ〖Primitiva de una fracción: explicación completa y ejemplos〗✔️

Primitivo, también llamado integral de una función, es el proceso inverso de tomar la derivada de una función.

Cuando tenemos una función $dfrac{p}{q}$ donde $q neq 0$, entonces tal expresión se llama fraccióny si tomamos la antiderivada de tal función, entonces se llamará la antiderivada de esa fracción.

En este tema, discutiremos cómo tomar la antiderivada o integral de una fracción, y discutiremos en detalle cómo resolver problemas de fracciones usando la técnica de integración de fracciones parciales.

¿Qué es la antiderivada de una fracción?

Antiderivada, también llamada integral de una función, es el proceso inverso de tomar la derivada de una función; si tomamos la antiderivada de una función algebraica que se escribe como fracción, la llamamos antiderivación de una fracción. Sabemos que una fracción está dada en $dfrac{p}{q}$ con $q neq 0$. La antiderivada de una fracción se puede dividir en dos tipos.

Para resolver problemas primitivos, se deben memorizar algunas relaciones primitivas básicas. Por ejemplo, la antiderivada de una fracción constante es $int dfrac{1}{k} = dfrac{1}{k} x +c$; la primitiva de $frac{1}{x}$ es $ln|x| +c$. De manera similar, la primitiva de $dfrac{1}{x^{2}} $ es $-dfrac{1}{x} + c$.

Cómo encontrar la antiderivada de fracciones

La respuesta simple para encontrar la antiderivada de una expresión algebraica que tiene fracciones múltiples o complicadas es usar la descomposición de fracciones o dividir la fracción en partes más pequeñas y luego tomar la antiderivada de esas fracciones más pequeñas. La mayoría de las fracciones racionales se resuelven con fracciones parciales, mientras que las fracciones irracionales se resuelven con el método de sustitución.

Ahora discutiremos diferentes ejemplos relacionados con fracciones y cómo podemos tomar la antiderivada de fracciones con diferentes tipos de expresiones algebraicas para cocientes.

Primitiva de una fracción racional

Una fracción racional es una fracción en la que el numerador y el denominador consisten en polinomios. Por ejemplo, $dfrac{x + 7}{x}$ es una fracción racional.

Podemos calcular fácilmente la antiderivada de la fracción racional dada anteriormente dividiéndola en partes. Podemos escribir $dfrac{x + 7}{x}$ como $( dfrac{x}{x} + dfrac{7}{x})$. Calculemos ahora la antiderivada de la función racional dada.

$int dfrac{x + 7}{x} = int(dfrac{x}{x} + dfrac{7}{x})$

$int dfrac{x + 7}{x} = int ( 1 + dfrac{7}{x})$

$int dfrac{x + 7}{x} = int 1 + int dfrac{7}{x}$

$int dfrac{x + 7}{x} = x – dfrac{7}{x^{2}}$

No es necesario que todos los números racionales se puedan dividir fácilmente en partes para encontrar su antiderivada. El denominador puede consistir en varios factores lineales o factores lineales repetidos; en tales casos, es recomendable resolver el problema utilizando la técnica de fracciones parciales.

Fracciones con dos factores lineales

Cuando se nos da una función de fracción tal que la potencia/grado del numerador es menor que la del denominador mientras que el denominador tiene dos factores lineales distintos, entonces podemos usar una fracción parcial para separar la fracción en partes más pequeñas y luego averiguar la primitiva de la función.

Por ejemplo, dada una función integral $int dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)}$, usaremos la descomposición en fracciones parciales para separar la fracción dada.

$dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = dfrac{A}{(x + 3)} + dfrac{B} {(4 – x)}$

$dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = dfrac{A (4 – x) + B (x-3)}{(x + 3) (4 – x)}$

$x = A (4 – x) + B (x – 3)$

Ahora elegiremos el valor de “x” de tal manera que haga una expresión algebraica con “A” o “B” cero. Así que tomemos $x = 3$ y pongámoslo en la ecuación anterior:

A $x = $3

$3 = A (4 – 3) + B (3 – 3)$

$A = $3

A $x = $4

$4 = A (4 – 4) + B (4 – 3)$

$B = $4

$dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = dfrac{3}{(x + 3)} + dfrac{4} {(4 – x)}$

$int dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = int (dfrac{3}{x + 3} + dfrac{4} {4 – x})$

$int dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = int dfrac{3}{x + 3} + int dfrac{4} {4 – x})$

$int dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = 3 int dfrac{1}{x + 3} – 4 int dfrac{-1} {4 – x}) ps

$int dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = 3 ln (x +3) – 4 ln (4 – x) + c$

Los ejemplos que hemos visto hasta ahora usan integrales definidas pero sin límites superior e inferior. Ahora resolvamos un ejemplo con límites superior e inferior utilizando el método de descomposición en fracciones parciales.

Ejemplo 1: Evalúa la función primitiva dada.

$int_{2}^{4} dfrac{4}{x (x + 2)}$

Solución:

$int_{2}^{4} dfrac{4}{x (x + 2)}$

Usando el método de descomposición en fracciones parciales, podemos escribir la ecuación anterior de la siguiente manera:

$dfrac{4}{x (x + 2)} = dfrac{A}{x} + dfrac{B} {(x + 2)}$

$dfrac{4}{ x (x + 2)} = dfrac{A}{x} + dfrac{B} {(x + 2)}$

$dfrac{4}{x (x + 2)} = dfrac{A (x + 2) + Bx}{x (x + 2)}$

$4 = A (x + 2) + Bx$

Ahora elegiremos el valor de “x” de tal manera que haga una expresión algebraica con “A” o “B” cero. Así que tomemos x = 0 y pongámoslo en la ecuación anterior:

En $x = 0$

$3 = A(0+2)+B(0)$

$3 = $2A

$A = dfrac{3}{2}$

En $x = -2$

$4 = UNO (2 – 2) – $2 mil millones

$4 = -$2 mil millones

$B = -$2

$dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = dfrac{3}{(x + 3)} + dfrac{4} {(4 – x)}$

$int_{2}^{4} dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = int_{2}^{4} (dfrac{3}{x + 3} + dfrac{4} {4 – x})$

$int_{2}^{4} dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = int_{2}^{4} dfrac{3}{x + 3} + int_ {2}^{4} dfrac{4} {4 – x})$

$int_{2}^{4} dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = 3 int_{2}^{4} dfrac{1}{x + 3} – 4 int_{2}^{4} dfrac{-1} {4 – x})$

$int_{2}^{4} dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = [3 ln (x +3) – 4 ln (4 – x) ]_ {2}^{4}$

$int_{2}^{4} dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = [3 ln (4 +3) – 4 ln (4 – 4) – 3 ln (2 + 3) + 4 ln (4 – 2) ] ps

$int_{2}^{4} dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)} = ( 5,8377 – 4 – 4,828 + 2,772) = -0,22$

Fracciones factoriales repetidas

Cuando nos dan una función de fracción tal que la potencia/grado del numerador es menor que la del denominador mientras que el denominador tiene factores lineales repetidos, debemos usar una fracción parcial para separar la fracción en partes más pequeñas y luego encontrar la primitiva de la función.

Por ejemplo, si nos dan una función integral $int dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)}$, usaremos una fracción parcial para separar la fracción dada.

$dfrac{4}{(x – 4)^{2} (x + 4)} = dfrac{A}{(x – 4)} + dfrac{B} {(x – 4)^{2 }} + dfrac{C} {(x + 4)}$

$dfrac{4}{(x – 4)^{2} (x + 4)} = dfrac{A (x – 4) (x+4) + B (x + 4) + C (x-4 )^{2}}{(x – 4)^{2} (x +4)}$

$4 = A (x – 4) (x + 4) + B (x + 4) + C (x – 4)^{2}$

A $x = $4

$4 = 0 + B ( 4 + 4) + 0 = B = dfrac{1}{2}$

A $x = – $4

$4 = 0 + 0 + C (-4 – 4)^{2}$

$4 = $64 dólares canadienses

$C = dfrac{1}{16}$

Conocemos el valor de B y C, ahora establecemos x = 0:

En $x = 0$

$4 = -16A + 4B + 16C

$4 = -16A + 4 times dfrac{1}{2} + 16 times dfrac{1}{16}$

$4 = -16A + 2 + $1

$A = – dfrac{1}{16}$

$int dfrac{4}{(x – 4)^{2} (x + 4)} = int [dfrac{A}{(x – 4)} + dfrac{B} {(x – 4)^{2}} + dfrac{C} {(x + 4)}]ps

$int dfrac{4}{(x – 4)^{2} (x + 4)} = -dfrac{1}{16} int dfrac{1}{(x – 4)} + dfrac{1}{2} int dfrac{1} {(x – 4)^{2}} + dfrac{1}{16} int dfrac{1} {(x + 4)}$

$int dfrac{4}{(x – 4)^{2} (x + 4)} = -dfrac{1}{16} ln |x-4| + dfrac{1}{ 2 (x-4)} +dfrac{1}{16} ln |x + 4| +PUEDE$

Primitiva de una fracción irracional

La antiderivada de una función irracional se puede determinar usando solo el método de sustitución. Anteriormente discutimos cómo calcular la antiderivada de una función racional, y ahora vamos a discutir cómo determinar la antiderivada de una fracción irracional.

Una fracción irracional incluye no polinomios en el numerador o denominador. Por ejemplo, $dfrac{1}{sqrt{x^{2} + 5x}}$ es un número irracional.

Ejemplo 2: Evalúa la función primitiva dada.

$int dfrac{5x}{sqrt{x + 2}} dx$

Solución:

Sea $v = sqrt{x + 2}$

Entonces sabemos que $v^{2} = x + 2$. Entonces $x = v^{2} – 2$.

Ahora tomando la derivada de ambos lados, obtenemos:

$dx = (2v – 0) dv = 2v dv$

Ahora poniendo los valores de “x”, dx y v en la ecuación original:

$int dfrac{5x}{sqrt{x + 2}} dx = int dfrac{5 (v^{2}-2)}{v}. 2vdv$

$= 2 [int 5v^{2}- 10 dv]ps

$= 2 [ 5 dfrac {v^{3}}{3} – 10 v ]ps