Principio de Cavalieri – Definición, Condiciones y Aplicaciones

Principio de Cavalieri – Definición, Condiciones y Aplicaciones

los Principio de Cavalieri conecta los volúmenes de dos sólidos dadas sus secciones y alturas. Este principio también es útil para comparar las áreas de dos sólidos dadas sus respectivas bases y alturas. Comprender el principio de Cavalieri conduce a una amplia gama de propiedades compartidas por figuras bidimensionales y tridimensionales.

El principio de Cavalieri establece que cuando los dos sólidos comparten secciones y alturas idénticas, sus volúmenes son iguales. Estos sólidos deben cumplir las condiciones establecidas para el principio antes de llegar a esta conclusión.

Este artículo cubre las condiciones necesarias para aplicar el principio de Cavalieri y cómo el principio se extiende a superficies y sólidos. Este debate también cubre ejemplos y aplicaciones del principio de Cavalieri.

¿Qué es el principio de Cavalieri?

El principio de Cavalieri es un principio según el cual los volúmenes de dos o más sólidos son iguales cuando comparten las mismas áreas y longitudes para sus secciones transversales y alturas, respectivamente. Este principio también se aplica a figuras bidimensionales: el concepto detrás de cómo se establecen las áreas de paralelogramos y triángulos se basa en el principio de Cavalieri.

Fíjate en las cuatro figuras sólidas de arriba y Supongamos que cada sólido tiene una altura de $h$. El principio de Cavalieri establece que si sus áreas transversales y alturas son las mismas, los volúmenes de cuatro figuras sólidas serán los mismos.

Comenzando desde la izquierda, etiquete el volumen del cilindro vertical como $V_A$, el segundo prisma rectangular como $V_B$, etc.

begin{alineado}boldsymbol{V_A}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_A} &= pi(6.91^2)(h)\&aproximadamente 150hend{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_B}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_B} &= 10(15)(h)\&= 150hend{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_C}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_C} &= pi(6.91^2)(h)\&aproximadamente 150hend{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_D}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_D} &= 10(15)(h)\&= 150hend{alineado}

El cálculo de los volúmenes individuales de los sólidos confirma el hecho de que con secciones transversales que tienen áreas (150 pies cuadrados) y alturas idénticas, sus volúmenes serán iguales. Explore los fundamentos del principio de Cavalieri al comprender cómo se aplica a figuras bidimensionales y tridimensionales.

Comprender el principio y la zona de Cavalieri

Cuando se dan dos superficies planas, El principio de Cavalieri siempre se aplica cuando las dos superficies cumplen las siguientes condiciones:

  1. Las dos superficies observadas están contenidas en un par de líneas paralelas ubicadas a lo largo del plano.
  2. Las líneas paralelas adicionales que se cruzan en las dos regiones dividen los segmentos de igual longitud.

Cuando dos superficies satisfacen estas condiciones, el principio de Cavalieri establece que su las superficies son iguales. Imagina que un cuadrilátero similar a la figura de abajo se corta en pilas. La segunda imagen es el resultado cuando las pilas del rectángulo se empujan ligeramente hacia la derecha, formando una forma más angulosa. Ahora la pregunta es, ¿serán sus áreas iguales?

Aquí es donde el principio de Cavalieri se vuelve útil para figuras bidimensionales y sus areas. Los lados opuestos de los dos planos son paralelos entre sí.

Además, si cada una de las figuras se divide en montones más pequeños mediante líneas paralelas adicionales, cada uno de los segmentos es congruente. Eso significa que se cumplen las condiciones para el principio de Cavalieripor lo tanto, se supone que sus áreas son iguales.

Extendiendo este concepto a paralelogramos y rectángulos, ahora sabemos que cuando comparten las mismas bases y altura, sus áreas también serán iguales.

Comprender el principio y el volumen de Cavalieri

El principio de Cavalieri es a menudo asociado con la asimilación de volúmenes de dos sólidos que comparten áreas transversales y alturas idénticas.

Supongamos que dos sólidos satisfacen las siguientes condiciones:

  1. Cada una de las figuras tridimensionales está contenida en dos planos paralelos.
  2. El sólido se divide en superficies idénticas por cada plano paralelo adicional y las áreas de estas superficies son iguales.

Se aplica el principio de Cavalieri, por lo que los volúmenes de estos dos sólidos serán iguales. Para comprender cómo es esto posible, comience imaginando dos pilas de monedas con la segunda pila de monedas distribuida de manera más ordenada.

Suponga que todas las partes comparten el mismo volumen, sin importar cuán ordenadamente estén apiladas estas partes, el volumen de las seis habitaciones permanecerá constante.

¿Qué tienen en común estas dos disposiciones?

  • La sección transversal o área de la cara de la pieza será siempre igual.
  • Como están apiladas con el mismo número de piezas, la altura de ambas pilas es igual.

Estos parecen familiares, ¿correcto?

Estas son similares a las condiciones establecidas por el principio de Cavalieri. Cuando las secciones transversales y las alturas de los dos sólidos son idénticas, sus volúmenes también son idénticos.

Eche un vistazo a los números sólidos que se muestran arriba: los planos paralelos que cortan los sólidos tienen cada uno áreas iguales. Estos dos sólidos también están contenidos en planos paralelos, por lo que se aplica el principio de Cavalieri.

Eso significa que los volúmenes de los dos sólidos son iguales.

cuando se da dos figuras tridimensionales de diferentes formasEl principio de Cavalieri siempre será útil.

begin{alineado}text{Área base}_1 &= text{Área base}_2\text{altura} &= h\(text{Área base}_1)(h)&= (text {Área base}_1)(h)\text{Volumen}_1 &=text{Volumen}_2end{alineado}

Tanto tiempo que la altura y el área de la base de cada una de las secciones transversales de los sólidos son iguales, sus volúmenes son iguales. Ahora que se ha establecido el principio de Cavalieri, aprenda a aplicarlo cuando trabaje con figuras bidimensionales y tridimensionales.

Ejemplo del principio de Cavalieri

Hay diferentes ejemplos de aplicaciones que involucran el principio de Cavalieri tales como 1) derivar fórmulas para las áreas de figuras, 2) encontrar el volumen de sólidos y 3) ¡aplicar el principio en cálculo!

Al aplicar el principio de Cavalieri, siempre observar si las secciones son idénticas para cada nivel. Cuando las áreas de la altura y de la sección transversal sean iguales, vea si los principios de Cavalieri serán útiles para el problema en particular.

El principio de Cavalieri en figuras 2D

Al aplicar el principio de Cavalieri en figuras 2D, repasar las condiciones necesarias para dos dimensiones. Estos son útiles para confirmar las áreas de dos figuras particulares o fórmulas generales para áreas de superficie.

Ahora construir el par de líneas paralelas que contienen los dos triángulos. Divide cada una de las figuras con longitudes de segmento iguales usando líneas paralelas adicionales como se muestra a continuación. Las alturas de los triángulos también son iguales.

Dado que los números cumplen las condiciones del principio de Cavalieri, las áreas de las dos figuras son iguales. Esto tiene sentido ya que $A_{text{Triángulo}} = dfrac{1}{2}bh$, por lo que ambos triángulos tendrán áreas de $108$ pies cuadrados cada uno.

El principio de Cavalieri en figuras 3D

El principio de Cavalieri es útil cuando se trabaja con problemas que involucran figuras en 3D. Ambos sólidos deben cumplir las condiciones del principio de Cavalieri antes de usarlo para resolver estos problemas.

Por ejemplo, estos dos sólidos cumplen las condiciones del principio de Cavalieri: 1) están contenidos entre planos paralelos y 2) los planos adicionales dividen las secciones transversales por igual como se muestra en el problema anterior.

Eso significa que las áreas transversales son iguales para los dos sólidos. Igualar la expresión para cada una de las áreas de la sección a resolver para $h$.

begin{aligned}A_{text{Triángulo}} &= A_{text{Rectángulo}}\dfrac{1}{2}(h)(24) &= 6(18)\h&= dfrac{2(6)(18)}{24}\&= 9end{alineado}

Eso significa que la altura del triangulo $h$ este $9$ metros de largo.

Principio de Cavalieri en cálculo integral

El cálculo integral trata con rebanadas y partes divididas de superficies y sólidos, por lo que el principio de Cavalieri se aplica incluso para temas avanzados como integrales y volúmenes de sólidos. El principio de Cavalieri es más útil cuando las áreas transversales del sólido son todas iguales.

Encontrar el volumen usando el principio de Cavalieri

begin{alineado}text{Volumen}_{S} = int_{a}^{b} A(x) phantom{x} dxend{alineado}

Esta fórmula muestra que cuando un sólido dado, $S$, se compone de rebanadas o secciones, $C_x$, $a leq x leq b$. Además, el sólido $S$ está comprendido entre $C_a$ y $C_b$, que son planos paralelos. El área de las secciones está definida por la función $A(x)$.

El principio de Cavalieri es aplicado aquí para calcular el volumen del sólido $S$. Esta es solo una introducción al concepto, por lo que para el resto de los problemas presentados a continuación, el enfoque seguirá estando en encontrar áreas y volúmenes de figuras en 2D o 3D.

Ejemplo 1

Los dos sólidos que se muestran a continuación comparten la misma área de base y altura, como lo refleja el plano paralelo que intersecta cada sólido. Si la sección rectangular mide $12$ pies de ancho y $27ft$ pies de alto, ¿cuál es el diámetro de la base circular?

Solución

Los dos sólidos pueden estar contenidos en un par de planos paralelos y las secciones transversales divididas por el plano son iguales, por lo que se aplica el principio de Cavalieri. Eso significa que las áreas de la base de los dos sólidos y sus alturas son iguales. Primero, encuentre el radio de la base circular del cilindro haciendo coincidir las áreas de las bases.

begin{aligned}A_{text{Círculo}} &= A_{text{Rectángulo}}\pi(r^2) &= l(w)\pi r^2 &= 12(27 pi)\r^2 &= dfrac{324pi}{pi}\r&= 18end{alineado}

Eso significa que el radio del cilindro mide $18 pies de largo, así quesu diámetro es igual a $2 x 18 = $36 pies.

Cuestión práctica

1. Verdadero o falso: Suponga que los dos cilindros que se muestran a continuación comparten las mismas alturas. Gracias al principio de Cavalieri, sus volúmenes también son iguales.

2. Verdadero o Falso: Supón que los dos sólidos que se muestran a continuación comparten las mismas alturas. Gracias al principio de Cavalieri, sus volúmenes también son iguales.

3. ¿Cuál es el volumen del cilindro inclinado que se muestra a continuación?

A. 600 $ft$ metros cuadrados
B. $1,200ft$ metros cuadrados
C. $1800ft$ metros cuadrados
D. $2,400ft$ metros cuadrados

4. Si un prisma rectangular con una longitud de base de $40pi$ comparte la misma área transversal y la misma altura que el cilindro del problema anterior, ¿cuál es el ancho de su base?

A. $15 metros
B. 20$ metros
C. 30$ metros
D. 45$ metros

corregido

1. Verdadero
2. Falso
3.B
4.C